Glosář teorie tenzorů - Glossary of tensor theory
Tohle je glosář teorie tenzorů. Pro expozice tenzorová teorie z různých hledisek viz:
Pro některé dějiny abstraktní teorie viz také Multilineární algebra.
Klasická notace
Nejstarší základ teorie tenzoru - notace indexu tenzoru.[1]
Složkami tenzoru vzhledem k základně je indexované pole. The objednat tenzoru je počet potřebných indexů. Některé texty mohou odkazovat na tenzorové pořadí používající tento výraz stupeň nebo hodnost.
Hodnost tenzoru je minimální počet tenzorů první řady, které je třeba sečíst k získání tenzoru. Tenzor první řady může být definován jako vyjádřitelný jako vnější produkt počtu nenulových vektorů potřebných k získání správného pořadí.
A dyadický tensor je tensor řádu dva a může být reprezentován jako čtverec matice. Naproti tomu a dyad je konkrétně dyadický tenzor první pozice.
Tato notace je založena na porozumění, že kdykoli a období ve výrazu, který obsahuje opakované indexové písmeno, je výchozí interpretací to, že produkt je sečten přes všechny povolené hodnoty indexu. Například pokud Aij je matice, pak podle této konvence Aii je jeho stopa. Einsteinova konvence je široce používána ve fyzice a technických textech, do té míry, že pokud nelze použít součet, je běžné si to výslovně povšimnout.
- Kovariantní tenzor
- Kontrastní tenzor
Klasická interpretace je složena. Například v diferenciální formě Aidxi the komponenty Ai jsou kovarianční vektor. To znamená, že všechny indexy jsou nižší; kontravariant znamená, že všechny indexy jsou horní.
To se týká jakéhokoli tenzoru, který má dolní i horní indexy.
Kartézský tenzor
Kartézské tenzory jsou široce používány v různých odvětvích mechanika kontinua, jako mechanika tekutin a pružnost. V klasickém mechanika kontinua, zájmový prostor je obvykle trojrozměrný Euklidovský prostor, stejně jako tečný prostor v každém bodě. Pokud omezíme lokální souřadnice na Kartézské souřadnice se stejnou stupnicí se středem v bodě zájmu, metrický tenzor je Kroneckerova delta. To znamená, že není třeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní složky a dále není třeba rozlišovat tenzory a hustoty tenzoru. Všechno Kartézský tenzor indexy se zapisují jako dolní indexy. Kartézské tenzory dosáhnout značného výpočetního zjednodušení za cenu obecnosti a určitého teoretického vhledu.
Algebraická notace
Tím se zabrání počátečnímu použití komponent a vyznačuje se explicitním použitím symbolu produktu tensor.
Tenzorový produkt
Li proti a w jsou vektory v vektorové prostory PROTI a Ž respektive tedy
je v něm tenzor
To znamená, že operace is je a binární operace, ale bere hodnoty do nového prostoru (je to v silném smyslu externí). Operace is je a bilineární mapa; ale na to se nevztahují žádné další podmínky.
Čistý tenzor
Čistý tenzor PROTI ⊗ Ž je ten, který má formu proti ⊗ w
Dalo by se to psát dyadicky Aibjnebo přesněji Aibj Ei ⊗ Fj, Kde Ei jsou základem pro PROTI a Fj základ pro Ž. Proto pokud PROTI a Ž mají stejnou dimenzi, pole komponent nemusí být čtvercové. Takový čistý tenzory nejsou obecné: pokud jsou oba PROTI a Ž mít rozměr větší než 1, budou existovat tenzory, které nejsou čisté, a budou existovat nelineární podmínky, aby tenzor uspokojil, aby byl čistý. Více viz Vkládání Segre.
Tenzorová algebra
V tenzorové algebře T(PROTI) vektorového prostoru PROTI, operace stává se normálním (interním) binární operace. Důsledkem je to T(PROTI) má nekonečný rozměr, pokud PROTI má rozměr 0. The bezplatná algebra na setu X je pro praktické účely stejné jako tenzorová algebra ve vektorovém prostoru s X jako základ.
Operátor hvězd Hodge
Vnější síla
The klínový produkt je anti-symetrická forma operace ⊗. Kvocientový prostor T(PROTI), na kterém se stává interní operací, je vnější algebra z PROTI; to je odstupňovaná algebra, s odstupňovaným kusem hmotnosti k být nazýván k-th vnější síla z PROTI.
Symetrická síla, symetrická algebra
Toto je neměnný způsob konstrukce polynomiální algebry.
Aplikace
Teorie tenzorového pole
Abstraktní algebra
Jedná se o operaci na polích, která ne vždy vytvoří pole.
Reprezentace Cliffordovy algebry, která poskytuje realizaci Cliffordovy algebry jako maticové algebry.
Tohle jsou odvozené funktory tenzorového produktu a mají silnou funkci v homologická algebra. Název pochází z torzní podskupina v abelianská skupina teorie.
Tyto jsou vysoce abstraktní přístupy používané v některých částech geometrie.
Spinors
Vidět:
Reference
- ^ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (březen 1900), „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“ [Absolutní diferenciální metody výpočtu a jejich aplikace] (PDF), Mathematische Annalen (ve francouzštině), Springer, 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007 / BF01454201
Knihy
- Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Danielson, Donald A. (2003). Vektory a tenzory ve strojírenství a fyzice (2 / ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
- Dimitrienko, Yuriy (2002). Tenzorová analýza a nelineární tenzorové funkce. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
- Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tenzory, diferenciální formy a variační principy. Doveru. ISBN 978-0-486-65840-7.
- Synge, John L.; Schild, Alfred (1949). Tenzorový počet. Dover Publications Vydání z roku 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.