Formálně skutečné pole - Formally real field

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Formálně reálné pole“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, zejména v teorie pole a skutečná algebra, a formálně skutečné pole je pole který může být vybaven (ne nutně jedinečným) objednáváním, které z něj dělá objednané pole.

Alternativní definice

Výše uvedená definice není a první objednávka definice, protože vyžaduje kvantifikátory sady. Následující kritéria však mohou být kódována jako (nekonečně mnoho) prvního řádu věty v jazyce polí a jsou ekvivalentní výše uvedené definici.

Formálně skutečné pole F je pole, které také splňuje jednu z následujících ekvivalentních vlastností:^[1][2]

• -1 není součet čtverce v F. Jinými slovy Stufe z F je nekonečný. (Takové pole zejména musí mít charakteristický 0, protože v poli charakteristiky str prvek -1 je součet 1 s.) To lze vyjádřit v logice prvního řádu pomocí ${ displaystyle forall x_ {1} (- 1 neq x_ {1} ^ {2})}$, ${ displaystyle forall x_ {1} x_ {2} (- 1 neq x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2})}$atd., s jednou větou pro každý počet proměnných.
• Existuje prvek F to není součet čtverců v Fa charakteristika F není 2.
• Pokud nějaký součet čtverců prvků z F rovná se nule, pak každý z těchto prvků musí být nula.

Je snadné vidět, že tyto tři vlastnosti jsou ekvivalentní. Je také snadné vidět, že pole, které připouští objednávání, musí splňovat tyto tři vlastnosti.

Důkaz, že pokud F tedy splňuje tyto tři vlastnosti F připouští, že objednávka používá pojem předložkové kužele a pozitivní kužely. Předpokládejme, že -1 není součet čtverců, pak a Zornova lemma Argument ukazuje, že prepozitivní kužel součtu čtverců lze rozšířit na kladný kužel P ⊂ F. Jeden používá tento pozitivní kužel k definování uspořádání: A ≤ b kdyby a jen kdyby b − A patří P.

Skutečná uzavřená pole

Formálně skutečné pole bez formálně skutečného vlastního algebraické rozšíření je skutečné uzavřené pole.^[3] Li K. je formálně reálný a Ω je algebraicky uzavřené pole obsahující K., pak je tu skutečně uzavřeno podpole Ω obsahující K.. Skutečné uzavřené pole lze objednat jedinečným způsobem,^[3] a nezáporné prvky jsou přesně druhé mocniny.

Poznámky

Reference

• Milnor, Johne; Husemoller, Dale (1973). Symetrické bilineární formy. Springer. ISBN  3-540-06009-X.
• Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.