Jacobsonova věta o hustotě - Jacobson density theorem

v matematika, konkrétněji nekomutativní teorie prstenů, moderní algebra, a teorie modulů, Jacobsonova věta o hustotě je věta o jednoduché moduly přes prsten $R$ .^[1]

Vetu lze použít k prokázání, že existuje primitivní prsten lze zobrazit jako "hustý" podřetězec kruhu lineární transformace vektorového prostoru.^[2]^[3] Tato věta se poprvé v literatuře objevila v roce 1945 ve slavném článku „Teorie struktury jednoduchých prstenů bez předpokladů konečnosti“ od Nathan Jacobson.^[4] Lze to považovat za jakési zobecnění Artin-Wedderburnova věta závěr o struktuře jednoduchý Artinian prsteny.

Motivace a formální prohlášení

Nechat $R$ být prsten a nechat $U$ být jednoduché právo $R$ -modul. Li $u$ je nenulový prvek $U$ , $u • R = U$ (kde $u • R$ je cyklický submodul $U$ generováno uživatelem $u$ ). Proto pokud $u, v$ jsou nenulové prvky $U$ , existuje prvek $R$ který vyvolává endomorfismus z $U$ transformující se $u$ na $proti$ . Přirozenou otázkou nyní je, zda to lze zobecnit na libovolné (konečné) n-tice prvků. Přesněji řečeno, najděte nezbytné a dostatečné podmínky na n-tici $(X 1, ..., X n)$ a $(y 1, ..., y n)$ samostatně, takže existuje prvek $R$ s majetkem, který $X i • r = y i$ pro všechny $i$ . Li $D$ je množina všech $R$ -modulové endomorfismy $U$ , pak Schurovo lemma tvrdí to $D$ je dělící kruh a Jacobsonova věta o hustotě odpovídá na otázku n-tic kladně, za předpokladu, že $X i$ jsou lineárně nezávislé $D$ .

S ohledem na výše uvedené lze větu vyjádřit takto:

Jacobsonova věta o hustotě. Nechat

U

být jednoduché právo

R

-modul,

D = Konec (U R)

, a

X \subset U

konečný a

D

-lineárně nezávislá sada. Li

A

je

D

- lineární transformace zapnuta

U

pak existuje

r \in R

takhle

A (X) = X • r

pro všechny

X

v

X

.^[5]

Důkaz

V Jacobsonově větě o hustotě vpravo $R$ -modul $U$ je současně viděn jako vlevo $D$ -module kde $D = Konec (U R)$ přirozeným způsobem: $G • u = G (u)$ . Lze ověřit, že se skutečně jedná o levou strukturu modulu $U$ .^[6] Jak již bylo uvedeno výše, Schurovo lemma dokazuje $D$ je divizní prsten, pokud $U$ je jednoduchý, a tak $U$ je vektorový prostor $D$ .

Důkaz se také opírá o následující větu prokázanou v (Isaacs 1993 ) p. 185:

Teorém. Nechat

U

být jednoduché právo

R

-modul,

D = Konec (U R)

, a

X \subset U

konečná množina. Psát si

Já = ann R (X)

pro zničit z

X

v

R

. Nechat

u

být v

U

s

u • Já = 0

. Pak

u

je v

XD

; the

D

-rozpětí z

X

.

Důkaz Jacobsonovy věty o hustotě

Používáme indukce na $| X |$ . Li $X$ je prázdná, pak věta je vakuově pravdivá a ověřuje se základní případ indukce.

Převzít $X$ není prázdný, nechť $X$ být prvkem $X$ a piš $Y = X \{X}.$ Li $A$ je jakýkoli $D$ - lineární transformace zapnuta $U$ , podle indukční hypotézy existuje $s \in R$ takhle $A (y) = y • s$ pro všechny $y$ v $Y$ . Psát si $Já = ann R (Y)$ . Je to snadno vidět $X • Já$ je submodul $U$ . Li $X • Já = 0$ , pak předchozí věta to naznačuje $X$ bude v $D$ -rozpětí $Y$ , v rozporu s $D$ -lineární nezávislost $X$ , proto $X • Já \neq 0$ . Od té doby $U$ je jednoduché, máme: $X • Já = U$ . Od té doby $A (X) - X • s \in U = X • Já$ , tady existuje $i$ v $Já$ takhle $X • i = A (X) - X • s$ .

Definovat $r = s + i$ a dodržujte to pro všechny $y$ v $Y$ my máme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} y cdot r & = y cdot (s + i) & = y cdot s + y cdot i & = y cdot s && ({ text {od}} } i in { text {ann}} _ {R} (Y)) & = A (y) end {zarovnáno}}}

Nyní provedeme stejný výpočet pro $X$ :

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x cdot r & = x cdot (s + i) & = x cdot s + x cdot i & = x cdot s + left (A (x) -x cdot s right) & = A (x) end {zarovnáno}}}

Proto, $A (z) = z • r$ pro všechny $z$ v $X$ , podle přání. Tím je dokončen indukční krok důkazu. Z matematické indukce nyní vyplývá, že věta platí pro konečné množiny $X$ jakékoli velikosti.

Topologická charakterizace

Prsten $R$ říká se chovej se hutně na jednoduché právo $R$ -modul $U$ pokud splňuje závěr Jacobsonovy věty o hustotě.^[7] Existuje topologický důvod pro popis $R$ jako „hustý“. Za prvé, $R$ lze identifikovat podřetězcem $Konec(D U)$ identifikací každého prvku $R$ s $D$ lineární transformaci indukuje správným násobením. Li $U$ je dána diskrétní topologie, a pokud $U U$ je dána topologie produktu, a $Konec(D U)$ je zobrazen jako podprostor o $U U$ a je dána topologie podprostoru, pak $R$ působí hustě na $U$ kdyby a jen kdyby $R$ je hustá sada v $Konec(D U)$ s touto topologií.^[8]

Důsledky

Jacobsonova věta o hustotě má různé důležité důsledky ve struktuře teorie prstenů.^[9] Je pozoruhodné, že Artin – Wedderburnova věta závěr o struktuře jednoduchý že jo Artinian prsteny je obnoven. Jacobsonova věta o hustotě také charakterizuje pravou nebo levou primitivní prsteny jako husté podřetězce kruhu $D$ - u některých lineární transformace $D$ -vektorový prostor $U$ , kde $D$ je divizní prsten.^[3]

Vztahy k dalším výsledkům

Tento výsledek souvisí s Von Neumann bicommutant věta, který uvádí, že pro * -algebra $A$ operátorů na a Hilbertův prostor $H$ , dvojitý komutant $A''$ lze aproximovat pomocí $A$ na dané konečné sadě vektorů. Jinými slovy, dvojitý komutant je uzavření $A$ ve slabé topologii operátora. Viz také Věta o Kaplanského hustotě v nastavení von Neumannovy algebry.

Poznámky

^ Isaacs, str. 184
^ Takové prstence lineárních transformací jsou také známé jako plné lineární kroužky.
^ ^A ^b Isaacs, Dodatek 13.16, str. 187
^ Jacobson, Nathan „Teorie struktury jednoduchých prstenů bez předpokladů konečnosti“
^ Isaacs, Věta 13.14, s. 185
^ Mimochodem je to také $D - R$ bimodul struktura.
^ Herstein, definice, str. 40
^ Ukázalo se, že tato topologie je stejná jako kompaktně otevřená topologie v tomto případě. Herstein, str. 41 používá tento popis.
^ Herstein, str. 41

Reference

V. Herstein (1968). Nezávazné prsteny (1. vyd.). Matematická asociace Ameriky. ISBN 0-88385-015-X.
I. Martin Isaacs (1993). Algebra, postgraduální kurz (1. vyd.). Nakladatelství Brooks / Cole. ISBN 0-534-19002-2.
Jacobson, N. (1945), "Strukturní teorie jednoduchých prstenů bez předpokladů konečnosti", Trans. Amer. Matematika. Soc., 57: 228–245, doi:10.1090 / s0002-9947-1945-0011680-8, ISSN 0002-9947, PAN 0011680

externí odkazy

Stránka PlanetMath

[1] Isaacs, str. 184

[2] Takové prstence lineárních transformací jsou také známé jako plné lineární kroužky.

[Isaacs187-3] A ^b Isaacs, Dodatek 13.16, str. 187

[4] Jacobson, Nathan „Teorie struktury jednoduchých prstenů bez předpokladů konečnosti“

[5] Isaacs, Věta 13.14, s. 185

[6] Mimochodem je to také $D - R$ bimodul struktura.

[7] Herstein, definice, str. 40

[8] Ukázalo se, že tato topologie je stejná jako kompaktně otevřená topologie v tomto případě. Herstein, str. 41 používá tento popis.

[9] Herstein, str. 41

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]