Krullsova hlavní ideální věta - Krulls principal ideal theorem - Wikipedia

v komutativní algebra, Krullova hlavní ideální věta, pojmenoval podle Wolfgang Krull (1899–1971), dává závazek k výška a hlavní ideál komutativem Noetherian ring. Věta je někdy označována německým názvem, Krulls Hauptidealsatz (Satz což znamená „propozice“ nebo „věta“).

Přesně, pokud R je noetherovský prsten a Já je hlavní, vlastní ideál R, pak každý minimální hlavní ideál přes Já má výšku nejvýše jednu.

Tuto větu lze zobecnit na ideály které nejsou hlavní a výsledek se často nazývá Krullova věta o výšce. To říká, že pokud R je noetherovský prsten a Já je správný ideál generovaný n prvky R, pak každý minimální prime over Já má maximálně výšku n. Platí také obráceně: pokud má hlavní ideál výšku n, pak je to minimální primární ideál nad ideálem generovaným n elementy.^[1]

Hlavní ideální věta a zobecnění, věta o výšce, vyplývají z základní věta teorie dimenzí komutativní algebrou (přímé důkazy viz také níže). Bourbakiho Komutativní algebra dává přímý důkaz. Kaplanského Komutativní prsteny obsahuje důkaz kvůli David Rees.

Důkazy

Důkaz hlavní ideální věty

Nechat ${ displaystyle A}$ být noetherianským prstenem, X jeho prvek a ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ minimální rozmach X. Výměna A lokalizací ${ displaystyle A _ { mathfrak {p}}}$, můžeme předpokládat ${ displaystyle A}$ je místní s maximálním ideálem ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$. Nechat ${ displaystyle { mathfrak {q}} subsetneq { mathfrak {p}}}$ být přísně menším ideálem a nechť ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {n} A _ { mathfrak {q}} cap A}$, což je ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$-primární ideál volal n-th symbolická síla z ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$. Vytváří sestupný řetězec ideálů ${ displaystyle A supset { mathfrak {q}} supset { mathfrak {q}} ^ {(2)} supset { mathfrak {q}} ^ {(3)} supset cdots}$. Existuje tedy sestupný řetězec ideálů ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} + (x) / (x)}$ v ringu ${ displaystyle { overline {A}} = A / (x)}$. Nyní radikální ${ displaystyle { sqrt {(x)}}}$ je křižovatkou všech minimálních hlavních ideálů ${ displaystyle x}$; ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je mezi nimi. Ale ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je jedinečný maximální ideál a tedy ${ displaystyle { sqrt {(x)}} = { mathfrak {p}}}$. Od té doby ${ displaystyle (x)}$ obsahuje určitou sílu svého radikálu, z toho vyplývá ${ displaystyle { overline {A}}}$ je Artinian prsten a tím i řetěz ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} + (x) / (x)}$ stabilizuje a tak tam nějaké jsou n takhle ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} + (x) = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + (x)}$. To znamená:

${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} + x , { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$,

ze skutečnosti ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$ je ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$-primární (pokud ${ displaystyle y}$ je v ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$, pak ${ displaystyle y = z + sekera}$ s ${ displaystyle z in { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$ a ${ displaystyle a v A}$. Od té doby ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je minimální ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle x not in { mathfrak {q}}}$ a tak ${ displaystyle ax in { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$ naznačuje ${ displaystyle a}$ je v ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)}}$.) Nyní rozdělte obě strany o ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$ výnosy ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = (x) { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$. Pak, tím Nakayamovo lemma (což říká konečně vygenerovaný modul M je nula, pokud ${ displaystyle M = IM}$ pro nějaký ideální Já obsažené v radikálu), dostaneme ${ displaystyle M = { mathfrak {q}} ^ {(n)} / { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)} = 0}$; tj., ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {(n)} = { mathfrak {q}} ^ {(n + 1)}}$ a tudíž ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {n} A _ { mathfrak {q}} = { mathfrak {q}} ^ {n + 1} A _ { mathfrak {q}}}$. Opět používáme Nakayamovo lemma, ${ displaystyle { mathfrak {q}} ^ {n} A _ { mathfrak {q}} = 0}$ a ${ displaystyle A _ { mathfrak {q}}}$ je Artinian prsten; tedy výška ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ je nula. ${ displaystyle square}$

Důkaz věty o výšce

Krullova věta o výšce může být prokázána jako důsledek hlavní ideální věty indukcí počtu prvků. Nechat ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ být prvky v ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ minimální rozmach ${ displaystyle (x_ {1}, tečky, x_ {n})}$ a ${ displaystyle { mathfrak {q}} subsetneq { mathfrak {p}}}$ prvotřídní ideál tak, že mezi nimi není přísně. Výměna ${ displaystyle A}$ lokalizací ${ displaystyle A _ { mathfrak {p}}}$ můžeme předpokládat ${ displaystyle (A, { mathfrak {p}})}$ je místní kruh; poznámka, kterou máme ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { sqrt {(x_ {1}, tečky, x_ {n})}}}$. Podle minimality, ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ nemůže obsahovat všechny ${ displaystyle x_ {i}}$; přeznačení dolních indexů, řekněme, ${ displaystyle x_ {1} not in { mathfrak {q}}}$. Protože každý hlavní ideál obsahuje ${ displaystyle { mathfrak {q}} + (x_ {1})}$ je mezi ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$, ${ displaystyle { sqrt {{ mathfrak {q}} + (x_ {1})}} = { mathfrak {p}}}$ a tak můžeme psát pro každého ${ displaystyle i geq 2}$,

${ displaystyle x_ {i} ^ {r_ {i}} = y_ {i} + a_ {i} x_ {1}}$

s ${ displaystyle y_ {i} in { mathfrak {q}}}$ a ${ displaystyle a_ {i} v A}$. Nyní uvažujeme o prstenu ${ displaystyle { overline {A}} = A / (y_ {2}, dots, y_ {n})}$ a odpovídající řetězec ${ displaystyle { overline { mathfrak {q}}} podmnožina { overline { mathfrak {p}}}}$ v tom. Li ${ displaystyle { overline { mathfrak {r}}}}$ je minimální vrchol ${ displaystyle { overline {x_ {1}}}}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ obsahuje ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2} ^ {r_ {2}}, dots, x_ {n} ^ {r_ {n}}}$ a tudíž ${ displaystyle { mathfrak {r}} = { mathfrak {p}}}$; to znamená, ${ displaystyle { overline { mathfrak {p}}}}$ je minimální vrchol ${ displaystyle { overline {x_ {1}}}}$ a tak podle Krullovy hlavní ideální věty, ${ displaystyle { overline { mathfrak {q}}}}$ je minimální prvočíslo (nad nulou); ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ je minimální vrchol ${ displaystyle (y_ {2}, tečky, y_ {n})}$. Indukční hypotézou ${ displaystyle operatorname {ht} ({ mathfrak {q}}) leq n-1}$ a tudíž ${ displaystyle operatorname {ht} ({ mathfrak {p}}) leq n}$. ${ displaystyle square}$

Reference

• Eisenbud, David (1995). Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii. Postgraduální texty z matematiky. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN  0-387-94268-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Komutativní algebra, New York: Benjamin, viz zejména oddíl (12.I), str. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf