Diferenciální algebra - Differential algebra
v matematika, diferenciální kroužky, diferenciální pole, a diferenciální algebry jsou prsteny, pole, a algebry vybaveno konečně mnoha derivace, což jsou unární funkce, které jsou lineární a uspokojit Pravidlo produktu Leibniz. Přirozeným příkladem diferenciálního pole je pole racionální funkce v jedné proměnné nad komplexní čísla, , kde je derivací diferenciace vzhledem kt.
Diferenciální algebra odkazuje také na oblast matematiky spočívající ve studiu těchto algebraických objektů a jejich použití pro algebraické studium diferenciálních rovnic. Diferenciální algebra byla zavedena Joseph Ritt v roce 1950.[1]
Diferenciální kroužek
A diferenciální kroužek je prsten R vybaven jedním nebo více derivace, to jsou homomorfismy z skupiny přísad
tak, že každá derivace ∂ splňuje Pravidlo produktu Leibniz
pro každého . Všimněte si, že prsten může být nekomutativní, takže poněkud standardní d (xy) = Xdy + ydX forma pravidla produktu v komutativním nastavení může být nepravdivá. Li je násobení na kruhu, produktovým pravidlem je identita
kde znamená funkci, která mapuje pár k páru .
Diferenciální pole
Diferenciální pole je komutativní pole K. vybavené derivacemi.
Známý vzorec pro rozlišení frakcí
vyplývá z pravidla produktu. Opravdu musíme
Podle pravidla produktu pak máme
Řešení s ohledem na získáváme hledanou identitu.
Li K. je tedy diferenciální pole pole konstant z K. je
Diferenciální algebra nad polem K. je K.-algebra A přičemž derivace komutuje se skalárním násobením. To znamená pro všechny a jeden má
Li je kruhový homomorfismus do centrum definice A skalární násobení na algebře, jeden má
Jak je uvedeno výše, derivace se musí řídit Leibnizovým pravidlem o násobení algebry a musí být lineární nad sčítáním. Tedy pro všechny a jeden má
a
Odvození na lže algebře
Derivace na a Lež algebra je lineární mapa splnění Leibnizova pravidla:
Pro všechny , reklama (A) je derivace na , který vyplývá z Jacobi identita. Každé takové odvození se nazývá vnitřní derivace. Tento původ se vztahuje na univerzální obalová algebra lži algebry.
Příklady
Li A je unital, pak ∂ (1) = 0, protože ∂ (1) = ∂ (1 × 1) = ∂ (1) + ∂ (1). Například v diferenciálním poli charakteristické nuly , racionály jsou vždy podpolí pole konstant konstanty .
Libovolný prsten je diferenciální prsten vzhledem k triviální derivaci, která mapuje jakýkoli prstencový prvek na nulu.
Pole Q(t) má jedinečnou strukturu jako diferenciální pole, určenou nastavením ∂ (t) = 1: axiomy pole spolu s axiomy pro derivace zajišťují, že derivace je diferenciace vzhledem k t. Například komutativitou násobení a Leibnizovým zákonem má člověk ∂ (u2) = u ∂(u) + ∂(u)u = 2u∂(u).
Diferenciální pole Q(t) nemá řešení diferenciální rovnice
ale expanduje do většího diferenciálního pole včetně funkce Et který má řešení této rovnice. Diferenciální pole s řešením všech systémů diferenciálních rovnic se nazývá a diferenciálně uzavřené pole. Taková pole existují, i když nevypadají jako přírodní algebraické nebo geometrické objekty. Všechna diferenciální pole (s omezenou mohutností) se vloží do velkého diferenciálně uzavřeného pole. Diferenciální pole jsou předmětem studia v diferenciální Galoisova teorie.
Přirozeně se vyskytující příklady derivací jsou částečné derivace, Lživé deriváty, Derivát Pincherle a komutátor s ohledem na prvek z algebra.
Prsten pseudo-diferenciálních operátorů
![]() | Tato část má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
Diferenciální prstence a diferenciální algebry jsou často studovány pomocí kruhu pseudo-diferenciální operátory na ně.
Toto je sada formálních nekonečných součtů
kde znamená, že součet běží na všechna celá čísla, která nejsou větší než pevná (konečná) hodnota.
Tato sada je vytvořena jako prsten s násobením definovaným lineárním rozšířením následujícího vzorce pro „monomials“:
kde je binomický koeficient. (Li součet je konečný, stejně jako podmínky s jsou všechny rovny nule.) Zejména jeden má
pro r = 1, m = –1, a n = 0a používání identity
Viz také
- Diferenciální teorie Galois
- Kählerův diferenciál
- Diferenciálně uzavřené pole
- A D-modul je algebraická struktura, na kterou působí několik diferenciálních operátorů.
- A diferenciálně odstupňovaná algebra je diferenciální algebra s další klasifikací.
- Aritmetická derivace
- Diferenciální počet přes komutativní algebry
- Rozdílová algebra
- Diferenciální algebraická geometrie
- Teorie Picard – Vessiot
- Hardy pole
Reference
- ^ Ritt, Joseph Fels (1950). Diferenciální algebra. Publikace kolokvia AMS. 33. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-4638-4.
- Buium, Alexandru (1994). Diferenciální algebra a diofantická geometrie. Hermann. ISBN 978-2-7056-6226-4.
- Kaplansky, Irving (1976). Úvod do diferenciální algebry (2. vyd.). Hermann. ISBN 9782705612511.
- Kolchin, Ellis (1973). Diferenciální algebra a algebraické skupiny. Akademický tisk. ISBN 978-0-08-087369-5.
- Marker, David (2017) [1996]. "Modelová teorie diferenciálních polí". V Marker, David; Messmer, Margit; Pillay, Anand (eds.). Teorie modelů polí. Poznámky k přednášce v logice. 5. Cambridge University Press. 38–113. ISBN 978-1-107-16807-7. Tak jako PDF
- Magid, Andy R. (1994). Přednášky o diferenciální galoisové teorii. Série univerzitních přednášek. 7. Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-7004-4.
externí odkazy
- Domovská stránka Davida Markera má několik online průzkumů zabývajících se rozdílnými poli.