Semi-lokální prsten - Semi-local ring

v matematika, a semi-místní prsten je prsten pro který R/ J (R) je polojednoduchý prsten, kde J (R) je Jacobson radikální z R. (Lam a 2001, § 20 )(Mikhalev a 2002, C.7 )

Výše uvedená definice je splněna, pokud R má konečný počet maximálních ideálů vpravo (a konečný počet maximálních ideálů vlevo). Když R je komutativní prsten, obrácená implikace je také pravdivá, a proto se definice pololokální pro komutativní prstence často považuje za „mít konečně mnoho maximální ideály ".

Některá literatura označuje komutativní pololokální kruh obecně jako akvazi-semi-lokální prsten, používající semi-lokální kruh k označení a Noetherian ring s konečně mnoha maximálními ideály.

Semi-lokální prsten je tedy obecnější než a místní prsten, který má pouze jeden maximální (pravý / levý / oboustranný) ideál.

Příklady

Jakákoli pravá nebo levá Artinian prsten, jakýkoli sériové vyzvánění a jakékoli semiperfektní prsten je částečně místní.
Kvocient ${ displaystyle mathbb {Z} / m mathbb {Z}}$ je pololokální kruh. Zejména pokud ${ displaystyle m}$ je tedy hlavní síla ${ displaystyle mathbb {Z} / m mathbb {Z}}$ je místní kruh.
Konečný přímý součet polí ${ displaystyle bigoplus _ {i = 1} ^ {n} {F_ {i}}}$ je pololokální kruh.
V případě komutativních prstenů s jednotou je tento příklad prototypem v následujícím smyslu: the Čínská věta o zbytku ukazuje, že pro pololokální komutativní kruh R s jednotkovými a maximálními ideály m₁, ..., m_n

{ displaystyle R / bigcap _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} cong bigoplus _ {i = 1} ^ {n} R / m_ {i} ,}

.

(Mapa je přirozenou projekcí). Pravá strana je přímým součtem polí. Zde si všimneme, že ∩_i m_i= J (R), a to vidíme R/ J (R) je skutečně polojediný prsten.

The klasický okruh kvocientů pro každý komutativní noetherovský prsten je semilokální prsten.
The endomorfismus prsten z Artinian modul je semilocal prsten.
Pololokální kroužky se vyskytují například v algebraická geometrie když (komutativní) zazvoní R je lokalizovaný s ohledem na multiplikativně uzavřenou podmnožinu S = ∩ (R str_i), Kde str_i je jich konečně mnoho hlavní ideály.

Učebnice

Lam, T. Y. (2001), „7“, První kurz v nekomutativních kruzích, Postgraduální texty z matematiky, 131 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, str. Xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, PAN 1838439
Mikhalev, Alexander V .; Pilz, Günter F., eds. (2002), Stručná příručka algebry, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, str. Xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4, PAN 1966155

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.