Projektivní modul - Projective module - Wikipedia

v matematika, zejména v algebra, třída z projektivní moduly rozšiřuje třídu bezplatné moduly (to znamená, moduly s základní vektory ) přes prsten tím, že si ponechá některé z hlavních vlastností bezplatných modulů. Níže jsou uvedeny různé ekvivalentní charakterizace těchto modulů.

Každý volný modul je projektivní modul, ale konverzace nedokáže držet nad některými kroužky, jako je například Dedekind zazvoní to nejsou hlavní ideální domény. Každý projektivní modul je však volným modulem, pokud je prsten hlavní ideální doménou, jako je celá čísla nebo polynomiální kruh (to je Quillen – Suslinova věta ).

Projektivní moduly byly poprvé představeny v roce 1956 ve vlivné knize Homologická algebra podle Henri Cartan a Samuel Eilenberg.

Definice

Zvedání majetku

Obvyklý kategorie teoretická definice je z hlediska vlastnictví zdvihání který přenáší z volných na projektivní moduly: modul P je projektivní právě tehdy, když pro každý surjektiv homomorfismus modulu F : N ↠ M a každý modul homomorfismus G : P → M, existuje modul homomorphism h : P → N takhle F h = G. (Nevyžadujeme zvedající homomorfismus h být jedinečný; to není univerzální vlastnictví.)

Výhodou této definice „projektivního“ je, že jej lze provádět v kategoriích obecnějších než v kategoriích modulů: nepotřebujeme pojem „volný objekt“. Může být také duální, což vede k injektivní moduly. Zvedací vlastnost může být také přeformulována jako každý morfismus od ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle M}$ faktory přes každý epimorfismus až po ${ displaystyle M}$ . Podle definice jsou tedy projektivní moduly přesně tím projektivní objekty v kategorii R- moduly.

Split-přesné sekvence

Modul P je projektivní právě tehdy, když každý krátká přesná sekvence modulů formuláře

{ displaystyle 0 rightarrow A rightarrow B rightarrow P rightarrow 0}

je rozdělit přesnou sekvenci. To znamená pro každý surjektivní modul homomorfismus F : B ↠ P existuje a mapa řezu, tj. homomorfismus modulu h : P → B takhle F h = id_P. V tom případě, h(P) je přímý součet z B, h je izomorfismus z P na h(P), a h F je projekce na summandu h(P). Ekvivalentně

{ displaystyle B = operatorname {Im} (h) oplus operatorname {Ker} (f) { text {kde}} operatorname {Ker} (f) cong A { text {a} } operatorname {Im} (h) cong P.}

Přímé souhrny volných modulů

Modul P je projektivní právě tehdy, pokud existuje další modul Q takové, že přímý součet z P a Q je bezplatný modul.

Přesnost

An R-modul P je projektivní právě tehdy, pokud je kovariantní funktor Hom (P, -): R-Mod → Ab je přesný funktor, kde R-Mod je kategorie vlevo R-moduly a Ab je kategorie abelianské skupiny. Když prsten R je komutativní Ab je výhodně nahrazen R-Mod v předchozí charakterizaci. Tento funktor je vždy ponechán přesný, ale kdy P je projektivní, je také správně přesný. Tohle znamená tamto P je projektivní právě tehdy, pokud tento funktor zachovává epimorfismy (surjektivní homomorfismy) nebo pokud zachovává konečné colimity.

Duální základ

Modul P je projektivní právě tehdy, pokud existuje sada ${ displaystyle {a_ {i} v P mid i v I }}$ a sada ${ displaystyle {f_ {i} in mathrm {Hom} (P, R) mid i v I }}$ tak, že pro každého X v P, F_i(X) je nenulová pouze pro konečně mnoho i, a ${ displaystyle x = součet f_ {i} (x) a_ {i}}$ .

Základní příklady a vlastnosti

Následující vlastnosti projektivních modulů se rychle odvodí z kterékoli z výše uvedených (ekvivalentních) definic projektivních modulů:

Přímé součty a přímé součty projektivních modulů jsou projektivní.
Li E = E² je idempotentní v ringu R, pak Re je projektivní levý modul R.

Vztah k dalším modulem-teoretickým vlastnostem

Vztah projektivních modulů k volným a plochým modulům je zahrnut v následujícím diagramu vlastností modulů:

Důsledky zleva doprava jsou pravdivé pro jakýkoli kruh, i když to někteří autoři definují torzní moduly pouze přes doménu. Důsledky zprava doleva platí pro prsteny, které je označují. Mohou existovat i jiné prsteny, nad kterými jsou pravdivé. Například implikace označená jako „místní kruh nebo PID“ platí také pro polynomiální kroužky nad polem: toto je Quillen – Suslinova věta.

Projektivní vs. volné moduly

Libovolný bezplatný modul je projektivní. Konverzace platí v následujících případech:

-li R je pole nebo šikmé pole: žádný modul je v tomto případě zdarma.
pokud prsten R je hlavní ideální doména. Například to platí pro R = Z (dále jen celá čísla ), takže abelianská skupina je projektivní kdyby a jen kdyby to je bezplatná abelianská skupina. Důvodem je, že jakýkoli submodul volného modulu nad hlavní ideální doménou je zdarma.
pokud prsten R je místní prsten. Tato skutečnost je základem intuice „lokálně zdarma = projektivní“. Tuto skutečnost lze u konečně generovaných projektivních modulů snadno dokázat. Obecně je to kvůli Kaplansky (1958); vidět Kaplanského věta o projektivních modulech.

Obecně však nemusí být projektivní moduly zdarma:

Přes přímý produkt prstenů R × S kde R a S jsou nenulové prsteny, oba R × 0 a 0 × S jsou nesvobodné projektivní moduly.
Přes Dedekind doména nehlavním ideálem je vždy projektivní modul, který není volným modulem.
Přes maticový prsten M_n(R), přirozený modul Rⁿ je projektivní, ale ne zdarma. Obecněji, přes všechny polojednoduchý prsten, každý modul je projektivní, ale nula ideální a samotný prsten jsou jedinými volnými ideály.

Rozdíl mezi volnými a projektivními moduly je v jistém smyslu měřen algebraicky K.- teoretická skupina K.₀(R), viz. níže.

Projektivní vs. ploché moduly

Každý projektivní modul je byt.^[1] Konverzace obecně není pravdivá: abelianská skupina Q je Z-modul, který je plochý, ale není projektivní.^[2]

Naopak, a konečně příbuzný plochý modul je projektivní.^[3]

Govorov (1965) a Lazard (1969) dokázal, že modul M je plochá, jen když je a přímý limit z konečně vygenerovaný bezplatné moduly.

Přesný vztah mezi plochostí a projektivitou obecně stanovil Raynaud & Gruson (1971) (viz také Drinfeld (2006) a Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) ), který ukázal, že modul M je projektivní tehdy a jen tehdy, pokud splňuje následující podmínky:

M je plochá,
M je přímý součet z početně vygenerovaných modulů,
M splňuje určitou podmínku typu Mittag-Leffler.

Kategorie projektivních modulů

Submoduly projektivních modulů nemusí být projektivní; prsten R pro který je každý submodul projektivního levého modulu projektivní se nazývá opustil dědičné.

Například podíly projektivních modulů nemusí být projektivní Z/n je podíl z Z, ale ne torzní, proto nejsou ploché, a proto ani projektivní.

Kategorie konečně generovaných projektivních modulů přes prsten je přesná kategorie. (Viz také algebraická K-teorie ).

Projektivní řešení

Vzhledem k modulu, M, a projektivní rozlišení z M je nekonečný přesná sekvence modulů

··· → P_n → ··· → P₂ → P₁ → P₀ → M → 0,

se všemi P_is projektivní. Každý modul má projektivní rozlišení. Ve skutečnosti bezplatné rozlišení (rozlišení do bezplatné moduly ) existuje. Přesná posloupnost projektivních modulů může být někdy zkrácena P(M) → M → 0 nebo P_• → M → 0. Klasický příklad projektivního rozlišení uvádí Koszul komplex a pravidelná sekvence, což je bezplatné rozlišení ideál vygenerovaný sekvencí.

The délka konečného rozlišení je dolní index n takhle P_n je nenulová a P_i = 0 pro i větší než n. Li M připouští konečné projektivní rozlišení, minimální délku mezi všemi konečnými projektivními rozlišeními M se nazývá jeho projektivní rozměr a označil pd (M). Li M nepřipouští konečné projektivní rozlišení, podle konvence je projektivní dimenze považována za nekonečnou. Jako příklad zvažte modul M takhle pd (M) = 0. V této situaci přesnost posloupnosti 0 → P₀ → M → 0 znamená, že šipka ve středu je izomorfismus, a tedy M sám o sobě je projektivní.

Projektivní moduly přes komutativní kruhy

Projektivní moduly skončily komutativní prsteny mít pěkné vlastnosti.

The lokalizace projektivního modulu je projektivní modul přes lokalizovaný kruh. Projektivní modul přes a místní prsten je zdarma. Projektivní modul tedy je místně zdarma (v tom smyslu, že jeho lokalizace v každém ideálním ideálu je zdarma nad odpovídající lokalizací prstence).

Opak platí pro konečně generované moduly přes Noetherian prsteny: konečně vygenerovaný modul přes komutativní noetherianský kruh je lokálně zdarma, právě když je projektivní.

Existují však příklady konečně generovaných modulů přes netheretherský kruh, které jsou lokálně volné a neprojektivní. Například a Booleovský prsten má všechny své lokalizace isomorfní F₂, pole dvou prvků, takže jakýkoli modul nad booleovským prstencem je lokálně volný, ale nad booleovskými kruhy jsou některé neprojektivní moduly. Jedním z příkladů je R/Já kde R je přímým produktem nespočetně mnoha kopií F₂ a Já je přímý součet spočetně mnoha kopií F₂ uvnitř R.v R-modul R/Já je od roku místně zdarma R je Boolean (a je definitivně generován jako R-module také s překlenovací sadou velikosti 1), ale R/Já není projektivní, protože Já není hlavním ideálem. (Pokud je kvocientový modul R/Já, pro jakýkoli komutativní kruh R a ideální Já, je projektivní R-modul pak Já je jistina.)

Je však pravda, že pro konečně prezentované moduly M přes komutativní kruh R (zejména pokud M je definitivně generován R-modul a R je noetherian), následující jsou ekvivalentní.^[4]

${ displaystyle M}$ je plochá.
${ displaystyle M}$ je projektivní.
${ displaystyle M _ { mathfrak {m}}}$ je zdarma jako ${ displaystyle R _ { mathfrak {m}}}$ -modul pro každý maximální ideál ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ z R.
${ displaystyle M _ { mathfrak {p}}}$ je zdarma jako ${ displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ -modul pro každý hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ z R.
Existují ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n} v R}$ generování jednotky ideální tak, že ${ displaystyle M [f_ {i} ^ {- 1}]}$ je zdarma jako ${ displaystyle R [f_ {i} ^ {- 1}]}$ -modul pro každého i.
${ displaystyle { widetilde {M}}}$ je lokálně zdarma svazek na ${ displaystyle operatorname {specifikace} R}$ (kde ${ displaystyle { widetilde {M}}}$ je svazek spojený s M.)

Navíc pokud R je tedy netherianská integrální doména, tedy Nakayamovo lemma, tyto podmínky jsou ekvivalentní k

Rozměr ${ displaystyle k ({ mathfrak {p}})}$ –Vektorový prostor ${ displaystyle M otimes _ {R} k ({ mathfrak {p}})}$ je stejný pro všechny hlavní ideály ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ z R, kde ${ displaystyle k ({ mathfrak {p}})}$ je pole reziduí v ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ .^[5] To znamená, M má konstantní pořadí (jak je definováno níže).

Nechat A být komutativním kruhem. Li B je (možná nekomutativní) A-algebra, která je konečně generovaným projektivem A-modul obsahující A jako podřetězec A je přímým faktorem B.^[6]

Hodnost

Nechat P být konečně generovaným projektivním modulem přes komutativní kruh R a X být spektrum z R. The hodnost z P v nejlepším ideálu ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ v X je hodnost svobodných ${ displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ -modul ${ displaystyle P _ { mathfrak {p}}}$ . Je to lokálně konstantní funkce na X. Zejména pokud X je připojen (to je pokud R nemá jiné idempotenty než 0 a 1) P má stálou hodnost.

Vektorové balíčky a lokálně bezplatné moduly

Základní motivací teorie je, že projektivní moduly (alespoň přes určité komutativní kruhy) jsou analogické vektorové svazky. To lze zpřesnit pro kruh spojitých funkcí se skutečnou hodnotou na a kompaktní Hausdorffův prostor, stejně jako pro kruh hladkých funkcí na a hladké potrubí (vidět Serre – Swanova věta který říká, že konečně generovaný projektivní modul nad prostorem hladkých funkcí na kompaktním potrubí je prostor hladkých částí hladkého vektorového svazku).

Vektorové svazky jsou místně zdarma. Pokud existuje pojem „lokalizace“, který lze přenést na moduly, jako je obvyklé lokalizace prstenu lze definovat lokálně volné moduly a projektivní moduly se pak obvykle shodují s lokálně volnými moduly.

Projektivní moduly přes polynomiální kruh

The Quillen – Suslinova věta, který řeší Serreho problém, je další hluboký výsledek: pokud K. je pole, nebo obecněji a hlavní ideální doména, a R = K.[X₁,...,X_n] je polynomiální kruh přes K., pak každý projektivní modul končí R je zdarma. Na tento problém poprvé upozornil Serre K. pole (a moduly se definitivně generují). Bass to vyřešil pro neomezeně generované moduly a Quillen a Suslin nezávisle a současně zpracovali případ konečně generovaných modulů.

Protože každý projektivní modul nad hlavní ideální doménou je zdarma, lze si položit tuto otázku: if R je komutativní kruh takový, že každý (konečně generovaný) projektiv R-module je zdarma, pak je každý (konečně vygenerovaný) projektivní R[X] -modul zdarma? Odpověď je Ne. Protiklad se vyskytuje u R rovnající se místnímu kruhu křivky y² = X³ na počátku. Quillen-Suslinova věta tedy nikdy nemohla být prokázána jednoduchou indukcí počtu proměnných.

Viz také

Poznámky

^ Hazewinkel; et al. (2004). Dodatek 5.4.5. p. 131.
^ Hazewinkel; et al. (2004). Poznámka po doplňku 5.4.5. str. 131–132.
^ Cohn 2003 Dodatek 4.6.4
^ Cvičení 4.11 a 4.12 a Dodatek 6.6 Davida Eisenbuda, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Také, Milne 1980
^ To znamená ${ displaystyle k ({ mathfrak {p}}) = R _ { mathfrak {p}} / { mathfrak {p}} R _ { mathfrak {p}}}$ je zbytkové pole místního kruhu ${ displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ .
^ Bourbaki, Algèbre komutativní 1989, Ch II, §5, cvičení 4

Reference

William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Algebra: Přístup prostřednictvím teorie modulů. Springer. Bod 3.5.
Iain T. Adamson (1972). Základní kroužky a moduly. Univerzitní matematické texty. Oliver a Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
Nicolas Bourbaki „Komutativní algebra, Ch. II, §5
Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), „Tate objekty v přesných kategoriích“, Mosc. Matematika. J., 16 (3), arXiv:1402,4969v4, doi:10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, PAN 3510209
Paul M. Cohn (2003). Další algebra a aplikace. Springer. ISBN 1-85233-667-6.
Drinfeld, Vladimir (2006), „Nekonečno-dimenzionální vektorové svazky v algebraické geometrii: úvod“, Pavel Etingof; Vladimir Retakh; I. M. Singer (eds.), Jednota matematiky, Birkhäuser Boston, str. 263–304, arXiv:matematika / 0309155v4, doi:10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, PAN 2181808
Govorov, V. E. (1965), „On flat modules (Russian)“, Sibiřská matematika. J., 6: 300–304
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebry, prsteny a moduly. Springer Science. ISBN 978-1-4020-2690-4.
Kaplansky, Irving (1958), "Projektivní moduly", Ann. matematiky., 2, 68 (2): 372–377, doi:10.2307/1970252, hdl:10338.dmlcz / 101124, JSTOR 1970252, PAN 0100017
Lang, Serge (1993). Algebra (3. vyd.). Addison – Wesley. ISBN 0-201-55540-9.
Lazard, D. (1969), „Autour de la platitude“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 97: 81–128, doi:10,24033 / bsmf.1675
Milne, James (1980). Étale cohomology. Princeton Univ. Lis. ISBN 0-691-08238-3.
Donald S. Passman (2004) Kurz teorie prstenů, zejména kapitola 2 Projektivní moduly, str. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 .
Raynaud, Michel; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Techniques de" platification "d'un module", Vymyslet. Matematika., 13: 1–89, Bibcode:1971InMat..13 .... 1R, doi:10.1007 / BF01390094, PAN 0308104
Paulo Ribenboim (1969) Kroužky a moduly, §1.6 Projektivní moduly, str. 19–24, Vydavatelé mezi vědami.
Charles Weibel, Kniha K: Úvod do algebraické teorie K.

[1] Hazewinkel; et al. (2004). Dodatek 5.4.5. p. 131.

[2] Hazewinkel; et al. (2004). Poznámka po doplňku 5.4.5. str. 131–132.

[3] Cohn 2003 Dodatek 4.6.4

[4] Cvičení 4.11 a 4.12 a Dodatek 6.6 Davida Eisenbuda, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Také, Milne 1980

[5] To znamená ${ displaystyle k ({ mathfrak {p}}) = R _ { mathfrak {p}} / { mathfrak {p}} R _ { mathfrak {p}}}$ je zbytkové pole místního kruhu ${ displaystyle R _ { mathfrak {p}}}$ .

[6] Bourbaki, Algèbre komutativní 1989, Ch II, §5, cvičení 4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]