Cohen – Macaulayův prsten - Cohen–Macaulay ring - Wikipedia

v matematika, a Cohen – Macaulayův prsten je komutativní prsten s některými z algebro-geometrický vlastnosti a hladká odrůda, například místní ekvidimenzionálnost. Za mírných předpokladů, a místní prsten je Cohen – Macaulay přesně tehdy, když se jedná o konečně vygenerovaný bezplatný modul přes běžný místní podřetězec. Cohen – Macaulayovy prsteny hrají ústřední roli v komutativní algebra: tvoří velmi širokou třídu, a přesto jsou v mnoha ohledech dobře pochopeni.

Jsou pojmenovány pro Francis Sowerby Macaulay  (1916 ), který prokázal teorém o nesmíšenosti pro polynomiální kroužky a pro Irvin Cohen  (1946 ), který prokázal teorém o nesmíšenosti formálních prstenců mocninných řad. Všechny prsteny Cohen – Macaulay mají vlastnost nesmíšenosti.

Pro noetherianské místní prstence existuje následující řetězec inkluzí.

Všeobecně řetězovky ⊃ Cohen – Macaulayovy prsteny ⊃ Gorensteinovy ​​prsteny ⊃ kompletní průnikové kroužky ⊃ pravidelné místní kruhy

Definice

Pro komutativní Noetherian místní prsten R, hloubka z R (maximální délka a pravidelná sekvence v maximální ideál z R) je nanejvýš Dimenze Krull z R. Prsten R je nazýván Cohen – Macaulay pokud se jeho hloubka rovná jeho rozměru.

Obecněji se nazývá komutativní kruh Cohen – Macaulay pokud je to Noetherian a všechny jeho lokalizace v hlavní ideály jsou Cohen – Macaulay. Z geometrického hlediska a systém se nazývá Cohen – Macaulay, pokud ano místně Noetherian a jeho místním prstencem v každém bodě je Cohen – Macaulay.

Příklady

Noetherian prsteny následujících typů jsou Cohen – Macaulay.

• Žádný pravidelný místní kroužek. To vede k různým příkladům Cohen – Macaulayových prstenů, jako jsou celá čísla ${ displaystyle mathbb {Z}}$nebo polynomiální kruh ${ displaystyle K [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ přes pole K.nebo napájecí série prsten ${ displaystyle K [[x_ {1}, ldots, x_ {n}]]}$ . Z geometrického hlediska každý pravidelné schéma, například hladká odrůda na poli, je Cohen – Macaulay.
• Libovolný 0rozměrný prsten (nebo ekvivalentně libovolný Artinian prsten ).
• Libovolný 1-rozměrný snížený prsten, například jakýkoli 1-rozměrný doména.
• Libovolný 2-rozměrný normální prsten.
• Žádný Gorensteinův prsten. Zejména jakékoli kompletní průsečík.
• The prsten invarianty ${ displaystyle R ^ {G}}$ když R je Cohen-Macaulayova algebra nad polem charakteristický nula a G je konečná skupina (nebo obecněji a lineární algebraická skupina jehož složka identity je redukční ). To je Hochster-Robertsova věta.
• Libovolný determinální kruh. To je, pojďme R být podílem pravidelného místního kruhu S podle ideálu Já generované r × r nezletilí některých str × q matice prvků S. Pokud je codimension (nebo výška ) z Já se rovná „očekávané“ kodimenzionální (str−r+1)(q−r+1), R se nazývá a determinantní prsten. V tom případě, R je Cohen − Macaulay.^[1] Podobně koordinujte kroužky z determinantní odrůdy jsou Cohen-Macaulay.

Několik dalších příkladů:

1. Prsten K.[X]/(X²) má dimenzi 0, a proto je Cohen – Macaulay, ale není redukovaná, a proto není pravidelná.
2. Podřetězec K.[t², t³] polynomického kruhu K.[t], nebo jeho lokalizace nebo dokončení v t= 0, je jednorozměrná doména, kterou je Gorenstein, a tedy Cohen – Macaulay, ale není pravidelná. Tento prsten lze také popsat jako souřadnicový prstenec cuspidální kubická křivka y² = X³ přes K..
3. Podřetězec K.[t³, t⁴, t⁵] polynomického kruhu K.[t], nebo jeho lokalizace nebo dokončení na t= 0, je jednorozměrná doména, kterou je Cohen – Macaulay, ale ne Gorenstein.

Racionální singularity nad polem charakteristické nuly jsou Cohen – Macaulay. Torické odrůdy nad jakýmkoli polem jsou Cohen – Macaulay.^[2] The minimální modelový program prominentně využívá odrůdy s klt (Terminál protokolu Kawamata) singularity; v charakteristické nule se jedná o racionální singularity, a proto jsou Cohen – Macaulay,^[3] Jedním z úspěšných analogů racionálních singularit v pozitivní charakteristice je pojem F-racionální singularity; takovými singularitami jsou opět Cohen – Macaulay.^[4]

Nechat X být projektivní rozmanitost dimenze n ≥ 1 nad polem a nechte L být dostatek svazku řádků na X. Pak sekce prsten z L

${ displaystyle R = bigoplus _ {j geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {j})}$

je Cohen – Macaulay právě tehdy, když kohomologie skupina Hⁱ(X, L^j) je nula pro všechny 1 ≤ i ≤ n−1 a všechna celá čísla j.^[5] Z toho například vyplývá, že afinní kužel Spec R přes abelianská odrůda X je Cohen – Macaulay, když X má dimenzi 1, ale ne kdy X má rozměr alespoň 2 (protože H¹(X, Ó) není nula). Viz také Zobecněný Cohen – Macaulayův prsten.

Cohen-Macaulayovy režimy

Říkáme, že lokálně Noetherian systém ${ displaystyle X}$ je Cohen – Macaulay, pokud v každém bodě ${ displaystyle x v X}$ místní prsten ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ je Cohen – Macaulay.

Cohen-Macaulayovy křivky

Cohen-Macaulayovy křivky jsou zvláštním případem Cohen-Macaulayových křivek, ale jsou užitečné pro zhutnění modulových prostorů křivek^[6] kde hranice hladkého místa ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {g}}$ je Cohen-Macaulayova křivka. Existuje užitečné kritérium pro rozhodování, zda jsou křivky Cohen-Macaulay. Schémata dimenze ${ displaystyle leq 1}$ jsou Cohen-Macaulay právě tehdy, pokud nemají vložená prvočísla.^[7] Singularity přítomné v Cohen-Macaulayových křivkách lze zcela klasifikovat pohledem na případ rovinných křivek.^[8]

Non-příklady

Pomocí kritéria existují jednoduché příklady křivek jiných než Cohen-Macaulay z konstrukce křivek s vloženými body. Například schéma

${ displaystyle X = { text {Spec}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2}, xy)}} right)}$

má rozklad na prvotřídní ideály ${ displaystyle (x) cdot (x, y)}$. Geometricky to je ${ displaystyle y}$- osa s vloženým bodem v počátku, o kterém lze uvažovat jako o tučný bod. Vzhledem k hladké projektivní rovinné křivce ${ displaystyle C podmnožina mathbb {P} ^ {2}}$, křivku s vloženým bodem lze sestrojit pomocí stejné techniky: najít ideál ${ displaystyle I_ {x}}$ bodu v ${ displaystyle x v C}$ a znásobte to ideálem ${ displaystyle I_ {C}}$ z ${ displaystyle C}$. Pak

${ displaystyle X = { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, z]} {I_ {C} cdot I_ {x}}} right)}$

je křivka s vloženým bodem v ${ displaystyle x}$.

Teorie křižovatky

Cohen-Macaulayovy režimy mají zvláštní vztah teorie průniku. Přesně tak X být hladkou odrůdou^[9] a PROTI, Ž uzavřené podsystémy čisté dimenze. Nechat Z být správná součást schématu - teoretická křižovatka ${ displaystyle V times _ {X} W}$, tj. neredukovatelná složka očekávané dimenze. Pokud místní kruh A z ${ displaystyle V times _ {X} W}$ na obecný bod z Z je Cohen-Macaulay, pak multiplicita křižovatky z PROTI a Ž podél Z je uvedena jako délka A:^[10]

${ displaystyle i (Z, V cdot W, X) = operatorname {délka} (A)}$.

Obecně se tato multiplicita udává jako délka, která v podstatě charakterizuje Cohen – Macaulayův prsten; vidět # Vlastnosti. Násobnost jedno kritérium, na druhé straně zhruba charakterizuje běžný místní kruh jako místní kruh multiplicity one.

Příklad

Pro jednoduchý příklad, vezmeme-li průsečík a parabola s přímkou ​​tečnou k ní je místní kruh v průsečíku izomorfní

${ displaystyle { frac { mathbb {C} [x, y]} {(yx ^ {2})}} další _ { mathbb {C} [x, y]} { frac { mathbb { C} [x, y]} {(y)}} cong { frac { mathbb {C} [x]} {(x ^ {2})}}}$

což je Cohen – Macaulay s délkou dva, tedy multiplicita průsečíku je podle očekávání dvě.

Zázračná plochost nebo Hironakovo kritérium

Existuje pozoruhodná charakteristika Cohen-Macaulayových prstenů, někdy nazývaných zázračná plochost nebo Hironakovo kritérium. Nechat R být místním kruhem, který je definitivně generováno jako modul přes nějaký pravidelný místní kruh A obsaženo v R. Takový podřetězec existuje pro jakoukoli lokalizaci R v a hlavní ideál a konečně generovaná algebra nad polem, u Noetherovo normalizační lema; také existuje, když R je kompletní a obsahuje pole nebo kdy R je úplná doména.^[11] Pak R je Cohen – Macaulay právě tehdy, když je byt jako A-modul; je to ekvivalentní říci to R je volný, uvolnit jako A-modul.^[12]

Geometrická formulace je následující. Nechat X být připojeno afinní schéma z konečný typ přes pole K. (například an afinní odrůda ). Nechat n být rozměrem X. Podle Noetherovy normalizace existuje konečný morfismus F z X do afinního prostoru Aⁿ přes K.. Pak X je Cohen – Macaulay, pokud a pouze všechna vlákna F mít stejný titul.^[13] Je zarážející, že tato vlastnost je nezávislá na výběru F.

Konečně existuje verze Miracle Flatness pro odstupňované prsteny. Nechat R být konečně generovaný komutativní odstupňovaná algebra přes pole K.,

${ displaystyle R = K oplus R_ {1} oplus R_ {2} oplus cdots.}$

Vždy existuje odstupňovaný polynomiální podřetězec A ⊂ R (s generátory v různých stupních) takové R je definitivně vygenerován jako A-modul. Pak R je Cohen – Macaulay právě tehdy R je zdarma jako známka A-modul. Z toho vyplývá, že tato volnost je nezávislá na výběru polynomiálního podřetězce A.

Vlastnosti

• Noetherian local ring is Cohen-Macaulay if and only if its Dokončení je Cohen-Macaulay.^[14]
• Li R je prsten Cohen – Macaulay, pak polynomiální kruh R[X] a vyzvánění výkonové řady R[[X]] jsou Cohen – Macaulay.^[15][16]
• Pro nenulový dělitel u v maximálním ideálu lokálního prstenu Noetherian R, R je Cohen – Macaulay právě tehdy R/(u) je Cohen – Macaulay.^[17]
• Kvocient Cohen – Macaulayova prstenu ideál je všeobecně řetězovka.^[18]
• Li R je podíl kružnice Cohen – Macaulay, pak lokus { str ∈ Spec R | R_str je Cohen – Macaulay} je otevřená podmnožina Spec R.^[19]
• Nechť (R, m, k) být noetherianským místním prstencem vkládajícím codimension C, znamenající, že C = dim_k(m/m²) - ztlumit (R). Z geometrického hlediska to platí pro lokální kruh podskupiny codimension C v pravidelném schématu. Pro C=1, R je Cohen – Macaulay právě tehdy, když je hyperplošný prsten. Existuje také věta o struktuře Cohen – Macaulayových prstenů codimension 2, dále Věta Hilbert – Burch: jsou to všechny determinantální prstence, definované r × r nezletilír+1) × r matice pro některé r.
• Pro netherianský místní kruh (R, m), ekvivalentní jsou následující:^[20]
  1. R je Cohen – Macaulay.
  2. Pro každého parametr ideální Q (ideál generovaný a soustava parametrů ),

     ${ displaystyle operatorname {délka} (R / Q) = e (Q)}$ : = Násobnost Hilbert – Samuel z Q.

  3. Pro některé parametry ideální Q, ${ displaystyle operatorname {délka} (R / Q) = e (Q)}$.

(Vidět Zobecněný Cohen – Macaulayův prsten stejně jako Buchsbaumův prsten pro prsteny, které tuto charakteristiku zobecňují.)

Věta o nesmíšenosti

Ideál Já noetherianského prstenu A je nazýván nemíchaný na výšku, pokud je výška Já se rovná výšce každého sdružený prime P z A/Já. (To je silnější, než to říkat A/Já je ekvidimenzionální; viz. níže.)

The teorém o nesmíšenosti se říká, že drží prsten A pokud každý ideální Já generovaný počtem prvků, které se rovnají jeho výšce, se nemísí. Noetherovský prsten je Cohen – Macaulay právě tehdy, když pro něj platí věta o nesmíšenosti.^[21]

Nesmíšená věta platí zejména pro nulový ideál (ideál generovaný nulovými prvky), a tak říká, že Cohen – Macaulayův kruh je ekvidimenzionální kruh; ve skutečnosti v silném slova smyslu: neexistuje žádná vložená komponenta a každá komponenta má stejnou codimension.

Viz také: kvazi-nesmíšený prsten (prsten, ve kterém je nezměněná věta integrální uzavření ideálu ).

Protiklady

1. Li K. je pole, pak prsten R = K.[X,y]/(X²,xy) (souřadnicový kruh úsečky s vloženým bodem) není Cohen – Macaulay. Toto následuje například tím, že Zázračná plochost: R je konečný přes polynomiální kruh A = K.[y], se stupněm 1 nad body afinní linie Spec A s y ≠ 0, ale se stupněm 2 nad bodem y = 0 (protože K.-vektorový prostor K.[X]/(X²) má rozměr 2).
2. Li K. je pole, pak prsten K.[X,y,z]/(xy,xz) (souřadnicový prstenec spojení přímky a roviny) je zmenšený, ale ne ekvidimenzionální, a tedy ne Cohen – Macaulay. Vezmeme kvocient nenulovým dělitelem X−z uvádí předchozí příklad.
3. Li K. je pole, pak prsten R = K.[w,X,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (souřadnicový kruh spojení dvou rovin setkávajících se v bodě) je zmenšený a ekvidimenzionální, ale ne Cohen – Macaulay. K prokázání toho lze použít Hartshorne je věta o propojenosti: pokud R je Cohen – Macaulayův místní kruh dimenze nejméně 2, pak Spec R minus jeho uzavřený bod je připojen.^[22]

The Segre produkt ze dvou Cohen-Macaulayovy prsteny nemusí to být Cohen-Macaulay.^{[Citace je zapotřebí ]}

Grothendieckova dualita

Jeden význam Cohen – Macaulayova stavu lze vidět v koherentní dualita teorie. Odrůda nebo schéma X je Cohen – Macaulay, pokud „dualizační komplex“, který a priori leží v odvozená kategorie z snopy na X, je reprezentován jediným svazkem. Silnější vlastnost bytí Gorenstein znamená, že tento svazek je svazek řádků. Zejména každý pravidelný Schéma je Gorenstein. Tedy výroky o dualitách, jako např Serre dualita nebo Grothendieck místní dualita pro schémata Gorenstein nebo Cohen – Macaulay si zachovávají určitou jednoduchost toho, co se děje u pravidelných schémat nebo hladkých odrůd.

Poznámky

Reference

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen – Macaulayovy prsteny, Cambridge studia pokročilé matematiky, 39, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-41068-7, PAN  1251956
• Cohen, I. S. (1946), „O struktuře a ideální teorii úplných místních kruhů“, Transakce Americké matematické společnosti, 59: 54–106, doi:10.2307/1990313, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990313, PAN  0016094 Cohenův článek byl napsán, když „místní prsten“ znamenal to, co se nyní nazývá „noetherianský místní prsten“.
• V.I. Danilov (2001) [1994], „Cohen – Macaulayův prsten“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem směrem k algebraické geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Fulton, William (1993), Úvod do torických odrůd, Princeton University Press, doi:10.1515/9781400882526, ISBN  978-0-691-00049-7, PAN  1234037
• William Fulton. (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry algebraických odrůd, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511662560, ISBN  0-521-63277-3, PAN  1658959
• Kollár, János (2013), Zvláštnosti minimálního modelového programu, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9781139547895, ISBN  978-1-107-03534-8, PAN  3057950
• Macaulay, F.S. (1994) [1916], Algebraická teorie modulárních systémů, Cambridge University Press, ISBN  1-4297-0441-1, PAN  1281612
• Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6, PAN  0879273
• Schwede, Karl; Tucker, Kevin (2012), „Přehled testovacích ideálů“, Pokrok v komutativní algebře 2, Berlín: Walter de Gruyter, s. 39–99, arXiv:1104.2000, Bibcode:2011arXiv1104.2000S, PAN  2932591

externí odkazy

• Příklady integrálních domén Cohen-Macaulay
• Příklady prstenů Cohen-Macaulay