Frattini podskupina - Frattini subgroup

Hasseův diagram z mřížka podskupin z dihedrální skupina Dih₄. Ve 3-prvkové vrstvě jsou maximální podskupiny; jejich křižovatka ( Frattini podskupina) je ústředním prvkem v 5prvkové vrstvě. Takže Dih₄ má pouze jeden negenerující prvek E.

v matematika, zejména v teorie skupin, Frattini podskupina ${ displaystyle Phi (G)}$ a skupina $G$ je průsečík ze všech maximální podskupiny z $G$ . Pro ten případ $G$ nemá žádné maximální podskupiny, například triviální skupina {E} nebo Skupina Prüfer, je definován ${ displaystyle Phi (G) = G}$ . Je to analogické s Jacobson radikální v teorii prsteny a lze jej intuitivně považovat za podskupinu „malých prvků“ (viz charakteristika „negenerátoru“ níže). Je pojmenován po Giovanni Frattini, který definoval koncept v článku publikovaném v roce 1885.^[1]

Některá fakta

${ displaystyle Phi (G)}$ se rovná množině všech negenerátory nebo negenerující prvky z $G$ . Negenerující prvek $G$ je prvek, který lze vždy odstranit z a generující sada; tj. prvek A z $G$ tak, že kdykoli $X$ je generující sada $G$ obsahující A, ${ displaystyle X setminus {a }}$ je také generující soubor $G$ .
${ displaystyle Phi (G)}$ je vždy a charakteristická podskupina z $G$ ; zejména vždy normální podskupina z $G$ .
Li $G$ je tedy konečný ${ displaystyle Phi (G)}$ je nilpotentní.
Li $G$ je konečný str-skupina, pak ${ displaystyle Phi (G) = G ^ {p} [G, G]}$ . Podskupina Frattini je tedy nejmenší (s ohledem na zařazení) normální podskupina N takové, že kvocientová skupina ${ displaystyle G / N}$ je základní abelianská skupina, tj., izomorfní do a přímý součet z cyklické skupiny z objednat str. Navíc, pokud je kvocient skupina ${ displaystyle G / Phi (G)}$ (nazývané také Frattiniho kvocient z $G$ ) má pořádek ${ displaystyle p ^ {k}}$ , pak k je nejmenší počet generátorů pro $G$ (tj. nejmenší mohutnost generující množiny pro $G$ ). Zejména konečný str-skupina je cyklická kdyby a jen kdyby jeho Frattiniho kvocient je cyklický (řádu str). Konečný str-group je elementární abelian právě tehdy, když jeho podskupina Frattini je triviální skupina, ${ displaystyle Phi (G) = {e }}$ .
Li $H$ a $K.$ jsou tedy konečné ${ displaystyle Phi (H krát K) = Phi (H) krát Phi (K)}$ .

Příkladem skupiny s netriviální podskupinou Frattini je cyklická skupina $G$ řádu ${ displaystyle p ^ {2}}$ , kde str je prime, generováno A, řekněme; tady, ${ displaystyle Phi (G) = levý langle a ^ {p} pravý rangle}$ .

Viz také

Reference

^ Frattini, Giovanni (1885). „Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni“ (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). Já: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.

Hall, Marshalle (1959). Teorie grup. New York: Macmillan. (Viz kapitola 10, zejména oddíl 10.4.)

[1] Frattini, Giovanni (1885). „Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni“ (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). Já: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.

[1]