Annihilator (prstenová teorie) - Annihilator (ring theory)
![]() | Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
v matematika konkrétně teorie modulů, zničit a modul nebo podmnožina modulu je koncept zobecňující kroucení a ortogonalita. Stručně řečeno, pro komutativní prsteny, annihilator modulu přes prsten je sada prvků v které vždy fungují jako násobení na . Prototypický příklad zničení nad komutativním prstencem lze pochopit tak, že si vezmeme kvocientový kruh a považuji to za -modul. Poté zničil je ideál protože všechny jednat prostřednictvím nulové mapy na . To ukazuje, jak ideální lze považovat za sadu torzních prvků v základním prstenci pro modul . Všimněte si také, že jakýkoli prvek to není in bude mít na modulu nenulovou akci , z čehož vyplývá sada lze považovat za sadu ortogonálních prvků k ideálu .
Pro nekomutativní prsteny , existuje podobná představa o ničiteli pro levý a pravý modul, nazývaná levý anihilátor a pravý-anihilátor.
Definice
Nechat R být prsten a nechte M být vlevo R-modul. Vyber neprázdný podmnožina S z M. The zničit z S, označeno AnnR(S), je sada všech prvků r v R takové, že pro všechny s v S, rs = 0.[1] V množinové notaci
Je to soubor všech prvků R ten „vyhladit“ S (prvky, pro které S je torzní sada). Lze také použít podmnožiny správných modulů po úpravě „sr = 0"v definici.
Zničení jediného prvku X se obvykle píše AnnR(X) místo AnnR({X}). Pokud prsten R lze pochopit z kontextu, dolního indexu R lze vynechat.
Od té doby R je modul sám o sobě, S lze považovat za podmnožinu R sám a od té doby R je jak pravá, tak levá R modul, musí být notace mírně upravena, aby označovala levou nebo pravou stranu. Obvykle a nebo nějaké podobné schéma dolního indexu se používá k rozlišení levého a pravého anihilátoru, pokud je to nutné.
Li M je R-modul a AnnR(M) = 0, pak M se nazývá a věrný modul.
Vlastnosti
Li S je podmnožinou levice R modul M, pak Ann (S) je vlevo ideál z R.[2]
Li S je submodul z M, pak AnnR(S) je dokonce oboustranný ideál: (ac)s = A(cs) = 0, protože cs je dalším prvkem S.[3]
Li S je podmnožinou M a N je submodul M generováno uživatelem S, pak obecně AnnR(N) je podmnožinou AnnR(S), ale nemusí být nutně stejné. Li R je komutativní, pak rovnost platí.
M lze také zobrazit jako R/ AnnR(M) -module pomocí akce . Mimochodem, není vždy možné udělat R modul do R/Já modul tímto způsobem, ale pokud je to ideální Já je podmnožinou ničitele z M, pak je tato akce dobře definována. Považováno za R/ AnnR(M)-modul, M je automaticky věrný modul.
Pro komutativní prsteny
V této části pojďme být komutativní prsten a A konečný -modul.
Vztah k podpoře
Připomeňme, že podpora modulu je definován jako
Poté, když je modul definitivně generován, existuje vztah
kde je sada prvotřídních ideálů obsahujících podmnožinu.[4]
Krátké přesné sekvence
Vzhledem k krátké přesné posloupnosti modulů
vlastnost podpory
společně se vztahem k anihilátoru to znamená
Proto
Lze jej použít k výpočtu anihilátoru přímého součtu modulů, as
Kvocientové moduly a anihilátory
Vzhledem k ideálu a nechte být konečným modulem, pak existuje vztah
na podporu. Při použití vztahu k podpoře to dává vztah s ničitelem[6]
Annihilator kvocientového kruhu
Zejména pokud pak anihilátor lze najít výslovně pomocí
Proto zničení je jen .
Příklady
Přes celá čísla
Přes jakýkoli konečně vygenerovaný modul je zcela klasifikován jako přímý součet jeho volné části s její torzní částí ze základní věty abelianských skupin. Potom je anihilátor konečného modulu netriviální, pouze pokud je zcela torzní. To je proto, že
protože jediný prvek zabíjející každého z je . Například anihilátor z je
ideál generovaný . Ve skutečnosti anihilátor torzního modulu
je izomorfní s ideálem generovaným jejich nejméně společným násobkem, . To ukazuje, že anihilátory lze snadno klasifikovat na celá čísla.
Přes komutativní prsten R
Ve skutečnosti existuje podobný výpočet, který lze provést pro jakýkoli konečný modul přes komutativní kruh . Připomeňme, že definice konečnosti znamená, že existuje pravá přesná sekvence, nazývaná prezentace, daná
kde je v . Psaní výslovně jako matice to dává jako
proto má přímý rozklad součtu
Napíšeme-li každý z těchto ideálů jako
pak ideální dána
představuje anihilátor.
Přes k[X,y]
Přes komutativní kruh pro pole , ničitel modulu
je dána ideálem
Řetězové podmínky na ideálech anihilátoru
The mříž ideálů formy kde S je podmnožinou R obsahovat a úplná mříž když částečně objednané začleněním. Je zajímavé studovat prsteny, pro které tato mřížka (nebo její pravý protějšek) splňuje vzestupný stav řetězu nebo sestupný stav řetězu.
Označme mřížku ideálů levého anihilátoru R tak jako a mřížka ideálů pravého zničení R tak jako . Je známo že uspokojuje A.C.C. kdyby a jen kdyby uspokojuje DCC a symetricky uspokojuje A.C.C. kdyby a jen kdyby uspokojuje D.C.C. Pokud má kterákoli z mřížek některou z těchto podmínek řetězce, pak R nemá žádné nekonečné ortogonální sady idempotents. (Anderson a 1992, s. 322 ) (Lam 1999 )
Li R je prsten, pro který uspokojuje A.C.C. a RR má konečný jednotný rozměr, pak R se nazývá levice Zlatý prsten. (Lam 1999 )
Teoretický popis kategorie pro komutativní prstence
Když R je komutativní a M je R- modul, můžeme popsat AnnR(M) jako jádro akční mapy R → KonecR(M) určeno doplňková mapa identity M → M podél Hom-tenzorové přídavné zařízení.
Obecněji řečeno, vzhledem k bilineární mapa modulů , zničení podmnožiny je sada všech prvků v že zničit :
Naopak, vzhledem k tomu , lze definovat anihilátor jako podmnožinu .
Annihilator dává Galoisovo spojení mezi podskupinami a a související operátor uzavření je silnější než rozpětí. Zejména:
- annihilátory jsou podmoduly
Důležitým zvláštním případem je přítomnost a nedgenerovaná forma na vektorový prostor, zejména vnitřní produkt: pak annihilator přidružený k mapě se nazývá ortogonální doplněk.
Vztahy k dalším vlastnostem prstenů
Vzhledem k modulu M přes noetherianský komutativní kruh R, hlavní ideál R to je annihilator nenulového prvku M se nazývá sdružený prime z M.
- Annihilátory se používají k definování vlevo Rickart zazvoní a Baerovy kroužky.
- Sada (vlevo) nulové dělitele DS z S lze psát jako
(Zde dovolujeme, aby nula byla nulovým dělitelem.)
- Zejména DR je množina (vlevo) nulových dělitelů R brát S = R a R jedná sama o sobě jako levice R-modul.
- Když R je komutativní a Noetherian, sada se přesně rovná svaz z související prvočísla z R-modul R.
Viz také
Poznámky
- ^ Pierce (1982), str. 23.
- ^ Důkaz: Pokud A a b oba zničit S, pak pro každého s v S, (A + b)s = tak jako + bs = 0 a pro všechny r v R, (ra)s = r(tak jako) = r0 = 0.
- ^ Pierce (1982), str. 23, Lemma b, položka (i).
- ^ „Lemma 10.39.5 (00L2) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-13.
- ^ „Lemma 10.39.9 (00L3) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-13.
- ^ „Lemma 10.39.9 (00L3) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-05-13.
Reference
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Kroužky a kategorie modulů, Postgraduální texty z matematiky, 13 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. X + 376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, PAN 1245487
- Izrael Nathan Herstein (1968) Nekomutativní prsteny, Matematické monografie Carus #15, Mathematical Association of America, strana 3.
- Lam, Tsit Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 228–232, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294
- Richard S.Pierce. Asociativní algebry. Postgraduální texty z matematiky, sv. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5