Ideální kvocient - Ideal quotient

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Ideální kvocient“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v abstraktní algebra, pokud Já a J jsou ideály komutativu prsten R, jejich ideální kvocient (Já : J) je sada

${ displaystyle (I: J) = {r v R střední rJ subseteq I }}$

Pak (Já : J) je sám o sobě ideální R. Na ideální kvocient se pohlíží jako na kvocient, protože ${ displaystyle KJ subseteq I}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle K subseteq I: J}$. Ideální kvocient je užitečný pro výpočet primární rozklady. Vzniká také z popisu nastavený rozdíl v algebraická geometrie (viz. níže).

(Já : J) se někdy označuje jako a ideální dvojtečka kvůli notaci. V kontextu částečné ideály, existuje související pojem inverze zlomkového ideálu.

Vlastnosti

Ideální kvocient splňuje následující vlastnosti:

• ${ displaystyle (I: J) = mathrm {Ann} _ {R} ((J + I) / I)}$ tak jako ${ displaystyle R}$-moduly, kde ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (M)}$ označuje zničit z ${ displaystyle M}$ jako ${ displaystyle R}$-modul.
• ${ displaystyle J subseteq I Rightarrow (I: J) = R}$
• ${ displaystyle (I: R) = I}$
• ${ displaystyle (R: I) = R}$
• ${ displaystyle (I: (J + K)) = (I: J) čepice (I: K)}$
• ${ displaystyle (I: (r)) = { frac {1} {r}} (I cap (r))}$ (tak dlouho jak R je integrální doménou)

Výpočet kvocientu

Výše uvedené vlastnosti lze použít k výpočtu kvocientu ideálů v polynomiálním kruhu vzhledem k jejich generátorům. Například pokud Já = (F₁, F₂, F₃) a J = (G₁, G₂) jsou ideály k[X₁, ..., X_n], pak

${ displaystyle I: J = (I: (g_ {1})) cap (I: (g_ {2})) = left ({ frac {1} {g_ {1}}} (I cap (g_ {1})) right) cap left ({ frac {1} {g_ {2}}} (I cap (g_ {2})) right)}$

Pak teorie eliminace lze použít k výpočtu průsečíku Já s (G₁) a (G₂):

${ displaystyle I cap (g_ {1}) = tI + (1-t) (g_ {1}) cap k [x_ {1}, dots, x_ {n}], quad I cap (g_ {2}) = tI + (1-t) (g_ {2}) cap k [x_ {1}, dots, x_ {n}]}$

Vypočítejte a Gröbnerův základ pro tI + (1-t)(G₁) s ohledem na lexikografický řád. Pak základní funkce, které nemají č t v nich generovat ${ displaystyle I cap (g_ {1})}$.

Geometrická interpretace

Ideální kvocient odpovídá nastavený rozdíl v algebraická geometrie.^[1] Přesněji,

• Li Ž je afinní odrůda a PROTI je podmnožinou afinního prostoru (nemusí to být nutně odrůda)

${ displaystyle I (V): I (W) = I (V setminus W)}$

kde ${ displaystyle I ( odrážka)}$ označuje převzetí ideálu spojeného s podmnožinou.

• Li Já a J jsou ideály k[X₁, ..., X_n], s k algebraicky uzavřeno a Já radikální pak

${ displaystyle Z (I: J) = mathrm {cl} (Z (I) setminus Z (J))}$

kde ${ displaystyle mathrm {cl} ( odrážka)}$ označuje Zariski uzavření, a ${ displaystyle Z ( odrážka)}$ označuje odrůdu definovanou ideálem Já není radikální, pak platí stejná vlastnost, pokud my saturovat ideál J:

${ displaystyle Z (I: J ^ { infty}) = mathrm {cl} (Z (I) setminus Z (J))}$

kde ${ displaystyle (I: J ^ { infty}) = cup _ {n geq 1} (I: J ^ {n})}$.

Příklady

• v ${ displaystyle mathbb {Z}}$, ${ displaystyle ((6) :( 2)) = (3)}$
• Jednou geometrickou aplikací ideálního kvocientu je odstranění neredukovatelné složky afinního schématu. Například pojďme ${ displaystyle I = (xyz), { text {}} J = (xy)}$ v ${ displaystyle mathbb {C} [x, y, z]}$ být ideály odpovídající spojení rovin x, y a z a rovin x a y dovnitř ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {3}}$. Pak ideální kvocient ${ displaystyle (I: J) = (z)}$ je ideál roviny z ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {3}}$. To ukazuje, jak lze ideální kvocient použít k „vymazání“ neredukovatelných podsystémů.
• Užitečným příkladem teoretického schématu je převzetí ideálního kvocientu redukovatelného ideálu. Například ideální kvocient ${ displaystyle ((x ^ {4} y ^ {3}) :( x ^ {2} y ^ {2})) = (x ^ {2} y)}$, což ukazuje, že ideální kvocient dílčího schématu nějakého neredukovaného schématu, kde oba mají stejný redukovaný dílčí režim, zabíjí část neredukované struktury.
• Můžeme použít předchozí příklad k nalezení nasycení ideálu, který odpovídá projektivnímu schématu. Vzhledem k homogennímu ideálu ${ displaystyle I podmnožina R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ the nasycení z ${ displaystyle I}$ je definován jako ideální kvocient ${ displaystyle (I: { mathfrak {m}} ^ { infty}) = cup _ {i geq 1} (I: { mathfrak {m}} ^ {i})}$ kde ${ displaystyle { mathfrak {m}} = (x_ {0}, ldots, x_ {n}) podmnožina R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$. Je to věta, o níž je soubor nasycených ideálů ${ displaystyle R [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$ obsaženo v ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ je v bijekci se sadou projektivních dílčích schémat v ${ displaystyle mathbb {P} _ {R} ^ {n}}$.^[2] To nám ukazuje ${ displaystyle (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}) { mathfrak {m}} ^ {k}}$ definuje totéž projektivní křivka tak jako ${ displaystyle (x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4})}$ v ${ displaystyle mathbb {P} _ { mathbb {C}} ^ {2}}$.

Reference

• Viviana Ene, Jürgen Herzog: „Gröbnerovy základy komutativní algebry“, AMS Postgraduální studium matematiky, Ročník 130 (AMS 2012)

• M.F.Atiyah, IG MacDonald: 'Introduction to Commutative Algebra', Addison-Wesley 1969.