Homomorfismus algebry - Algebra homomorphism

v matematika, an homomorfismus algebry je homomorfismus mezi dvěma asociativní algebry. Přesněji řečeno, pokud $A$ a $B$ jsou algebry přes pole (nebo komutativní prsten ) $K.$ , to je funkce ${ displaystyle F dvojtečka A až B}$ takové, že pro všechny $k$ v $K.$ a $X, y$ v $A$ ,^[1]^[2]

${ displaystyle F (kx) = kF (x)}$
${ displaystyle F (x + y) = F (x) + F (y)}$
${ displaystyle F (xy) = F (x) F (y)}$

První dvě podmínky to říkají $F$ je K.-lineární mapa (nebo K.- homomorfismus modulů -li K. je komutativní kruh) a poslední podmínka to říká $F$ je (nejednotný) kruhový homomorfismus.

Li $F$ připouští inverzní homomorfismus, nebo ekvivalentní, pokud je bijektivní, $F$ se říká, že je izomorfismus mezi $A$ a $B$ .

Homomorfismy jednotné algebry

Li A a B jsou dvě unitalské algebry, pak algebraický homomorfismus ${ displaystyle F: A rightarrow B}$ se říká, že je unital pokud mapuje jednotu A k jednotě B. Slova „homomorfismus algebry“ se ve skutečnosti často používají k označení „homomorfismus jednotné algebry“, v takovém případě jsou vyloučeny jiné než jednotné homomorfismy algebry.

Homomorfismus jednotné algebry je (jednotný) kruhový homomorfismus.

Příklady

Každý prsten je a ${ displaystyle mathbb {Z}}$ -algebra, protože vždy existuje jedinečný homomorfismus ${ displaystyle mathbb {Z} do R}$ . Vidět Asociativní algebra # Příklady pro vysvětlení.
Jakýkoli homomorfismus komutativních kruhů ${ displaystyle R to S}$ dává ${ displaystyle S}$ struktura a komutativní $R$ -algebra. Naopak, pokud $S$ je komutativní $R$ -algebra, mapa ${ displaystyle r mapsto r cdot 1_ {S}}$ je homomorfismus komutativních prstenů. Je jednoduché odvodit, že podkategorie komutativních prstenů $R$ je stejná jako kategorie komutativních ${ displaystyle R}$ -algebry.
Li A je subalgebra z B, pak pro každého invertibilní b v B funkce, která bere každou A v A na b⁻¹ A b je homomorfismus algebry (v případě ${ displaystyle A = B}$ , tomuto se říká vnitřní automorfismus B). Li A je také jednoduchý a B je centrální jednoduchá algebra, pak každý homomorfismus z A na B je dán tímto způsobem některými b v B; to je Věta Skolem – Noether.

Viz také

Reference

^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1] Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]