Gorensteinův prsten - Gorenstein ring

v komutativní algebra, a Gorensteinský místní kruh je komutativní Noetherian místní prsten R s konečnou injektivní dimenze jako R-modul. Existuje mnoho rovnocenných podmínek, z nichž některé jsou uvedeny níže a často se říká, že gorensteinský prsten je v jistém smyslu sebezdvojitý.

Gorensteinovy ​​prsteny byly zavedeny Grothendieck na svém semináři z roku 1961 (publikovaném v (Hartshorne 1967 )). Název pochází z duality vlastnosti singulárních rovinných křivek, které studoval Gorenstein  (1952 ) (který rád tvrdil, že nerozumí definici gorensteinského prstenu^{[Citace je zapotřebí ]}). Případ nulové dimenze studoval Macaulay (1934). Serre (1961) a Bass (1963) propagoval koncept Gorensteinových prstenů.

Frobeniovy prsteny jsou nekomutativní analogy Gorensteinových prstenů nulové dimenze. Gorensteinovy ​​schémata jsou geometrickou verzí Gorensteinových prstenů.

Pro noetherianské místní prstence existuje následující řetězec inkluzí.

Všeobecně řetězovky ⊃ Cohen – Macaulayovy prsteny ⊃ Gorensteinovy ​​prsteny ⊃ kompletní průnikové kroužky ⊃ pravidelné místní kruhy

Definice

A Gorensteinův prsten je komutativní netherianský prsten takový, že každý lokalizace v a hlavní ideál je Gorensteinův místní kruh, jak je definováno výše. Zejména je to prsten Gorenstein Cohen – Macaulay.

Jedna základní charakteristika je: noetherianský místní kruh R z dimenze nula (ekvivalentně s R z konečná délka jako R-module) je Gorenstein právě tehdy, když Hom_R(k, R) má rozměr 1 jako a k-vektorový prostor, kde k je zbytkové pole z R. Ekvivalentně R má jednoduché sokl jako R-modul.^[1] Obecněji řečeno, netherianský místní kruh R je Gorenstein právě tehdy, když existuje pravidelná sekvence A₁,...,A_n v maximálním ideálu R tak, že kvocient prsten R/( A₁,...,A_n) je Gorenstein dimenze nula.

Například pokud R je komutativní odstupňovaná algebra přes pole k takhle R má konečný rozměr jako a k-vektorový prostor, R = k ⊕ R₁ ⊕ ... ⊕ R_m, pak R je Gorenstein, jen když to uspokojí Poincaré dualita, což znamená, že nejlépe hodnocený kus R_m má rozměr 1 a produkt R_A × R_m−A → R_m je perfektní párování pro každého A.^[2]

Další interpretace Gorensteinovy ​​vlastnosti jako typu duality, pro ne nutně odstupňované prsteny, je: pro pole Fkomutativní F-algebra R konečné dimenze jako F-vektorový prostor (tedy dimenze nula jako kruh) je Gorenstein právě tehdy, když existuje F-lineární mapa E: R → F tak, že symetrická bilineární forma (X, y) := E(xy) zapnuto R (jako F-vector space) je nedegenerovat.^[3]

Pro komutativní netherianský místní kruh (R, m, k) dimenze Krull n, ekvivalentní jsou následující:^[4]

• R má konečný injektivní dimenze jako R-modul;
• R má injektivní rozměr n jako R-modul;
• The Ext skupina ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ pro i ≠ n zatímco ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) cong k;}$
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ pro některé i > n;
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ pro všechny i < n a ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) cong k;}$
• R je n-rozměrný Gorensteinův prsten.

(Ne nutně komutativní) prsten R se nazývá Gorenstein, pokud R má konečný injektivní rozměr jak vlevo R-modul a jako právo R-modul. Li R je místní kruh, R je považován za místní gorensteinský prsten.

Příklady

• Každý místní kompletní průsečík, zejména každý pravidelný místní kruh, je Gorenstein.
• Prsten R = k[X,y,z]/(X², y², xz, yz, z²−xy) je 0rozměrný Gorensteinův prsten, který není úplným průsečíkem. Podrobněji: základ pro R jako k-vektorový prostor je dán: ${ displaystyle {1, x, y, z, z ^ {2} }.}$ R je Gorenstein, protože sokl má rozměr 1 jako a k-vektorový prostor, překlenutý o z². Alternativně to lze pozorovat R uspokojuje Poincaré dualitu, když je vnímána jako odstupňovaný prsten s X, y, z všichni stejného stupně. Konečně. R není úplná křižovatka, protože má 3 generátory a minimální sadu 5 (ne 3) vztahů.

• Prsten R = k[X,y]/(X², y², xy) je 0-rozměrný prsten Cohen – Macaulay, který není prstenem Gorenstein. Podrobněji: základ pro R jako k-vektorový prostor je dán: ${ displaystyle {1, x, y }.}$ R není Gorenstein, protože sokl má rozměr 2 (ne 1) jako a k-vektorový prostor, překlenutý o X a y.

Vlastnosti

• Noetherian local ring is Gorenstein if and only if its dokončení je Gorenstein.^[5]

• The kanonický modul místního prstenu Gorenstein R je izomorfní s R. Z geometrického hlediska vyplývá, že standard komplexizace Gorensteinova schématu X přes pole je prostě a svazek řádků (považováno za komplex ve stupni −dim (X)); tento řádek se nazývá kanonický svazek z X. Pomocí kanonického svazku Serre dualita má stejnou podobu pro Gorensteinovy ​​režimy jako v EU hladký případ.

V souvislosti s odstupňovanými prsteny R, kanonický modul Gorensteinova prstenu R je izomorfní s R s určitým posunem stupně.^[6]

• Pro místní prsten Gorenstein (R, m, k) dimenze n, Grothendieck místní dualita má následující podobu.^[7] Nechat E(k) být injekční trup pole reziduí k jako R-modul. Pak pro všechny konečně vygenerované R-modul M a celé číslo i, místní kohomologie skupina ${ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M)}$ je dvojí ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-i} (M, R)}$ V tom smyslu, že:

${ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) cong operatorname {Hom} _ {R} ( operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)) .}$

• Stanley ukázal, že pro konečně generovanou komutativní gradovanou algebru R přes pole k takhle R je integrální doména, vlastnost Gorenstein závisí pouze na majetku Cohen – Macaulay spolu s Hilbertova řada

${ displaystyle f (t) = součet nolimity _ {j} dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}$

Jmenovitě odstupňovaná doména R je Gorenstein právě tehdy, když je to Cohen – Macaulay a Hilbertova řada je symetrická v tom smyslu, že

${ displaystyle f left ({ tfrac {1} {t}} right) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}$

pro celé číslo s, kde n je rozměr R.^[8]

• Nechť (R, m, k) být noetherianským místním prstencem vkládajícím codimension C, znamenající, že C = dim_k(m/m²) - ztlumit (R). Z geometrického hlediska to platí pro lokální kruh podskupiny codimension C v pravidelném schématu. Pro C maximálně 2, Serre to ukázal R je Gorenstein právě tehdy, když je úplná křižovatka.^[9] Existuje také věta o struktuře Gorensteinových prstenů codimension 3 ve smyslu Pfaffians symetrické matice zešikmení, o Buchsbaum a Eisenbud.^[10]

Poznámky

Reference

• Bass, Hyman (1963), „O všudypřítomnosti Gorensteinových prstenů“, Mathematische Zeitschrift, 82: 8–28, CiteSeerX  10.1.1.152.1137, doi:10.1007 / BF01112819, ISSN  0025-5874, PAN  0153708
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen – Macaulayovy prsteny, Cambridge studia pokročilé matematiky, 39, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-41068-7, PAN  1251956
• Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra s pohledem směrem k algebraické geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, PAN  1322960
• Gorenstein, Daniel (1952), „Aritmetická teorie křivek adjoint roviny“, Transakce Americké matematické společnosti, 72: 414–436, doi:10.2307/1990710, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990710, PAN  0049591
• Hartshorne, Robine (1967), Místní kohomologie. Seminář pořádaný A. Grothendieckem z Harvardské univerzity, podzim 1961Přednášky z matematiky, 41, Berlín-New York: Springer-Verlag, PAN  0224620
• „Gorensteinův prsten“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Huneke, Craig (1999), „Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings“, Algebra, K-teorie, skupiny a vzdělávání, Americká matematická společnost, str. 55–78, arXiv:matematika / 0209199, doi:10.1090 / conm / 243/03686, PAN  1732040
• Lam, Tsit Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích, Postgraduální texty z matematiky, 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, PAN  1653294
• Macaulay, Francis Sowerby (1934), „Moderní algebra a polynomiální ideály“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 30 (1): 27–46, Bibcode:1934PCPS ... 30 ... 27M, doi:10.1017 / S0305004100012354, ISSN  0305-0041, JFM  60.0096.02
• Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6, PAN  0879273
• Serre, Jean-Pierre (1961), Projekty modulů, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, s. 1–16
• Stanley, Richard P. (1978), „Hilbertovy funkce odstupňovaných algeber“, Pokroky v matematice, 28: 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, PAN  0485835