Virasoro algebra - Virasoro algebra

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, Virasoro algebra (pojmenováno podle fyzika Miguel Angel Virasoro )^[1] je komplex Lež algebra, unikátní centrální prodloužení z Wittova algebra. Je široce používán v teorie dvourozměrného konformního pole a v teorie strun.

Definice

The Virasoro algebra je překlenul podle generátory L_n pro n ∈ ℤ a centrální poplatek C.Tyto generátory uspokojují ${ displaystyle [c, L_ {n}] = 0}$ a

Faktor 1/12 je pouze věcí konvence. Pro odvození algebry jako jedinečné centrální rozšíření Wittova algebra viz odvození Virasoro algebry.

Virasoro algebra má a prezentace z hlediska 2 generátorů (např. L₃ a L₋₂) a 6 vztahů.^[2][3]

Teorie reprezentace

Vyobrazení s nejvyšší hmotností

A nejvyšší hmotnostní zastoupení Virasoro algebry je reprezentace generovaná a primární stav: vektor ${ displaystyle v}$ takhle

${ displaystyle L_ {n> 0} v = 0, quad L_ {0} v = hv,}$

kde číslo h volal konformní rozměr nebo konformní hmotnost z ${ displaystyle v}$.^[4]

Nejvyšší váhové zastoupení je překlenuto vlastními stavy z ${ displaystyle L_ {0}}$. Vlastní čísla mají podobu ${ displaystyle h + N}$, kde celé číslo ${ displaystyle N geq 0}$ se nazývá úroveň příslušného vlastního státu.

Přesněji, reprezentace s nejvyšší hmotností je překlenuta ${ displaystyle L_ {0}}$- vlastní stavy typu ${ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} cdots L _ {- n_ {k}} v}$ s ${ displaystyle 0$ a ${ displaystyle k geq 0}$, jehož úrovně jsou ${ displaystyle N = součet _ {i = 1} ^ {k} n_ {i}}$. Libovolný stav, jehož úroveň není nula, se nazývá a potomek stát z ${ displaystyle v}$.

Pro jakoukoli dvojici komplexních čísel h a C, Modul Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ je největší možné zastoupení s nejvyšší hmotností. (Stejný dopis C se používá pro oba prvky C Virasoro algebry a její vlastní hodnoty v zobrazení.)

Státy ${ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} cdots L _ {- n_ {k}} v}$ s ${ displaystyle 0$ a ${ displaystyle k geq 0}$ tvoří základ modulu Verma. Modul Verma je nerozložitelný a pro obecné hodnoty h a C je to také neredukovatelné. Pokud je redukovatelný, existují další reprezentace nejvyšší váhy s těmito hodnotami h a C, volala zdegenerované reprezentace, což jsou kosety modulu Verma. Zejména jedinečné neredukovatelné nejvyšší váhové zastoupení s těmito hodnotami h a C je podíl modulu Verma podle jeho maximálního submodulu.

Modul Verma je neredukovatelný právě tehdy, pokud nemá žádné singulární vektory.

Singulární vektory

A singulární vektor nebo nulový vektor reprezentace s nejvyšší váhou je stav, který je sestupný i primární.

Postačující podmínka pro modul Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ mít singulární vektor na úrovni ${ displaystyle N}$ je ${ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ pro některá kladná celá čísla ${ displaystyle r, s}$ takhle ${ displaystyle N = rs}$, s

${ displaystyle h_ {r, s} (c) = { frac {1} {4}} { Big (} (b + b ^ {- 1}) ^ {2} - (br + b ^ {- 1} s) ^ {2} { Big)} , quad { text {kde}} quad c = 1 + 6 (b + b ^ {- 1}) ^ {2} .}$

Zejména, ${ displaystyle h_ {1,1} (c) = 0}$a redukovatelný modul Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, 0}}$ má singulární vektor ${ displaystyle L _ {- 1} v}$ na úrovni ${ displaystyle N = 1}$. Pak ${ displaystyle h_ {2,1} (c) = - { frac {1} {2}} - { frac {3} {4}} b ^ {2}}$a odpovídající redukovatelný modul Verma má singulární vektor ${ displaystyle (L _ {- 1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2}) v}$ na úrovni ${ displaystyle N = 2}$.

Tato podmínka pro existenci singulárního vektoru na úrovni ${ displaystyle N}$ není nutné. Zejména existuje singulární vektor na úrovni ${ displaystyle N}$ -li ${ displaystyle N = rs + r's '}$ s ${ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ a ${ displaystyle h + rs = h_ {r ', s'} (c)}$. Tento singulární vektor je nyní potomkem jiného singulárního vektoru na úrovni ${ displaystyle rs}$. Tento typ singulárních vektorů však může existovat, pouze pokud je centrální náboj typu

${ displaystyle c = 1-6 { frac {(p-q) ^ {2}} {pq}} quad { text {with}} quad p, q in mathbb {Z}}$.

(Pro ${ displaystyle p> q geq 2}$ coprime, to jsou hlavní obvinění z minimální modely.)^[4]

Hermitovská forma a jednota

Nejvyšší váhové zastoupení se skutečnou hodnotou ${ displaystyle c}$ má jedinečný Poustevnická forma tak, že adjunkt z ${ displaystyle L_ {n}}$ je ${ displaystyle L _ {- n}}$, a norma primárního stavu je jedna. Reprezentace se nazývá unitární pokud je ta hermitovská forma pozitivní určitá. Protože jakýkoli singulární vektor má nulovou normu, jsou všechny jednotkové reprezentace s nejvyšší hmotností neredukovatelné.

The Gram determinant základu úrovně ${ displaystyle N}$ je dán Kac determinantní vzorec,

${ displaystyle A_ {N} prod _ {1 leq r, s leq N} { big (} h-h_ {r, s} (c) { big)} ^ {p (N-rs) },}$

kde funkce p(N) je funkce oddílu, a A_N je kladná konstanta, na které nezávisí ${ displaystyle h}$ nebo ${ displaystyle c}$. Kac determinantní vzorec byl uveden podle V. Kac (1978) a jeho první publikovaný důkaz poskytli Feigin a Fuks (1984).

Neredukovatelné nejvyšší váhové zastoupení s hodnotami h a C je jednotný, pokud a pouze pokud C ≥ 1 a h ≥ 0 nebo

${ displaystyle c in left {1 - { frac {6} {m (m + 1)}} right } _ {m = 2,3,4, ldots} = left {0 , { frac {1} {2}}, { frac {7} {10}}, { frac {4} {5}}, { frac {6} {7}}, { frac {25 } {28}}, ldots right }}$

a h je jednou z hodnot

${ displaystyle h = h_ {r, s} (c) = { frac {{ big (} (m + 1) r-ms { big)} ^ {2} -1} {4m (m + 1 )}}}$

pro r = 1, 2, 3, ..., m - 1 a s = 1, 2, 3, ..., r.

Daniel Friedan, Zongan Qiu a Stephen Shenker (1984) ukázali, že tyto podmínky jsou nezbytné, a Peter Goddard, Adrian Kent a David Olive (1986) použili cosetová konstrukce nebo Konstrukce GKO (identifikace jednotkových reprezentací Virasoro algebry v tenzorových produktech jednotných reprezentací afinních Kac – Moodyho algebry ), aby prokázaly, že jsou dostatečné.

Postavy

The charakter reprezentace ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ Virasoroovy algebry je funkce

${ displaystyle chi _ { mathcal {R}} (q) = operatorname {Tr} _ { mathcal {R}} q ^ {L_ {0} - { frac {c} {24}}}. }$

Charakter modulu Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ je

${ displaystyle chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h}} (q) = { frac {q ^ {h - { frac {c} {24}}}} { prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q ^ {n})}} = { frac {q ^ {h - { frac {c-1} {24}}}} { eta (q )}} = q ^ {h - { frac {c} {24}}} vlevo (1 + q + 2q ^ {2} + 3q ^ {3} + 5q ^ {4} + cdots vpravo) ,}$

kde ${ displaystyle eta}$ je Funkce Dedekind eta.

Pro všechny ${ displaystyle c in mathbb {C}}$ a pro ${ displaystyle r, s in mathbb {N} ^ {*}}$, modul Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ je redukovatelný kvůli existenci singulárního vektoru na úrovni ${ displaystyle rs}$. Tento singulární vektor generuje submodul, který je isomorfní s modulem Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$. Podíl ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ tímto submodulem je neredukovatelný, pokud ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ nemá jiné singulární vektory a jeho charakter je

${ displaystyle chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}} - chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = (1 -q ^ ​​{rs}) chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}.}$

Nechat ${ displaystyle c = c_ {p, p '}}$ s ${ displaystyle 2 leq p$

a ${ displaystyle p, p '}$ coprime a ${ Displaystyle 1 leq r leq p-1}$ a ${ displaystyle 1 leq s leq p'-1}$. (Pak ${ displaystyle (r, s)}$ je v tabulce Kac odpovídající minimální model ). Modul Verma ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ má nekonečně mnoho singulárních vektorů, a je proto redukovatelné nekonečně mnoha podmoduly. Tento modul Verma má díky svému největšímu netriviálnímu submodulu neredukovatelný kvocient. (Spektra minimálních modelů jsou vytvořena z takových neredukovatelných reprezentací.) Charakter neredukovatelného kvocientu je

${ displaystyle { begin {aligned} & chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / ({ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s } + rs} + { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (pr) (p'-s)})} & = sum _ {k in mathbb {Z }} left ( chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, { frac {1} {4pp '}} left ((p'r-ps + 2kpp') ^ {2} - ( p-p ') ^ {2} right)}} - chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, { frac {1} {4pp'}} left ((p'r + ps + 2kpp ') ^ {2} - (p-p') ^ {2} right)}} right). End {aligned}}}$

Tento výraz je nekonečný součet, protože dílčí moduly ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ a ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (p-r) (p'-s)}}$ mají netriviální křižovatku, což je samo o sobě komplikovaný submodul.

Aplikace

Konformní teorie pole

Ve dvou rozměrech algebra lokální konformní transformace je vyroben ze dvou kopií Wittova algebra Z toho vyplývá, že symetrická algebra teorie dvourozměrného konformního pole je Virasoro algebra. Technicky vzato konformní bootstrap přístup k dvourozměrnému CFT závisí na Konformní bloky Virasoro, speciální funkce, které zahrnují a zobecňují znaky reprezentací Virasoroovy algebry.

Teorie strun

Vzhledem k tomu, Virasoro algebra zahrnuje generátory konformní skupiny z světový list, tenzor napětí v teorie strun poslouchá komutační vztahy (dvě kopie) Virasoroovy algebry. Je to proto, že konformní skupina se rozkládá na samostatné difeomorfismy předních a zadních světelných kón. Difeomorfismus - invariance světového listu navíc znamená, že tenzor napětí zmizí. Toto je známé jako Virasoro omezení a v kvantová teorie, nelze použít na všechny stavy v teorii, ale spíše pouze na fyzikální stavy (srov Gupta – Bleulerův formalismus ).

Zobecnění

Super Virasoro algebry

Existují dva supersymetrický N = 1 rozšíření Virasoro algebry, nazývané Neveu – Schwarzova algebra a Ramondova algebra. Jejich teorie je podobná teorii Virasoroovy algebry, která nyní zahrnuje Grassmannova čísla. Existují další rozšíření těchto algeber s více supersymetrií, například N = 2 superkonformní algebra.

W-algebry

W-algebry jsou asociativní algebry, které obsahují Virasoro algebru a které hrají důležitou roli v teorie dvourozměrného konformního pole. Mezi W-algebrami má Virasoro algebra zvláštnost bytí Lie algebry.

Afinní Lieovy algebry

Virasoro algebra je subalgebra univerzální obklopující algebry jakékoli afinní Lieovy algebry, jak ukazuje Konstrukce Sugawara. V tomto smyslu jsou afinní Lieovy algebry rozšířením Virasoroovy algebry.

Meromorfní vektorová pole na Riemannově povrchu

Virasoro algebra je centrální rozšíření Lieovy algebry meromorfních vektorových polí se dvěma póly na povrchu Riemannova rodu. Na kompaktním Riemannově povrchu vyššího rodu má Lieova algebra meromorfních vektorových polí se dvěma póly také centrální rozšíření, což je zevšeobecnění Virasoroovy algebry.^[5] To lze dále zobecnit na nadčlověka.^[6]

Vertex Virasoro algebra a konformní Virasoro algebra

Virasoro algebra také má vrchol algebraický a konformní algebraické protějšky, které v zásadě pocházejí z uspořádání všech základních prvků do generování sérií a práce s jednotlivými objekty.

Dějiny

Wittova algebra (Virasoroova algebra bez středního rozšíření) byla objevena E. Cartan (1909). Jeho analogy nad konečnými poli byly studovány E. Witt asi ve 30. letech. Centrální rozšíření Wittovy algebry, která dává Virasoro algebru, bylo poprvé nalezeno (v charakteristice p > 0) podle R. E. Block (1966, strana 381) a nezávisle znovu objevený (v charakteristice 0) autorem I. M. Gelfand a D. B. Fuchs [de ] (1968). Virasoro (1970) zapsal některé operátory generující Virasoro algebru (později známý jako Operátoři Virasoro) při studiu modely s duální rezonancí, ačkoli nenašel centrální prodloužení. Podle Browera a Thorna (1971, poznámka pod čarou na straně 167) krátce nato ve fyzice znovu objevil centrální rozšíření poskytující algebru Virasoro.

Viz také

Poznámky

Reference

• Alexander Belavin, Alexander Polyakov a Alexander Zamolodchikov (1984). „Nekonečná konformní symetrie v dvourozměrné kvantové teorii pole“. Jaderná fyzika B. 241 (2): 333–380. Bibcode:1984NuPhB.241..333B. doi:10.1016 / 0550-3213 (84) 90052-X.
• R. E. Block (1966). „Na Mills-Seligmanových axiomech pro Lieovy algebry klasického typu“. Transakce Americké matematické společnosti. 121 (2): 378–392. doi:10.1090 / S0002-9947-1966-0188356-3. JSTOR  1994485.
• R. C. Brower; C. B. Thorn (1971). „Odstranění rušivých stavů z modelu duální rezonance“. Jaderná fyzika B. 31 (1): 163–182. Bibcode:1971NuPhB..31..163B. doi:10.1016/0550-3213(71)90452-4..
• E. Cartan (1909). „Les groupes de transformations continus, infinis, simples“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 26: 93–161. doi:10,24033 / asens.603. JFM  40.0193.02.
• B. L. Feigin, D. B. Fuchs, Moduly Verma přes Virasoro algebru L. D. Faddeev (ed.) A. A. Mal'tsev (ed.), Topologie. Proc. Internat. Topol. Konf. Leningrad 1982, Přednáška. matematické poznámky, 1060, Springer (1984), str. 230–245
• Friedan, D., Qiu, Z. a Shenker, S. (1984). „Konformní invariance, unitarita a kritické exponenty ve dvou dimenzích“. Dopisy o fyzické kontrole. 52 (18): 1575–1578. Bibcode:1984PhRvL..52.1575F. doi:10.1103 / PhysRevLett.52.1575.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz).
• I.M. Gel'fand, D. B. Fuchs, Kohomologie Lieovy algebry vektorových polí v kruhu Funct. Anální. Appl., 2 (1968), str. 342–343 Funkts. Anální. i Prilozh., 2: 4 (1968), str. 92–93
• P. Goddard, A. Kent a D. Olive (1986). „Jednotná reprezentace algeber Virasoro a super-Virasoro“. Komunikace v matematické fyzice. 103 (1): 105–119. Bibcode:1986CMaPh.103..105G. doi:10.1007 / BF01464283. PAN  0826859. Zbl  0588.17014..
• Iohara, Kenji; Koga, Yoshiyuki (2011), Teorie reprezentace Virasoroovy algebrySpringer Monografie z matematiky, Londýn: Springer-Verlag London Ltd., doi:10.1007/978-0-85729-160-8, ISBN  978-0-85729-159-2, PAN  2744610
• A. Kent (1991). "Singulární vektory Virasoro algebry". Fyzikální písmena B. 273 (1–2): 56–62. arXiv:hep-th / 9204097. Bibcode:1991PhLB..273 ... 56K. doi:10.1016/0370-2693(91)90553-3.
• Victor Kac (2001) [1994], „Virasoro algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• V. G. Kac, „Nejvyšší váhové reprezentace nekonečných dimenzionálních Lieových algeber“, Proc. Internat. Kongresoví matematici (Helsinky, 1978), 299-304
• V. G. Kac, A. K. Raina, Bombay přednáší o reprezentacích s nejvyšší hmotností, World Sci. (1987) ISBN  9971-5-0395-6.
• Dobrev, V. K. (1986). „Multipletová klasifikace nerozložitelných modulů s nejvyšší hmotností nad superalgebrami Neveu-Schwarz a Ramond“. Lett. Matematika. Phys. 11 (3): 225–234. Bibcode:1986LMaPh..11..225D. doi:10.1007 / bf00400220. & oprava: tamtéž. 13 (1987) 260.
• V. K. Dobrev, „Postavy neredukovatelných modulů s nejvyšší hmotností nad algebry Virasoro a super-Virasoro“, Suppl. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Numero 14 (1987) 25-42.
• Antony Wassermann (2010). „Poznámky k přednášce o algebrách Kac-Moodyho a Virasoro“. arXiv:1004.1287 [math.RT ].
• Antony Wassermann (2010). "Přímé důkazy o vzorci znaků Feigin-Fuchs pro jednotné reprezentace Virasoro algebry". arXiv:1012.6003 [math.RT ].