Centralizátor a normalizátor - Centralizer and normalizer

v matematika, zvláště teorie skupin, centralizátor (také zvaný komutant^[1]^[2]) a podmnožina S a skupina G je sada prvků G že dojíždět s každým prvkem Sa normalizátor z S je soubor prvků, které splňují slabší podmínku. Centralizátor a normalizátor S jsou podskupiny z Ga může poskytnout vhled do struktury G.

Definice platí také pro monoidy a poloskupiny.

v teorie prstenů, centralizátor podmnožiny a prsten je definován s ohledem na operaci poloskupiny (násobení) prstenu. Centralizátor podmnožiny prstenu R je podřízený z R. Tento článek se také zabývá centralizátory a normalizátory v systému Windows Lež algebra.

The idealista v poloskupině nebo kruhu je další konstrukce, která je ve stejném duchu jako centralizátor a normalizátor.

Definice

Skupina a poloskupina

The centralizátor podmnožiny S skupiny (nebo poloskupiny) G je definován jako^[3]

{ displaystyle mathrm {C} _ {G} (S) = {g v G mid gs = sg { text {pro všechny}} s v S }.}

Pokud o dané skupině nejsou žádné nejasnosti, G lze z notace potlačit. Když S = {A} je jedináček množina, píšeme C._G(A) místo C._G({A}). Další méně běžná notace pro centralizátor je Z (A), který se vyrovná notaci pro centrum. S touto druhou notací je třeba dávat pozor, aby nedošlo k záměně mezi centrum skupiny G, Z (G) a centralizátor z živel G v G, Z (G).

The normalizátor z S ve skupině (nebo poloskupině) G je definován jako

{ displaystyle mathrm {N} _ {G} (S) = {g v G mid gS = Sg }.}

Definice jsou podobné, ale nejsou totožné. Li G je v centralizátoru S a s je v S, pak to musí být ono gs = sg, ale pokud G je tedy v normalizátoru gs = tg pro některé t v S, s t možná odlišné od s. To znamená, že prvky centralizátoru S musí dojíždět bodově s S, ale prvky normalizátoru S stačí dojíždět s S jako sada. Stejné notační konvence uvedené výše pro centralizátory platí také pro normalizátory. Normalizátor by neměl být zaměňován s normální uzavření.

Prsten, algebra nad polem, Lie ring a Lie algebra

Li R je prsten nebo algebra nad polem, a S je podmnožinou R, pak centralizátor S je přesně tak, jak je definováno pro skupiny, s R místo G.

Li ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ je Lež algebra (nebo Lež prsten ) s produktem Lie [X,y], pak centralizátor podmnožiny S z ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ je definován jako^[4]

{ displaystyle mathrm {C} _ { mathfrak {L}} (S) = {x v { mathfrak {L}} mid [x, s] = 0 { text {pro všechny}} s v S }.}

Definice centralizátorů pro Lieovy prsteny je spojena s definicí pro prsteny následujícím způsobem. Li R je tedy asociativní kruh R lze dát držák produktu [X,y] = xy − yx. Samozřejmě tedy xy = yx kdyby a jen kdyby [X,y] = 0. Pokud označíme množinu R s konzolovým produktem jako L_R, pak jasně kruhový centralizátor z S v R se rovná Ložní kroužek centralizátor z S v L._R.

Normalizátor podmnožiny S lži algebry (nebo lži prsten) ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ darováno^[4]

{ displaystyle mathrm {N} _ { mathfrak {L}} (S) = {x v { mathfrak {L}} mid [x, s] v S { text {pro všechny}} s v S }.}

I když se jedná o standardní použití termínu „normalizátor“ v Lieově algebře, tato konstrukce je ve skutečnosti idealista sady S v ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ . Li S je aditivní podskupina ${ displaystyle { mathfrak {L}}}$ , pak ${ displaystyle mathrm {N} _ { mathfrak {L}} (S)}$ je největší podřízený Lieův podřád (nebo případně Liealův podalgebra), ve kterém S je lež ideál.^[5]

Vlastnosti

Poloskupiny

Nechat ${ displaystyle S '}$ označují centralizátor ${ displaystyle S}$ v poloskupině ${ displaystyle A}$ , tj. ${ displaystyle S '= {x v A mid sx = xs { mbox {for}} { mbox {every}} s v S }.}$ Pak ${ displaystyle S '}$ tvoří a podskupina a ${ displaystyle S '= S' '' = S '' '' '}}$ , tj. komutant je jeho vlastní dvoučlenný.

Skupiny

Zdroj:^[6]

Centralizátor a normalizátor S jsou obě podskupiny G.
Jasně, C_G(S) ⊆ N_G(S). Ve skutečnosti, C_G(S) je vždy a normální podskupina z N_G(S).
C_G(C_G(S)) obsahuje S, ale C_G(S) nemusí obsahovat S. Zadržení nastane přesně kdy S je abelian.
Li H je podskupina G, pak N_G(H) obsahuje H.
Li H je podskupina G, pak největší podskupina z G ve kterém H je normální je podskupina N_G(H).
Li S je podmnožinou G tak, že všechny prvky S dojíždět mezi sebou, pak největší podskupina z G jehož střed obsahuje S je podskupina C_G(S).
Podskupina H skupiny G se nazývá a samo-normalizační podskupina z G -li N_G(H) = H.
Centrum města G je přesně C_G(G) a G je abelianská skupina kdyby a jen kdyby C_G(G) = Z (G) = G.
U singletových sad C_G(A) = N_G(A).
Symetrií, pokud S a T jsou dvě podmnožiny G, T ⊆ C_G(S) právě tehdy S ⊆ C_G(T).
Pro podskupinu H skupiny G, N / C věta uvádí, že skupina faktorů N_G(H)/C_G(H) je izomorfní do podskupiny Aut (H), skupina automorfismy z H. Od té doby N_G(G) = G a C_G(G) = Z (G), N / C teorém také naznačuje, že G/ Z (G) je izomorfní s Inn (G), podskupina Aut (G) skládající se ze všech vnitřní automorfismy z G.
Pokud definujeme a skupinový homomorfismus T : G → Inn (G) od T(X)(G) = T_X(G) = xgx⁻¹, pak můžeme popsat N_G(S) a C_G(S) ve smyslu skupinová akce Inn (G) zapnuto G: stabilizátor S v hostinci (G) je T(N_G(S)) a podskupina Inn (G) upevnění S bodově je T(C_G(S)).
Podskupina H skupiny G se říká, že je C-zavřeno nebo samozvaný -li H = C_G(S) pro nějakou podmnožinu S ⊆ G. Pokud ano, pak ve skutečnosti H = C_G(C_G(H)).

Prsteny a algebry nad polem

Zdroj:^[4]

Centralizátory v prstencích a v algebrách nad polem jsou podřetězce a subalgebry nad polem; centralizátory v Lieových prstencích a Lieových algebrách jsou Lie podřetězce a Lie podalgebry.
Normalizátor S v Lieově prstenci obsahuje centralizátor S.
C_R(C_R(S)) obsahuje S ale není nutně stejný. The věta o dvojitém centralizátoru řeší situace, kdy dochází k rovnosti.
Li S je aditivní podskupina Lieova kruhu A, pak N_A(S) je největší podřízený lež A ve kterém S je Lieův ideál.
Li S je Lie podřetězce Lieova kruhu A, pak S ⊆ N_A(S).

Viz také

Poznámky

^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve formě Weyr. Oxford University Press. str. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. Evropská matematická společnost. str. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^ Jacobson (2009), s. 41
^ ^A ^b ^C Jacobson 1979, str.28.
^ Jacobson 1979, str.57.
^ Isaacs 2009, Kapitoly 1-3.

Reference

Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: postgraduální kurz, Postgraduální studium matematiky, 100 (dotisk původního vydání z roku 1994), Providence, RI: Americká matematická společnost, doi:10,1090 / g / 100, ISBN 978-0-8218-4799-2, PAN 2472787
Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra, 1 (2. vyd.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebry (opětovné vydání původního vydání z roku 1962), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, PAN 0559927

[O'MearaClark2011-1] Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve formě Weyr. Oxford University Press. str. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.

[HofmannMorris2007-2] Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. Evropská matematická společnost. str. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.

[3] Jacobson (2009), s. 41

[FOOTNOTEJacobson1979p.28-4] A ^b ^C Jacobson 1979, str.28.

[FOOTNOTEJacobson1979p.57-5] Jacobson 1979, str.57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Isaacs 2009, Kapitoly 1-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]