Algebraický prvek - Algebraic element

v matematika, pokud L je rozšíření pole z K., pak prvek A z L se nazývá algebraický prvek přes K., nebo prostě algebraické přes K., pokud existuje nenulová polynomiální G(X) s koeficienty v K. takhle G(A) = 0. Prvky L které nejsou algebraické K. jsou nazývány transcendentální přes K..

Tyto pojmy zobecňují algebraická čísla a transcendentální čísla (kde je rozšíření pole C/Q, C být oborem komplexní čísla a Q být oborem racionální čísla ).

Příklady

  • The druhá odmocnina ze 2 je algebraické Q, protože to je kořen polynomu G(X) = X2 − 2 jejichž koeficienty jsou racionální.
  • Pi je transcendentální Q ale algebraické nad polem reálná čísla R: je kořenem G(X) = X - π, jejíž koeficienty (1 a -π) jsou oba skutečné, ale nejsou žádného polynomu s pouze racionálními koeficienty. (Definice pojmu transcendentní číslo používá C/Q, ne C/R.)

Vlastnosti

Následující podmínky jsou ekvivalentní pro prvek A z L:

  • A je algebraické K.,
  • rozšíření pole K.(A)/K. má konečný stupeň, tj dimenze z K.(A) jako K.-vektorový prostor je konečný (zde K.(A) označuje nejmenší podpole z L obsahující K. a A),
  • K.[A] = K.(A), kde K.[A] je množina všech prvků L které lze zapsat do formuláře G(A) s polynomem G jehož koeficienty leží v K..

Tato charakterizace může být použita k ukázání, že součet, rozdíl, součin a kvocient algebraických prvků přes K. jsou opět algebraické K.. Sada všech prvků L které jsou algebraické K. je pole, které leží mezi nimi L a K..

Li A je algebraické K., pak existuje mnoho nenulových polynomů G(X) s koeficienty v K. takhle G(A) = 0. Existuje však jediný s nejmenším stupněm a vedoucím koeficientem 1. Toto je minimální polynom z A a kóduje mnoho důležitých vlastností A.

Pole, která nad sebou nepřipouštějí žádné algebraické prvky (kromě vlastních prvků), jsou volána algebraicky uzavřeno. Příkladem je pole komplexních čísel.

Viz také

Reference

  • Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556, Zbl  0984.00001