Dědičný prsten - Hereditary ring
v matematika, zejména v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie modulů, a prsten R je nazýván dědičný padám podmoduly z projektivní moduly přes R jsou opět projektivní. Pokud je to požadováno pouze pro definitivně generováno podmodulů, nazývá se to semihereditary.
Pro nezávazný prsten R, podmínky opustil dědičné a levý semihereditary a jejich pravé verze se používají k rozlišení vlastnosti na jedné straně prstenu. Abychom zůstali (polo-) dědičnými, všechny (konečně generované) podmodulky projektivu vlevo, odjet R-moduly musí být projektivní a aby byly správné (polo-) dědičné, všechny (konečně generované) podmoduly projektivních pravých podmodulů musí být projektivní. Je možné, že prsten bude levý (polo-) dědičný, ale nikoli pravý (polo-) dědičný a naopak.
Ekvivalentní definice
- Prsten R je ponechán (polo-) dědičně právě tehdy, pokud jsou všechny (definitivně generováno ) opustil ideály z R jsou projektivní moduly.[1][2]
- Prsten R je ponecháno dědičné právě tehdy, pokud mají všechny levé moduly projektivní rozlišení délky nanejvýš 1. To odpovídá tvrzení, že vlevo globální dimenze je maximálně 1. Proto obvyklé odvozené funktory jako a jsou triviální pro .
Příklady
- Půlkruhy jsou levý a pravý dědičný prostřednictvím ekvivalentních definic: všechny levé a pravé ideály jsou souhrny R, a proto jsou projektivní. Podobným tokenem, v a von Neumann pravidelný prsten každý konečně generovaný levý a pravý ideál je přímým součtem R, a tak von Neumannovy pravidelné kroužky jsou levé a pravé polodědičné.
- Pro libovolný nenulový prvek X v doména R, přes mapu . Proto je v jakékoli doméně hlavní ideální ideál zdarma, tedy projektivní. To odráží skutečnost, že domény mají pravdu Rickart zazvoní. Z toho vyplývá, že pokud R je právo Doména Bézout, takže konečně generované pravé ideály jsou tedy hlavní R má všechny konečně generované správné ideály projektivní, a tedy R je pravý semihereditary. Nakonec pokud R se předpokládá, že hlavní správná ideální doména, pak jsou všechny správné ideály projektivní a R je dědičná.
- Komutativní dědičná integrální doména se nazývá a Dedekind doména. Komutativní semi-dědičná integrální doména se nazývá a Prüferova doména.
- Důležitým příkladem (levého) dědičného prstence je cesta algebra a toulec. To je důsledek existence standardního rozlišení (které má délku 1) u modulů přes algebru cesty.
- Trojúhelníkový maticový kruh