Injekční trup - Injective hull

v matematika, zejména v algebra, injekční trup (nebo injekční obálka) a modul je nejmenší injekční modul obsahující ho a největší základní rozšíření toho. Injekční trupy byly poprvé popsány v (Eckmann & Schopf 1953 ).

Definice

A modul E se nazývá injekční trup modulu M, pokud E je základní rozšíření z M, a E je injekční. Zde je základní prsten prsten s jednotou, i když možná nekomutativní.

Příklady

Injekční modul je jeho vlastní injekční trup.
Injekční trup z integrální doména je jeho pole zlomků, (Lam 1999, Příklad 3.35)
Injekční trup cyklické p-skupina (jako Z-module) je a Skupina Prüfer, (Lam 1999, Příklad 3.36)
Injekční trup R/ rad (R) je Hom_k(R,k), kde R je konečně-dimenzionální k-algebra s Jacobson radikální rad (R), (Lam 1999, Příklad 3.41).
A jednoduchý modul je nutně sokl jeho injekčního trupu.
Injekční trup kvocientového pole a diskrétní oceňovací kruh ${ displaystyle (R, { mathfrak {m}}, k)}$ kde ${ displaystyle { mathfrak {m}} = x cdot R}$ je ${ displaystyle R_ {x} / R}$ .^[1]
Zejména injekční trup z ${ displaystyle mathbb {C}}$ v ${ displaystyle ( mathbb {C} [[t]], (t), mathbb {C})}$ je modul ${ displaystyle mathbb {C} ((t)) / mathbb {C} [[t]]}$ .

Vlastnosti

Injekční trup M je jedinečný až po izomorfismy, které jsou identitou M, nicméně izomorfismus nemusí být nutně jedinečný. Je to proto, že vlastnost rozšíření mapy injective hull není plnohodnotná univerzální vlastnictví. Kvůli této jedinečnosti lze trup označit jako E(M).
Injekční trup E(M) je maximální základní rozšíření z M v tom smyslu, že pokud M⊆E(M) ⊊B pro modul B, pak M není podstatným submodulem B.
Injekční trup E(M) je minimální injektivní modul obsahující M v tom smyslu, že pokud M⊆B pro injekční modul B, pak E(M) je (izomorfní) submodul B.
Li N je základní submodul M, pak E(N)=E(M).
Každý modul M má injekční trup. Konstrukce injective trupu, pokud jde o homomorfismy Hom (Já, M), kde Já prochází ideály R, darováno Fleischer (1968).
Dvojí představa a projektivní kryt dělá ne vždy existují pro modul, nicméně a plochý kryt existuje pro každý modul.

Prstencová struktura

V některých případech pro R podříznutí samoinjekčního prstenu S, injekční trup R bude mít také prstenovou strukturu.^[2] Například brát S být plný maticový prsten přes pole a brát R být jakýkoli prsten obsahující každou matici, která je nulová ve všech kromě posledního sloupce, injekčního trupu vpravo R-modul R je S. Například lze vzít R být prstencem všech horních trojúhelníkových matic. Ne vždy však platí, že injektivní trup prstenu má prstencovou strukturu, jako příklad v (Osofsky 1964 ) ukazuje.

Velká třída prstenů, které mají prstencové struktury na svých injekčních trupech, jsou nesingulární kroužky.^[3] Zejména pro integrální doména, injektivní trup prstence (považovaný za modul nad sebou) je pole zlomků. Injekční slupky nesingulárních prstenů poskytují analogii prstence kvocientů pro nekomutativní prsteny, kde absence Stav rudy může bránit tvorbě klasický okruh kvocientů. Tento typ „kruhu kvocientů“ (jak se tato obecnější „pole zlomků“ nazývají) byl propagován v (Utumi 1956 ) a spojení s injective trupy bylo uznáno v (Lambek 1963 ).

Jednotný rozměr a injektážní moduly

An R modul M má konečný jednotný rozměr (=konečná hodnost) n jen a jen v případě, že injekční trup z M je konečný přímý součet n nerozložitelné podmoduly.

Zobecnění

Obecněji řečeno C být abelianská kategorie. An objekt E je injekční trup objektu M -li M → E je zásadní rozšíření a E je injekční předmět.

Li C je místně malý, splňuje Grothendieckův axiom AB5 a má dost injekcí, pak každý objekt dovnitř C má injekční trup (tyto tři podmínky splňuje kategorie modulů přes prsten).^[4] Každý objekt v Kategorie Grothendieck má injekční trup.

Viz také

Plochý kryt, dvojí koncept injekčních trupů.
Racionální trup: Toto je analogie injekčního trupu, když uvažujeme maximum racionální rozšíření.

Poznámky

^ Walther, Uri. „Injective Modules“ (PDF). str. 11.
^ Lam 1999, str. 78–80.
^ Lam 1999, str. 366.
^ Oddíl III.2 (Mitchell 1965 )

Reference

Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), „Über injektive Moduln“, Archiv der Mathematik, 4 (2): 75–78, doi:10.1007 / BF01899665, ISSN 0003-9268, PAN 0055978
Fleischer, Isidore (1968), „Nová konstrukce injekčního trupu“, Canad. Matematika. Býk., 11: 19–21, doi:10.4153 / CMB-1968-002-3, PAN 0229680
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294
Lambek, Joachim (1963), „Na Utumiho kruhu kvocientů“, Kanadský žurnál matematiky, 15: 363–370, doi:10.4153 / CJM-1963-041-4, ISSN 0008-414X, PAN 0147509
Matlis, Eben (1958), "Injekční moduly nad noetherskými kroužky", Pacific Journal of Mathematics, 8: 511–528, doi:10,2140 / pjm.1958.8.511, ISSN 0030-8730, PAN 0099360^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
Matsumura, H. Komutativní teorie prstenů, Cambridge studuje objem pokročilé matematiky 8.
Mitchell, Barry (1965). Teorie kategorií. Čistá a aplikovaná matematika. 17. Akademický tisk. ISBN 978-0-124-99250-4. PAN 0202787.
Osofsky, B. L. (1964), "O vlastnostech prstenů injekčních trupů", Kanadský matematický bulletin, 7: 405–413, doi:10.4153 / CMB-1964-039-3, ISSN 0008-4395, PAN 0166227
Utumi, Yuzo (1956), „Na kvocientech“ Osaka Journal of Mathematics, 8: 1–18, ISSN 0030-6126, PAN 0078966

externí odkazy

injekční trup (Článek PlanetMath)
Stránka PlanetMath na modulech konečné pozice

[1] Walther, Uri. „Injective Modules“ (PDF). str. 11.

[FOOTNOTELam1999p._78–80-2] Lam 1999, str. 78–80.

[FOOTNOTELam1999p._366-3] Lam 1999, str. 366.

[4] Oddíl III.2 (Mitchell 1965 )

[1]

[2]

[3]

[4]