Trasování pole - Field trace

v matematika, trasování pole je zvláštní funkce definované s ohledem na a konečný rozšíření pole L/K., což je K.-lineární mapa z L na K..

Definice

Nechat K. být oborem a L konečný rozšíření (a tudíž algebraické rozšíření ) z K.. L lze zobrazit jako vektorový prostor přes K.. Násobení α, prvek L,

${ displaystyle m _ { alpha}: L až L { text {zadáno}} m _ { alpha} (x) = alpha x}$,

je K.-lineární transformace tohoto vektorového prostoru do sebe. The stopa, Tr_L/K.(α), je definována jako (lineární algebra) stopa této lineární transformace.^[1]

Pro α v L, nechť σ₁(α), ..., σ_n(α) být kořeny (počítáno s multiplicitou) minimální polynom z α přes K. (v nějakém rozšiřujícím poli K.), pak

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} ( alpha) = [L: K ( alpha)] sum _ {j = 1} ^ {n} sigma _ {j} ( alpha) }$.

Li L/K. je oddělitelný, pak se každý kořen objeví pouze jednou^[2] (to však neznamená, že výše uvedený koeficient je jeden; například pokud α je prvek identity 1 z K. pak stopa je [L:K.] krát 1).

Přesněji řečeno, pokud L/K. je Galoisovo rozšíření a α je v L, pak stopa α je součet všech Galoisovy konjugáty z α,^[1] tj.,

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} ( alfa) = součet _ {g v operatorname {Gal} (L / K)} g ( alfa),}$

kde Gal (L/K.) označuje Galoisova skupina z L/K..

Příklad

Nechat ${ displaystyle L = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$ být kvadratickým rozšířením ${ displaystyle mathbb {Q}}$. Pak základ ${ displaystyle L / mathbb {Q} { text {is}} {1, { sqrt {d}} }.}$ Li ${ displaystyle alpha = a + b { sqrt {d}}}$ pak matice ${ displaystyle m _ { alpha}}$ je:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} a & bd b & a end {matrix}} right]}$,

a tak, ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / mathbb {Q}} ( alpha) = [L: mathbb {Q} ( alpha)] left ( sigma _ {1} ( alpha) + sigma _ {2} ( alpha) right) = 1 times left ( sigma _ {1} ( alpha) + { overline { sigma _ {1}}} ( alpha) right) = a + b { sqrt {d}} + ab { sqrt {d}} = 2a}$.^[1] Minimální polynom z α je X² − 2A X + A² − d b².

Vlastnosti stopy

Několik vlastností funkce trasování platí pro jakékoli konečné rozšíření.^[3]

Stopa Tr_L/K. : L → K. je K.-lineární mapa (A K.-lineární funkční), to znamená

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} ( alpha a + beta b) = alpha operatorname {Tr} _ {L / K} (a) + beta operatorname {Tr} _ {L / K} (b) { text {pro všechny}} alfa, beta v K}$.

Li α ∈ K. pak ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} ( alfa) = [L: K] alfa.}$

Navíc se trasování chová dobře v věže polí: pokud M je konečné rozšíření L, pak stopa z M na K. je jen složení stopy z M na L se stopou z L na K., tj.

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {M / K} = operatorname {Tr} _ {L / K} circ operatorname {Tr} _ {M / L}}$.

Konečná pole

Nechat L = GF (qⁿ) být konečným rozšířením a konečné pole K. = GF (q). Od té doby L/K. je Galoisovo rozšíření, pokud α je v L, pak stopa α je součet všech Galoisovy konjugáty z α, tj.^[4]

${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} ( alpha) = alpha + alpha ^ {q} + cdots + alpha ^ {q ^ {n-1}}}$.

V tomto nastavení máme další vlastnosti,^[5]

• ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {L / K} (a ^ {q}) = operatorname {Tr} _ {L / K} (a) { text {for}} a v L}$
• ${ displaystyle { text {pro libovolné}} alfa v K, { text {máme}} | {b v L colon operatorname {Tr} _ {L / K} (b) = alfa } | = q ^ {n-1}}$

Teorém.^[6] Pro b ∈ L, nechť F_b být mapou ${ displaystyle a mapsto operatorname {Tr} _ {L / K} (ba).}$ Pak F_b ≠ F_C -li b ≠ C. Navíc K.-lineární transformace z L na K. jsou přesně mapy formuláře F_b tak jako b se mění v poli L.

Když K. je hlavní podpole L, stopě se říká absolutní stopa a jinak je to relativní stopa.^[4]

aplikace

Kvadratická rovnice, sekera² + bx + C = 0, s A ≠ 0a koeficienty v konečném poli ${ displaystyle operatorname {GF} (q) = mathbb {F} _ {q}}$ má buď 0, 1 nebo 2 kořeny v GF (q) (a dva kořeny, počítané s multiplicitou, v kvadratické příponě GF (q²)). Pokud charakteristický GF (q) je liché, diskriminující, Δ = b² − 4ac označuje počet kořenů v GF (q) a klasický kvadratický vzorec dává kořeny. Když však GF (q) má dokonce charakteristiku (tj. q = 2^h pro nějaké kladné celé číslo h), tyto vzorce již nejsou použitelné.

Zvažte kvadratickou rovnici sekera² + bx + c = 0 s koeficienty v konečném poli GF (2^h).^[7] Li b = 0, pak má tato rovnice jedinečné řešení ${ displaystyle x = { sqrt { frac {c} {a}}}}$ v GF (q). Li b ≠ 0 pak střídání y = sekera/b převede kvadratickou rovnici na tvar:

${ displaystyle y ^ {2} + y + delta = 0, { text {kde}} delta = { frac {ac} {b ^ {2}}}}$.

Tato rovnice má v GF dvě řešení (q) právě tehdy, je-li absolutní stopa ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {GF (q) / GF (2)} ( delta) = 0.}$ V tomto případě, pokud y = s je tedy jedním z řešení y = s + 1 je ten druhý. Nechat k být jakýmkoli prvkem GF (q) s ${ displaystyle operatorname {Tr} _ {GF (q) / GF (2)} (k) = 1.}$ Pak je řešení rovnice dáno vztahem:

${ displaystyle y = s = k delta ^ {2} + (k + k ^ {2}) delta ^ {4} + ldots + (k + k ^ {2} + ldots + k ^ {2 ^ {h-2}}) delta ^ {2 ^ {h-1}}}$.

Když h = 2m + 1, řešení je dáno jednodušším výrazem:

${ displaystyle y = s = delta + delta ^ {2 ^ {2}} + delta ^ {2 ^ {4}} + ldots + delta ^ {2 ^ {2m}}}$.

Stopová forma

Když L/K. je oddělitelný, trasování poskytuje a teorie duality přes stopová forma: mapa z L × L na K. odesílání (X, y) do Tr_L/K.(xy) je nedegenerovat, symetrický, bilineární forma volal stopový formulář. Příklad, kde se toto používá, je v algebraická teorie čísel v teorii jiný ideál.

Trasovací forma pro rozšíření pole konečného stupně L/K. má nezáporné podpis pro všechny objednávání v terénu z K..^[8] Konverzace, že každý Wittova ekvivalence třída s nezáporným podpisem obsahuje trasovací formulář, platí pro pole algebraických čísel K..^[8]

Li L/K. je neoddělitelné rozšíření, pak je sledovací formulář shodně 0.^[9]

Viz také

• Polní norma
• Snížená stopa

Poznámky

Reference

• Hirschfeld, J.W.P. (1979), Projektivní geometrie přes konečná poleOxfordské matematické monografie, Oxford University Press, ISBN  0-19-853526-0
• Isaacs, I.M. (1994), Algebra, postgraduální kurz, Brooks / Cole Publishing
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Konečná poleEncyklopedie matematiky a její aplikace, 20 (Druhé vydání), Cambridge University Press, ISBN  0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Příručka konečných polí, CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teorie pole, Postgraduální texty z matematiky, 158 (Druhé vydání), Springer, Kapitola 8, ISBN  978-0-387-27677-9, Zbl  1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Pokročilá moderní algebra, Prentice Hall, ISBN  978-0-13-087868-7

Další čtení

• Conner, P.E .; Perlis, R. (1984). Přehled stopových forem algebraických číselných polí. Seriál z čisté matematiky. 2. World Scientific. ISBN  9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Oddíl VI.5 Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556, Zbl  0984.00001