Konečně vygenerovaná abelianská skupina - Finitely generated abelian group

v abstraktní algebra, an abelianská skupina (G, +) je nazýván definitivně generováno pokud existuje konečně mnoho prvků X₁, ..., X_s v G takové, že každý X v G lze napsat ve formě

X = n₁X₁ + n₂X₂ + ... + n_sX_s

s celá čísla n₁, ..., n_s. V tomto případě říkáme, že množina {X₁, ..., X_s} je generující sada z G nebo tak X₁, ..., X_s generovat G.

Každá konečná abelianská skupina je definitivně generována. Konečně generované abelianské skupiny lze zcela klasifikovat.

Příklady

The celá čísla, ${ displaystyle left ( mathbb {Z}, + right)}$ , jsou konečně generovaná abelianská skupina.
The celá čísla modulo ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle left ( mathbb {Z} / n mathbb {Z}, + right)}$ , jsou konečná (tedy konečně generovaná) abelianská skupina.
Žádný přímý součet konečně mnoha konečně generovaných abelianských skupin je opět konečně generovaná abelianská skupina.
Každý mříž tvoří konečně vygenerovaný bezplatná abelianská skupina.

Neexistují žádné další příklady (až po izomorfismus). Zejména skupina ${ displaystyle left ( mathbb {Q}, + right)}$ z racionální čísla není definitivně generováno:^[1] -li ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ jsou racionální čísla, vyberte a přirozené číslo ${ displaystyle k}$ coprime všem jmenovatelům; pak ${ displaystyle 1 / k}$ Nelze generovat ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ . Skupina ${ displaystyle left ( mathbb {Q} ^ {*}, cdot right)}$ nenulových racionálních čísel také není definitivně generováno. Skupiny reálných čísel se přidávají ${ displaystyle left ( mathbb {R}, + right)}$ a nenulová reálná čísla při násobení ${ displaystyle left ( mathbb {R} ^ {*}, cdot right)}$ také nejsou definitivně generovány.^[1]^[2]

Klasifikace

The základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách lze konstatovat dvěma způsoby, zobecněním obou forem základní věta o konečný abelianské skupiny. Věta v obou formách zase zobecňuje na věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou, což připouští další zevšeobecňování.

Primární rozklad

Formulace primárního rozkladu uvádí, že každá konečně generovaná abelianská skupina G je izomorfní s a přímý součet z primární cyklické skupiny a nekonečné cyklické skupiny. Primární cyklická skupina je skupina, jejíž objednat je síla a primární. To znamená, že každá konečně generovaná abelianská skupina je izomorfní se skupinou formy

{ displaystyle mathbb {Z} ^ {n} oplus mathbb {Z} _ {q_ {1}} oplus cdots oplus mathbb {Z} _ {q_ {t}},}

kde n ≥ 0 je hodnost a čísla q₁, ..., q_t jsou mocniny (ne nutně odlišných) prvočísel. Zejména, G je konečný právě tehdy n = 0. Hodnoty n, q₁, ..., q_t jsou (až do přeskupení indexů) jednoznačně určeno G, to znamená, že existuje jeden a jediný způsob, jak reprezentovat G jako takový rozklad.

Invariantní rozklad faktoru

Můžeme také napsat jakoukoli konečně generovanou abelianskou skupinu G jako přímý součet formuláře

{ displaystyle mathbb {Z} ^ {n} oplus mathbb {Z} _ {k_ {1}} oplus cdots oplus mathbb {Z} _ {k_ {u}},}

kde k₁ rozděluje k₂, který rozděluje k₃ a tak dále až k_u. Opět hodnost n a invariantní faktory k₁, ..., k_u jsou jednoznačně určeny G (zde s jedinečnou objednávkou). Pořadí a posloupnost invariantních faktorů určují skupinu až do izomorfismu.

Rovnocennost

Tato tvrzení jsou ekvivalentní v důsledku Čínská věta o zbytku, což z toho vyplývá ${ displaystyle mathbb {Z} _ {jk} simeq mathbb {Z} _ {j} oplus mathbb {Z} _ {k}}$ kdyby a jen kdyby j a k jsou coprime.

Dějiny

Historie a kredit pro základní teorém je komplikován skutečností, že bylo prokázáno, když teorie skupin nebyla dobře zavedená, a tak se pro konkrétní případ často uvádějí rané formy, i když jsou v podstatě moderním výsledkem a důkazem. Krátce, časná forma konečného případu byla prokázána v (Gauss 1801 ), konečný případ byl prokázán v (Kronecker 1870 ), a je uvedeno ve skupinové teoretické termíny v (Frobenius & Stickelberger 1878 ). The konečně prezentovány případ řeší Smith normální forma, a proto se často připisuje (Smith 1861 ),^[3] i když konečně generováno případ je místo toho připsán na (Poincaré 1900 ); podrobnosti následují.

Skupinový teoretik László Fuchs uvádí:^[3]

Pokud jde o základní teorém o konečných abelianských skupinách, není jasné, jak daleko zpět v čase je třeba jít ke sledování jeho původu. ... trvalo dlouhou dobu formulovat a dokázat základní větu v její současné podobě ...

Základní věta pro konečný abelianské skupiny prokázal Leopold Kronecker v (Kronecker 1870 )pomocí skupinově teoretického důkazu,^[4] ačkoli to neuvádí ve skupinové teoretické rovině;^[5] moderní prezentace Kroneckerova důkazu je uvedena v (Stillwell 2012 ), 5.2.2 Kroneckerova věta, 176–177. Toto zobecnilo dřívější výsledek Carl Friedrich Gauss z Disquisitiones Arithmeticae (1801), který klasifikoval kvadratické formy; Kronecker citoval tento Gaussův výsledek. Věta byla uvedena a prokázána v jazyce skupin uživatelem Ferdinand Georg Frobenius a Ludwig Stickelberger v roce 1878.^[6]^[7] Další skupinově teoretickou formulaci podal Kroneckerův student Eugen Netto v roce 1882.^[8]^[9]

Základní věta pro konečně představen abelianské skupiny prokázal Henry John Stephen Smith v (Smith 1861 ),^[3] protože celočíselné matice odpovídají konečným prezentacím abelianských skupin (to zobecňuje na konečně prezentované moduly přes hlavní ideální doménu) a Smith normální forma odpovídá klasifikaci definitivně prezentovaných abelianských skupin.

Základní věta pro definitivně generováno abelianské skupiny prokázal Henri Poincaré v (Poincaré 1900 )pomocí maticového důkazu (který se zobecňuje na hlavní ideální domény). To bylo provedeno v kontextu výpočtuhomologie komplexu, konkrétně Betti číslo a torzní koeficienty dimenze komplexu, kde číslo Betti odpovídá hodnosti volné části a torzní koeficienty odpovídají torzní části.^[4]

Kroneckerův důkaz byl zobecněn na definitivně generováno abelian groups od Emmy Noether v (Noether 1926 ).^[4]

Dodatky

Jinak řečeno, základní věta říká, že konečně generovaná abelianská skupina je přímým součtem a bezplatná abelianská skupina konečný hodnost a konečná abelianská skupina, z nichž každá je jedinečná až po izomorfismus. Konečná abelianská skupina je právě torzní podskupina z G. Hodnost G je definována jako hodnost torzní části G; toto je jen číslo n ve výše uvedených vzorcích.

A důsledek základním teorémem je, že každý je konečně generován abelianská skupina bez kroucení je zdarma abelian. Konečně vygenerovaná podmínka je zde zásadní: ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je torzní bez, ale ne zdarma abelian.

Každý podskupina a skupina faktorů konečně generované abelianské skupiny je opět konečně generovaný abelian. Konečně generované abelianské skupiny spolu s skupinové homomorfismy, pro muže abelianská kategorie což je Podkategorie Serre z kategorie abelianských skupin.

Neomezeně generované abelianské skupiny

Všimněte si, že ne každá abelianská skupina konečné pozice je definitivně generována; skupina 1 ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je jeden protipříklad a skupina 0 je dána přímým součtem nespočetně nekonečně mnoho kopie ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ je další.

Viz také

The Jordan – Hölderova věta je neabelovské zobecnění

Poznámky

^ ^A ^b Silverman & Tate (1992), p. 102
^ de la Harpe (2000), p. 46
^ ^A ^b ^C Fuchs, László (2015) [původně publikováno 1958]. Abelianské skupiny. p.85. ISBN 978-3-319-19422-6.
^ ^A ^b ^C Stillwell, Johne (2012). „5.2 Věta o struktuře pro konečně generovaná“. Klasická topologie a kombinatorická teorie skupin. p.175.
^ Wussing, Hansi (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [Genesis konceptu abstraktní skupiny: Příspěvek k historii vzniku teorie abstraktní skupiny.]. p.67.
^ G. Frobenius, L. Stickelberger, Uber Grubben von vertauschbaren Elementen, J. reine u. angew. Math., 86 (1878), 217-262.
^ Wussing (2007), str. 234–235
^ Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra, Eugen Netto, 1882
^ Wussing (2007), str. 234–235

Reference

Smith, Henry J. Stephen (1861). "Na systémech lineárních neurčitých rovnic a kongruencí". Phil. Trans. R. Soc. Lond. 151 (1): 293–326. doi:10.1098 / rstl.1861.0016. JSTOR 108738. Přetištěno (str. 367–409 ) v Shromážděné matematické dokumenty Henryho Johna Stephena Smitha, Sv. Já, editoval J. W. L. Glaisher. Oxford: Clarendon Press (1894), xcv+603 stran.
Silverman, Joseph H .; Tate, John Torrence (1992). Racionální body na eliptických křivkách. Pregraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 978-0-387-97825-3.
de la Harpe, Pierre (2000). Témata v teorii geometrických grup. Přednášky z matematiky v Chicagu. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-31721-2.

[Silverman-Tate-1992-1] A ^b Silverman & Tate (1992), p. 102

[2] Harpe (2000), p. 46

[fuchs-3] A ^b ^C Fuchs, László (2015) [původně publikováno 1958]. Abelianské skupiny. p.85. ISBN 978-3-319-19422-6.

[stillwell175-4] A ^b ^C Stillwell, Johne (2012). „5.2 Věta o struktuře pro konečně generovaná“. Klasická topologie a kombinatorická teorie skupin. p.175.

[wussing67-5] Wussing, Hansi (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [Genesis konceptu abstraktní skupiny: Příspěvek k historii vzniku teorie abstraktní skupiny.]. p.67.

[6] G. Frobenius, L. Stickelberger, Uber Grubben von vertauschbaren Elementen, J. reine u. angew. Math., 86 (1878), 217-262.

[7] Wussing (2007), str. 234–235

[8] Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra, Eugen Netto, 1882

[9] Wussing (2007), str. 234–235

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]