Prime ring - Prime ring

v abstraktní algebra, a nenulové prsten R je primární prsten pokud pro jakékoli dva prvky A a b z R, arb = 0 pro všechny r v R to znamená a = 0 nebo b = 0. Tuto definici lze považovat za současné zobecnění obou integrální domény a jednoduché kroužky.

Ačkoli tento článek pojednává o výše uvedené definici, primární prsten může také odkazovat na minimální nenulovou hodnotu podřízený a pole, který je generován jeho prvkem identity 1 a určen jeho charakteristický. Pro charakteristické pole 0 je primární prstenec celá čísla, pro charakteristiku p pole (s p A prvočíslo ) primární kroužek je konečné pole řádu p (srov. hlavní pole ).^[1]

Ekvivalentní definice

Prsten R je prvočíslo právě tehdy, je-li nulový ideál {0} a hlavní ideál v nekomutativním smyslu.

V tomto případě ekvivalentní podmínky pro hlavní ideály poskytují následující ekvivalentní podmínky pro R být hlavním prstenem:

• Za jakékoli dva ideály A a B z R, AB = {0} naznačuje A = {0} nebo B = {0}.
• Pro dva že jo ideály A a B z R, AB = {0} naznačuje A = {0} nebo B = {0}.
• Pro dva vlevo, odjet ideály A a B z R, AB = {0} naznačuje A = {0} nebo B = {0}.

Pomocí těchto podmínek lze ověřit, že následující jsou ekvivalentní k R být hlavním prstenem:

• Všechny nenulové správné ideály jsou věřící jak správně R moduly.
• Všechny nenulové levé ideály jsou věrné jako levé R moduly.

Příklady

• Žádný doména je prime ring.
• Žádný jednoduchý prsten je prime ring a obecněji: každý levý nebo pravý primitivní prsten je prime ring.
• Jakýkoli kruh matice nad integrální doménou je primární kruh. Zejména kruh celočíselných matic 2 ku 2 je primární kruh.

Vlastnosti

• A komutativní prsten je prime ring právě tehdy, když je integrální doména.
• Prsten je prvočíslo právě tehdy, je-li jeho nulový ideál a hlavní ideál.
• Nenulový prsten je primární, pouze pokud monoidní jeho ideály chybí nulové dělitele.
• The kruh matic přes prime ring je opět prime ring.

Poznámky

Reference

• Lam, Tsit-Yuen (2001), První kurz v nekomutativních kruzích (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95325-0, PAN  1838439