Kvazi-Frobeniový prsten - Quasi-Frobenius ring - Wikipedia

Zejména v matematice teorie prstenů, třída Frobeniovy prsteny a jejich zobecnění jsou rozšířením práce, na které se pracuje Frobenius algebry. Snad nejdůležitější zobecnění je to kvazi-Frobeniovy prsteny (QF kroužky), které jsou zase zobecněny doprava pseudo-Frobeniovy prsteny (PF kroužky) a vpravo konečně pseudo-Frobeniovy prsteny (Kroužky FPF). Mezi další různá zobecnění kvazi-Frobeniova prstenů patří QF-1, QF-2 a QF-3 prsteny.

Tyto typy prstenů lze považovat za potomky zkoumaných algeber Georg Frobenius. Částečný seznam průkopníků v kvazi-Frobeniově prstenci zahrnuje R. Brauer, K. Morita, T. Nakayama, C. J. Nesbitt, a R. M. Thrall.

Definice

Prsten R je kvazi-Frobenius kdyby a jen kdyby R splňuje kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:

1. R je Noetherian na jedné straně a sebevražedný na jedné straně.
2. R je Artinian na straně a samoinjektivní na straně.
3. Dobře (nebo úplně vlevo) R moduly, které jsou projektivní jsou také injekční.
4. Dobře (nebo úplně vlevo) R moduly, které jsou injective jsou také projektivní.

A Frobeniový prsten R je splňující některou z následujících ekvivalentních podmínek. Nechat J= J (R) být Jacobson radikální z R.

1. R je kvazi-Frobenius a sokl ${ displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) cong R / J}$ jak správně R moduly.
2. R je kvazi-Frobenius a ${ displaystyle mathrm {soc} (_ ​​{R} R) cong R / J}$ jak vlevo R moduly.
3. Jak správně R moduly ${ displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) cong R / J}$a vlevo R moduly ${ displaystyle mathrm {soc} (_ ​​{R} R) cong R / J}$.

Pro komutativní prsten R, ekvivalentní jsou následující:

1. R je Frobenius
2. R je kvazi-Frobenius
3. R je konečný přímý součet místní artinianské prsteny, které mají jedinečné minimální ideály. (Takové prstence jsou příklady „nulové dimenze Gorensteinské místní prsteny ".)

Prsten R je správně pseudo-Frobenius pokud je splněna některá z následujících rovnocenných podmínek:

1. Každý věřící že jo R modul je a generátor pro kategorii právo R moduly.
2. R má právo na sebevraždu a je kogenerátor z Mod-R.
3. R má právo na sebevraždu a je konečně kogenerovaný jako právo R modul.
4. R je správné sebevražedné a právo Kaschův prsten.
5. R má právo na sebevraždu, semilocal a socle soc (R_R) je základní submodul z R.
6. R je kogenerátor Mod-R a je to levý Kaschův prsten.

Prsten R je správně konečně pseudo-Frobenius jen a jen pokud každý definitivně generováno věrné právo R modul je generátor Mod-R.

Thrallovo zobecnění QF-1,2,3

V klíčovém článku (Thrall 1948 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFThrall1948 (Pomoc)R. M. Thrall se zaměřil na tři specifické vlastnosti (konečně-rozměrných) QF algeber a studoval je izolovaně. S dalšími předpoklady lze tyto definice také použít ke zobecnění kruhů QF. Zahrnuto několik dalších matematiků propagujících tyto zobecnění K. Morita a H. Tachikawa.

Následující (Anderson & Fuller 1992 ), nechť R být levým nebo pravým Artinianským prstenem:

• R je QF-1, pokud jsou všechny věrné levé moduly a věrné pravé moduly vyvážené moduly.
• R je QF-2, pokud má každý nerozložený projektivní pravý modul a každý nerozložitelný projektivní levý modul jedinečný minimální submodul. (Tj. Mají jednoduché sokly.)
• R je QF-3, pokud injekční trupy E(R_R) a E (_RR) jsou oba projektivní moduly.

Schéma číslování nemusí nutně nastínit hierarchii. Za laxnějších podmínek se tyto tři třídy prstenů nemusí navzájem obsahovat. Za předpokladu, že R je levý nebo pravý Artinian, ale kruhy QF-2 jsou QF-3. Existuje dokonce příklad kruhu QF-1 a QF-3, který není QF-2.

Příklady

• Každý Frobenius k algebra je Frobeniový prsten.
• Každý polojednoduchý prsten je kvazi-Frobenius, protože všechny moduly jsou projektivní a injektivní. Platí však ještě více: poloprostorové prsteny jsou všechny Frobenius. To lze snadno ověřit podle definice, protože u polojednoduchých kroužků ${ displaystyle mathrm {soc} (R_ {R}) = mathrm {soc} (_ ​​{R} R) = R}$ a J = rad (R) = 0.
• The kvocientový kroužek ${ displaystyle { frac { mathbb {Z}} {n mathbb {Z}}}}$ je QF pro jakékoli kladné celé číslo n>1.
• Komutativní Artinian sériové kroužky jsou všichni Frobenius a ve skutečnosti mají další vlastnost, že každý kvocient zazvoní R/Já je také Frobenius. Ukazuje se, že mezi komutativními artiniánskými prsteny jsou sériové prsteny přesně prsteny, jejichž (nenulové) podíly jsou všechny Frobenius.
• Mnoho exotických PF a FPF prstenů lze nalézt jako příklady v (Faith 1984 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFFaith1984 (Pomoc)

Viz také

• Kvazi-Frobeniova Lieova algebra

Poznámky

Definice QF, PF a FPF lze snadno považovat za kategorické vlastnosti, a proto je zachovává Morita ekvivalence, nicméně být Frobenius prsten není zachována.

U jednostranných noetherských prstenů se podmínky levého nebo pravého PF shodují s QF, ale FPF prstence jsou stále odlišné.

Konečně-dimenzionální algebra R přes pole k je Frobenius k-algebra právě tehdy R je prsten Frobenius.

Kruhy QF mají vlastnost, že všechny jejich moduly lze vložit do a volný, uvolnit R modul. To lze vidět následujícím způsobem. Modul M vloží do svého injekční trup E(M), který je nyní také projektivní. Jako projektivní modul E(M) je součet volného modulu Fa tak E(M) vloží F s mapou zařazení. Vytvořením těchto dvou map M je vložen do F.

Učebnice

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Kroužky a kategorie modulů, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97845-1
• Faith, Carl; Page, Stanley (1984), Teorie prstenů FPF: Věrné moduly a generátory Mod- $ R $, London Mathematical Society Lecture Note Series No. 88, Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511721250, ISBN  0-521-27738-8, PAN  0754181
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, PAN  1653294
• Nicholson, W. K .; Yousif, M. F. (2003), Kvazi-Frobeniovy prsteny, Cambridge University Press, ISBN  0-521-81593-2

Reference

Pro kroužky QF-1, QF-2, QF-3:

• Morita, Kiiti (1958), „O algebrách, pro které je každé věrné zastoupení vlastním druhým komutátorem“, Matematika. Z., 69: 429–434, doi:10.1007 / bf01187420, ISSN  0025-5874
• Ringel, Claus Michael; Tachikawa, Hiroyuki (1974), "$ { rm QF} -3 $ kroužky", J. Reine Angew. Matematika., 272: 49–72, ISSN  0075-4102
• Thrall, R. M. (1948), „Určitá generalizace kvazi-Frobeniových algeber“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 64: 173–183, doi:10.1090 / s0002-9947-1948-0026048-0, ISSN  0002-9947