Kummerova teorie - Kummer theory - Wikipedia

v abstraktní algebra a teorie čísel, Kummerova teorie poskytuje popis určitých typů rozšíření pole zahrnující přídavné jméno z nth kořeny prvků základny pole. Teorie byla původně vyvinuta Ernst Eduard Kummer kolem 40. let 18. století v jeho průkopnické práci na Fermatova poslední věta. Hlavní tvrzení nezávisí na povaze pole - kromě jeho charakteristický, které by nemělo rozdělit celé číslo n - a proto patří do abstraktní algebry. Teorie cyklických rozšíření pole K. když charakteristika K. dělí se n je nazýván Artin – Schreierova teorie.

Kummerova teorie je základní, například v teorie pole a obecně v porozumění abelian rozšíření; říká, že za přítomnosti dostatečných kořenů jednoty lze cyklická rozšíření chápat ve smyslu extrakce kořenů. Hlavní zátěží v teorii polního pole je upustit od dalších kořenů jednoty („sestupování“ zpět k menším polím); což je něco mnohem vážnějšího.

Kummer rozšíření

A Prodloužení Kummer je rozšíření pole L/K., kde pro dané číslo n > 1 máme

K. obsahuje n odlišný nth kořeny jednoty (tj. kořeny Xⁿ − 1)
L/K. má abelian Galoisova skupina z exponent n.

Například když n = 2, první podmínka vždy platí, pokud K. má charakteristický ≠ 2. Rozšíření Kummer v tomto případě zahrnují kvadratické rozšíření ${ displaystyle L = K ({ sqrt {a}})}$ kde A v K. je non-čtvercový prvek. Obvyklým řešením kvadratické rovnice, jakékoli rozšíření stupně 2 z K. má tuto formu. Rozšíření Kummer v tomto případě také zahrnují dvojkvadratická rozšíření a obecnější multiquadratic rozšíření. Když K. má charakteristiku 2, neexistují žádná taková rozšíření Kummer.

Brát n = 3, neexistují žádné stupně 3 Kummerova rozšíření racionální číslo pole Q, protože pro tři krychle kořeny 1 komplexní čísla jsou potřeba. Pokud někdo vezme L být štípacím polem X³ − A přes Q, kde A tedy není kostka v racionálních číslech L obsahuje podpole K. se třemi kořeny 1; je to proto, že pokud α a β jsou kořeny kubického polynomu, budeme mít (α / β)³ = 1 a kubický je a oddělitelný polynom. Pak L/K. je rozšíření Kummer.

Obecněji platí, že když K. obsahuje n odlišný nth kořeny jednoty, což znamená, že charakteristika K. nerozděluje n, poté navazující na K. the nth kořen libovolného prvku A z K. vytvoří rozšíření Kummer (stupně m, pro některé m dělení n). Jako rozdělení pole polynomu Xⁿ − A, rozšíření Kummer je nutně Galois, což je skupina Galois cyklický řádu m. Je snadné sledovat akci Galois prostřednictvím kořene jednoty před ${ displaystyle { sqrt [{n}] {a}}.}$

Kummerova teorie poskytuje konverzní prohlášení. Když K. obsahuje n odlišný nth kořeny jednoty, uvádí, že jakýkoli abelian rozšíření z K. exponentového dělení n je tvořen extrakcí kořenů prvků K.. Dále, pokud K.^× označuje multiplikativní skupinu nenulových prvků K., abelian rozšíření K. exponentu n bijektivně korespondují s podskupinami

{ displaystyle K ^ { times} / (K ^ { times}) ^ {n},}

tj. prvky K.^× modulo nth síly. Korespondenci lze popsat explicitně následovně. Vzhledem k podskupině

{ displaystyle Delta subseteq K ^ { times} / (K ^ { times}) ^ {n},}

odpovídající přípona je dána

{ displaystyle K left ( Delta ^ { frac {1} {n}} right),}

kde

{ displaystyle Delta ^ { frac {1} {n}} = left {{ sqrt [{n}] {a}}: a v K ^ { times}, a cdot left ( K ^ { times} right) ^ {n} in Delta right }.}

Ve skutečnosti stačí sousedit nth kořen jednoho zástupce každého prvku libovolné sady generátorů skupiny Δ. Naopak, pokud L je rozšíření Kummer o K., pak se Δ získá z pravidla

{ displaystyle Delta = left (K ^ { times} cap (L ^ { times}) ^ {n} right) / (K ^ { times}) ^ {n}.}

V tomto případě jde o izomorfismus

{ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}

dána

{ displaystyle a mapsto left ( sigma mapsto { frac { sigma ( alpha)} { alpha}} right),}

kde α je libovolné nth kořen A v L. Tady ${ displaystyle mu _ {n}}$ označuje multiplikativní skupinu nth kořeny jednoty (které patří K.) a ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { text {c}} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n})}$ je skupina spojitých homomorfismů z ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ vybaven Krullova topologie na ${ displaystyle mu _ {n}}$ s diskrétní topologií (se skupinovou operací danou bodovým násobením). Tuto skupinu (s diskrétní topologií) lze také zobrazit jako Pontryagin dual z ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ , za předpokladu, že vezmeme v úvahu ${ displaystyle mu _ {n}}$ jako podskupina kruhová skupina. Pokud rozšíření L/K. je tedy konečný ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / K)}$ je konečná samostatná skupina a my máme

{ displaystyle Delta cong operatorname {Hom} ( operatorname {Gal} (L / K), mu _ {n}) cong operatorname {Gal} (L / K),}

poslední izomorfismus však není přírodní.

Obnovuje se ${ displaystyle a ^ {1 / n}}$ z primitivního prvku

Pro ${ displaystyle p}$ připravit, nechat ${ displaystyle K}$ být pole obsahující ${ displaystyle zeta _ {p}}$ a ${ displaystyle K ( beta) / K}$ stupeň ${ displaystyle p}$ Galoisovo rozšíření. Všimněte si, že skupina Galois je cyklická a generována ${ displaystyle sigma}$ . Nechat

{ displaystyle alpha = sum _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l} sigma ^ {l} ( beta) v K ( beta)}

Pak

{ displaystyle zeta _ {p} sigma ( alpha) = součet _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {l + 1} sigma ^ {l + 1} ( beta) = alfa.}

Od té doby ${ Displaystyle alpha neq sigma ( alpha), K ( alpha) = K ( beta)}$ a

{ displaystyle alpha ^ {p} = prod _ {l = 0} ^ {p-1} zeta _ {p} ^ {- l} alpha = prod _ {l = 0} ^ {p- 1} sigma ^ {l} ( alfa) = N_ {K ( beta) / K} ( alfa) v K}

.

Když ${ displaystyle L / K}$ je abelianské rozšíření stupně ${ displaystyle n = prod _ {j = 1} ^ {m} p_ {j}}$ bez čtverce takhle ${ displaystyle zeta _ {n} v K}$ , použít stejný argument na podpole ${ displaystyle K ( beta _ {j}) / K}$ Galois stupně ${ displaystyle p_ {j}}$ získat

{ displaystyle L = K left (a_ {1} ^ {1 / p_ {1}}, ldots, a_ {m} ^ {1 / p_ {m}} right) = K left (A ^ { 1 / p_ {1}}, ldots, A ^ {1 / p_ {m}} right) = K left (A ^ {1 / n} right)}

kde

{ displaystyle A = prod _ {j = 1} ^ {m} a_ {j} ^ {n / p_ {j}} v K}

.

Zobecnění

Předpokládejme to G je profinitní skupina působící na modulu A se surjektivním homomorfismem π z G-modul A pro sebe. Předpokládejme také to G působí triviálně na jádro C π a že první kohomologická skupina H¹(G,A) je triviální. Potom přesná sekvence skupinové kohomologie ukazuje, že mezi nimi existuje izomorfismus A^G/ π (A^G) a Hom (G,C).

Kummerova teorie je zvláštním případem tohoto případu A je multiplikativní skupina oddělitelného uzavření pole k, G je Galoisova skupina, π je nth mapa síly, a C skupina nth kořeny jednoty. Artin – Schreierova teorie je zvláštní případ, kdy A je aditivní skupina oddělitelného uzavření pole k pozitivní charakteristiky str, G je Galoisova skupina, π je Mapa Frobenius minus totožnost a C konečné pole řádu str. Brát A být prstenem zkrácených Wittových vektorů dává Wittovo zobecnění Artin-Schreierovy teorie na rozšíření dělicího dělení strⁿ.

Viz také

Kvadratické pole

Reference

"Kummerovo rozšíření", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Bryan Birch, "Cyklomtomická pole a rozšíření Kummer", v J.W.S. Cassels a A. Frohlich (edd), Algebraická teorie čísel, Akademický tisk, 1973. Kapitola III, s. 85–93.