Vztahy zelených - Greens relations - Wikipedia

v matematika, Greenovy vztahy je jich pět ekvivalenční vztahy které charakterizují prvky a poloskupina z hlediska hlavní ideály generují. Vztahy jsou pojmenovány pro James Alexander Green, který je představil v příspěvku z roku 1951. John Mackintosh Howie, prominentní teoretik semigroup, popsal tuto práci jako „tak všudypřítomnou, že při setkání s novou semigroup je téměř první otázka, kterou si člověk položí,„ Jaké jsou zelené vztahy? “(Howie 2002). Vztahy jsou užitečné pro pochopení podstaty dělitelnosti v poloskupině; jsou také platné pro skupiny, ale v tomto případě nám neřekněte nic užitečného, ​​protože skupiny mají vždy dělitelnost.

Místo přímé práce s poloskupinou S, je vhodné definovat Greenovy vztahy nad monoidní S¹. (S¹ je "S v případě potřeby doplněna totožnost "; pokud S již není monoidem, k novému prvku je přidružen a je definován jako identita.) Tím je zajištěno, že hlavní ideály generované některým prvkem poloskupiny tento prvek skutečně obsahují. Pro prvek A z S, příslušné ideály jsou:

• The hlavní odešel ideální generováno uživatelem A: ${ displaystyle S ^ {1} a = {sa mid s v S ^ {1} }}$. To je stejné jako ${ displaystyle {sa mid s v S } pohár {a }}$, který je ${ displaystyle Sa cup {a }}$.
• The hlavní pravý ideál generováno uživatelem A: ${ displaystyle aS ^ {1} = {as mid s v S ^ {1} }}$nebo ekvivalentně ${ displaystyle aS cup {a }}$.
• The hlavní oboustranný ideál generováno uživatelem A: ${ displaystyle S ^ {1} aS ^ {1}}$nebo ${ displaystyle SaS cup aS cup Sa cup {a }}$.

Vztahy L, R a J.

Pro prvky A a b z S, Greenovy vztahy L, R a J jsou definovány

• A L b kdyby a jen kdyby S¹ A = S¹ b.
• A R b kdyby a jen kdyby A S¹ = b S¹.
• A J b kdyby a jen kdyby S¹ A S¹ = S¹ b S¹.

To znamená A a b jsou Lsouvisející, pokud generují stejný levý ideál; Rsouvisející, pokud generují stejný správný ideál; a Jsouvisející, pokud generují stejný oboustranný ideál. Jedná se o ekvivalenční vztahy na S, takže každý z nich získá oddíl ve výši S do tříd ekvivalence. The L-třída A je označen L_A (a obdobně pro ostatní vztahy). The L-třídy a R-třídy lze ekvivalentně chápat jako silně připojené komponenty vlevo a vpravo Cayleyovy grafy z S¹.^[1] Dále L, R, a J vztahy definují tři předobjednávky ≤_L, ≤_Ra ≤_J, kde A ≤_J b drží pro dva prvky A a b z S pokud J-třída A je zahrnuto v tom b, tj., S¹ A S¹ ⊆ S¹ b S¹a ≤_L a ≤_R jsou definovány analogicky.^[2]

Green použil malá písmena blackletter ${ displaystyle { mathfrak {l}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ a ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ pro tyto vztahy a napsal ${ displaystyle a equiv b ({ mathfrak {l}})}$ pro A L b (a podobně pro R a J). Matematici dnes mají tendenci používat písmena skriptů, jako je ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ místo toho, a nahradit Green modulární aritmetika - zde použitý styl zápisu se stylem infix. Pro třídy ekvivalence se používají běžná písmena.

The L a R vztahy jsou vzájemně levý-pravý; věty týkající se jedné lze převést na podobná tvrzení o druhé. Například, L je kompatibilní s právem: pokud A L b a C je dalším prvkem S, pak ac L před naším letopočtem. Duálně R je kompatibilní s levou rukou: pokud A R b, pak ca. R cb.

Li S je tedy komutativní L, R a J shodovat se.

Vztahy H a D

Zbývající vztahy jsou odvozeny z L a R. Jejich křižovatka je H:

A H b kdyby a jen kdyby A L b a A R b.

Toto je také vztah ekvivalence na S. Třída H_A je křižovatkou L_A a R_A. Obecněji řečeno, průnik libovolného L-třída s jakýmkoli R-třída je buď H-třída nebo prázdná sada.

Greenova věta uvádí, že pro všechny ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-třída H poloskupiny S buď (i) ${ displaystyle H ^ {2} cap H = emptyset}$ nebo (ii) ${ displaystyle H ^ {2} = H}$ a H je podskupina S. Důležitým důsledkem je třída ekvivalence H_E, kde E je idempotentní, je podskupina S (jeho identita je Ea všechny prvky mají inverze) a je to opravdu největší podskupina S obsahující E. Ne ${ displaystyle { mathcal {H}}}$-class může tedy obsahovat více než jeden idempotent ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ je idempotentní oddělení. V monoidu M, třída H₁ se tradičně nazývá skupina jednotek.^[3] (Pozor, jednotka v tomto kontextu neznamená identitu, tj. Obecně jsou v ní prvky jiné než identity H₁. „Jednotková“ terminologie pochází z teorie prstenů.) Například v transformační monoid na n elementy, T_n, skupina jednotek je symetrická skupina S_n.

Konečně, D je definováno: A D b jen tehdy, pokud existuje a C v S takhle A L C a C R b. V jazyce mříže, D je spojením L a R. (Spojení pro ekvivalenční vztahy je obvykle obtížnější definovat, ale v tomto případě je zjednodušeno skutečností, že A L C a C R b pro některé C kdyby a jen kdyby A R d a d L b pro některé d.)

Tak jako D je nejmenší relace ekvivalence obsahující obě L a R, víme, že A D b naznačuje A J b-tak J obsahuje D. V konečné poloskupině D a J jsou stejní,^[4] jako také v a racionální monoid.^{[5][je zapotřebí objasnění ]} Dále se také shodují v jakémkoli epigroup.^[6]

Existuje také formulace D pokud jde o třídy ekvivalence, odvozené přímo z výše uvedené definice:^[7]

A D b jen a jen v případě, že křižovatka R_A a L_b není prázdný.

V důsledku toho D-třídy poloskupiny lze považovat za odbory L-třídy, jako odbory R-třídy nebo jako odbory H-třídy. Clifford a Prestone (1961) navrhují uvažovat o této situaci ve smyslu „krabice na vejce“:^[8]

Každá řada vajec představuje R-třída a každý sloupec L-třída; samotná vejce jsou H-třídy. Pro skupinu existuje pouze jedno vejce, protože všech pět Greenových vztahů se shoduje a všechny prvky skupiny jsou ekvivalentní. Opačný případ, nalezený například v bicyklická poloskupina, je místo, kde je každý prvek v H- vlastní třída. Vejce pro tuto poloskupinu by obsahovalo nekonečně mnoho vajec, ale všechna vejce jsou ve stejné krabici, protože existuje pouze jedno D-třída. (Poloskupina, pro kterou jsou všechny prvky D-vztahuje se dvojitý.)

Je možné ukázat, že v rámci a D-třída, všichni H-třídy mají stejnou velikost. Například transformační poloskupina T₄ obsahuje čtyři D-třídy, v rámci kterých H-třídy mají 1, 2, 6 a 24 prvků.

Poslední pokrok v EU kombinatorika z poloskupin využilo Greenových vztahů k výčtu poloskupin s určitými vlastnostmi. Typický výsledek (Satoh, Yama a Tokizawa 1994) ukazuje, že jich je přesně 1 843 120 128 neekvivalentní poloskupiny řádu 8, včetně 221 805, které jsou komutativní; jejich práce je založena na systematickém zkoumání možných D-třídy. (Naproti tomu existují pouze pět skupin objednávky 8.)

Příklad

Plná transformační poloskupina T₃ skládá se ze všech funkcí od množiny {1, 2, 3} až po sebe; je jich 27. Psát si (A b C) pro funkci, která posílá 1 do A, 2 až ba 3 až C. Od té doby T₃ obsahuje mapu identity (1 2 3), není třeba na ni navazovat.

Schéma krabičky na vejce pro T₃ má tři D-třídy. Jsou taky J-třídy, protože tyto vztahy se shodují pro konečnou poloskupinu.

v T₃, dvě funkce jsou L- související, pokud a pouze pokud mají stejné obraz. Tyto funkce se objeví ve stejném sloupci výše uvedené tabulky. Stejně tak funkce F a G jsou R- související, pokud a jen pokud

F(X) = F(y) ⇔ G(X) = G(y)

pro X a y v {1, 2, 3}; takové funkce jsou ve stejném řádku tabulky. V důsledku toho jsou dvě funkce D- související, pokud a pouze v případě, že jejich obrázky mají stejnou velikost.

Tučně označené prvky jsou idempotenty. Žádný H-třída obsahující jednu z nich je (maximální) podskupina. Zejména třetí D-class je izomorfní se symetrickou skupinou S₃. Existuje také šest podskupin řádu 2 a tři řádu 1 (stejně jako podskupiny těchto podskupin). Šest prvků T₃ nejsou v žádné podskupině.

Zobecnění

V zásadě existují dva způsoby zobecnění algebraické teorie. Jedním z nich je změnit jeho definice tak, aby pokrýval více nebo různé objekty; druhou, jemnější cestou, je najít nějaký žádoucí výsledek teorie a zvážit alternativní způsoby, jak k tomuto závěru dospět.

Po první trase byly definovány analogické verze Greenových vztahů semirings (Grillet 1970) a prsteny (Petro 2002). Některé z těchto vlastností, ale ne všechny, spojené s relacemi v poloskupinách se přenášejí i do těchto případů. Při pobytu ve světě poloskupin lze Greenovy vztahy rozšířit tak, aby zahrnovaly relativní ideály, což jsou podmnožiny, které jsou pouze ideály s ohledem na podskupinu (Wallace 1963).

U druhého druhu generalizace se vědci soustředili na vlastnosti bijekce mezi L- a R- třídy. Li X R y, pak je vždy možné najít bijekce mezi nimi L_X a L_y to jsou R- zachování třídy. (To znamená, že pokud dva prvky L-třída jsou ve stejné R-třída, pak budou jejich obrázky pod bijekcí stále stejné R-class.) Duální výpis pro X L y také drží. Tyto bijekce jsou pravým a levým překladem omezeným na příslušné třídy ekvivalence. Vyvstává otázka: jak jinak by mohly být takové bijekce?

Předpokládejme, že Λ a Ρ jsou poloskupiny částečných transformací nějaké poloskupiny S. Za určitých podmínek lze prokázat, že pokud X Ρ = y Ρ, s X ρ₁ = y a y ρ₂ = X, pak omezení

ρ₁ : Λ X → Λ y

ρ₂ : Λ y → Λ X

jsou vzájemně inverzní bijekce. (Konvenčně jsou argumenty psány vpravo pro Λ a vlevo pro Ρ.) Potom L a R vztahy lze definovat pomocí

X L y právě když if X = Λ y

X R y kdyby a jen kdyby X Ρ = y Ρ

a D a H následujte jako obvykle. Zobecnění J není součástí tohoto systému, protože nehraje žádnou roli v požadované vlastnosti.

Říkáme (Λ, Ρ) a Greenův pár. Existuje několik možností poloskupiny částečné transformace, které poskytují původní vztahy. Jedním příkladem by bylo vzít Λ jako poloskupinu všech překladů vlevo S¹, omezeno na Sa Ρ odpovídající poloskupina překladů s omezeným právem.

Tyto definice jsou způsobeny Clarkem a Carruthem (1980). Zahrnují Wallaceovu práci i různé další zobecněné definice navržené v polovině 70. let. Plné axiomy jsou poměrně zdlouhavé; neformálně jsou nejdůležitějšími požadavky to, aby oba Λ a Ρ obsahovaly transformaci identity a aby prvky of měly dojíždět s prvky of.

Viz také

• Skupina Schutzenberger

Reference

• C. E. Clark a J. H. Carruth (1980) Zobecněné Greenovy teorie, Semigroup Forum 20(2);  95–127.
• A. H. Clifford a G. B. Preston (1961) Algebraická teorie poloskupin, svazek 1, (1967) svazek 2, Americká matematická společnost „Greenovy vztahy jsou uvedeny v kapitole 2 prvního dílu.
• J. A. Green (červenec 1951) „O struktuře poloskupin“, Annals of Mathematics (druhá série) 54 (1): 163–172.
• Grillet, Mireille P. (1970). „Greenovy vztahy v semiringu“. Přístav. Matematika. 29: 181–195. Zbl  0227.16029.
• John M. Howie (1976) Úvod do teorie semigroup, Akademický tisk ISBN  0-12-356950-8. Aktualizovaná verze je k dispozici jako Základy teorie poloskupin, Oxford University Press, 1995. ISBN  0-19-851194-9.
• John M. Howie (2002) „Poloskupiny, minulost, přítomnost a budoucnost“, Sborník mezinárodní konference o algebře a jejích aplikacích, Univerzita v Chulalongkornu, Thajsko
• Lawson, Mark V. (2004). Konečné automaty. Chapman and Hall / CRC. ISBN  1-58488-255-7. Zbl  1086.68074.
• Petraq Petro (2002) Greenovy vztahy a minimální kvaziideály v prstenech, Komunikace v algebře 30(10): 4677–4686.
• S. Satoh, K. Yama a M. Tokizawa (1994) „Poloskupiny řádu 8“, Semigroup Forum 49: 7–29.
• Gomes, G.M.S .; Pin, J. E.; Silva, J.E. (2002). Poloskupiny, algoritmy, automaty a jazyky. Sborník workshopů konaných v Mezinárodním středisku matematiky, CIM, Coimbra, Portugalsko, květen, červen a červenec 2001. World Scientific. ISBN  978-981-238-099-9. Zbl  1005.00031.