Monoidní prsten - Monoid ring

v abstraktní algebra, a monoidní prsten je prsten vyrobeny z prstenu a monoidní, stejně jako skupinové vyzvánění je vyroben z prstenu a skupina.

Definice

Nechat R být prsten a nechat G být monoidem. The monoidní prsten nebo monoidní algebra z G přes R, označeno R[G] nebo RG, je sada formálních částek ${ displaystyle sum _ {g v G} r_ {g} g}$ ,kde ${ displaystyle r_ {g} v R}$ pro každého ${ displaystyle g v G}$ a r_G = 0 pro všechny, ale konečně mnoho G, vybavené koeficientovým sčítáním a násobením, ve kterém prvky R dojíždět s živly G. Formálněji R[G] je sada funkcí φ: G → R takhle {G : φ (G) ≠ 0} je konečný, vybavený přidáním funkcí a násobením definovaným

{ displaystyle ( phi psi) (g) = součet _ {k ell = g} phi (k) psi ( ell)}

.

Li G je skupina, pak R[G] se také nazývá skupinové vyzvánění z G přes R.

Univerzální vlastnictví

Dáno R a G, tady je kruhový homomorfismus α: R → R[G] každý posílá r na r1 (kde 1 je prvek identity G) a a monoidní homomorfismus β: G → R[G] (kde druhý je při multiplikaci považován za monoid) odesílání každého G až 1G (kde 1 je multiplikativní identita R). Máme tu α (r) dojíždí s β (G) pro všechny r v R a G v G.

Univerzální vlastnost monoidního prstenu uvádí, že prsten dostal S, prstenový homomorfismus α ': R → Sa monoidní homomorfismus β ': G → S na multiplikativní monoid S, takže α '(r) dojíždí s β '(G) pro všechny r v R a G v Gexistuje jedinečný kruhový homomorfismus γ: R[G] → S tak, že složením α a β s γ vzniknou α 'a β'.

Augmentace

The augmentace je prstenový homomorfismus η: R[G] → R definován

{ displaystyle eta left ( sum _ {g in G} r_ {g} g right) = sum _ {g in G} r_ {g}.}

The jádro z η se nazývá augmentace ideální. Je to volný, uvolnit R-modul se základem skládajícím se z 1 -G pro všechny G v G nerovná se 1.

Příklady

Dostal prsten R a (aditivní) monoid z přirozená čísla N (nebo {Xⁿ} zobrazeno multiplikativně), získáme prsten R[{Xⁿ}] =: R[X] z polynomy přes R. Monoid Nⁿ (s přídavkem) dává polynomiální kruh s n proměnné: R[Nⁿ] =: R[X₁, ..., X_n].

Zobecnění

Li G je poloskupina, stejné konstrukční výnosy a poloskupinový prsten R[G].

Viz také

Reference

Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. 211 (Rev. 3. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X.

Další čtení

R. Gilmer. Komutativní poloskupinové kroužky. University of Chicago Press, Chicago – London, 1984