Normální prodloužení - Normal extension

v abstraktní algebra, a normální rozšíření je rozšíření algebraického pole L/K. pro které je každý polynom, který je neredukovatelné přes K. buď nemá kořen v L nebo se rozdělí na lineární faktory v L. Bourbaki volá takové rozšíření a kvazi-Galoisovo rozšíření.

Definice

The rozšíření algebraického pole L/K. je normální (také to říkáme L je normální K.) pokud každý neredukovatelný polynom nad K, která má alespoň jeden kořen v L rozdělí se L. Jinými slovy, pokud α ∈ L, pak vše konjugáty z α přes K. (tj. všechny kořeny minimální polynom z α přes K.) patřit k L.

Další vlastnosti

Nechat L být rozšířením pole K.. Pak:

• Li L je normální rozšíření K. a pokud E je přechodné rozšíření (tj. L ⊃ E ⊃ K.), pak L je normální rozšíření E.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Li E a F jsou normální rozšíření K. obsaženo v L, pak compositum EF a E ∩ F jsou také normální rozšíření K..^{[Citace je zapotřebí ]}

Příklady a protiklady

Například, ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ je normální rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q},}$ protože se jedná o štípací pole o ${ displaystyle x ^ {2} -2.}$ Na druhou stranu, ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$ není běžným rozšířením ${ displaystyle mathbb {Q}}$ od neredukovatelného polynomu ${ displaystyle x ^ {3} -2}$ má v sobě jeden kořen (jmenovitě ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2}}}$), ale ne všechny (nemá nerealistické kubické kořeny 2). Připomeňme si to pole ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}}}$ z algebraická čísla je algebraické uzavření ${ displaystyle mathbb {Q},}$ tj. obsahuje ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}).}$ Od té doby,

${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}) = left. left {a + b { sqrt [{3}] {2}} + c { sqrt [{3}] {4}} in { overline { mathbb {Q}}} , , right | , , a, b, c in mathbb {Q} right }}$

a pokud ω je primitivní kubický kořen jednoty, pak mapa

${ displaystyle { begin {cases} sigma: mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}) longrightarrow { overline { mathbb {Q}}} a + b { sqrt [{3}] {2}} + c { sqrt [{3}] {4}} longmapsto a + b omega { sqrt [{3}] {2}} + c omega ^ { 2} { sqrt [{3}] {4}} end {případy}}}$

je vložení ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$ v ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}}}$ jehož omezení na ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je identita. Σ však není automorfismem ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$.

Pro všechny hlavní p, rozšíření ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{p}] {2}}, zeta _ {p})}$ je normální stupně p(p − 1). Je to dělící pole X^p − 2. Tady ${ displaystyle zeta _ {p}}$ označuje jakékoli pth primitivní kořen jednoty. Pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}, zeta _ {3})}$ je normální uzávěr (viz níže) ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}})}$.

Normální uzavření

Li K. je pole a L je algebraické rozšíření K., pak existuje nějaké algebraické rozšíření M z L takhle M je normální rozšíření K.. Dále až do izomorfismu existuje pouze jedno takové rozšíření, které je minimální, tj. jediné podpole M který obsahuje L a což je normální rozšíření K. je M sám. Tato přípona se nazývá normální uzavření rozšíření L z K..

Li L je konečné rozšíření K., pak je jeho normální uzavření také konečným prodloužením.

Viz také

• Galoisovo rozšíření
• Normální základ

Reference

• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Základní algebra II (2. vyd.), W. H. Freeman, ISBN  0-7167-1933-9, PAN  1009787