Algebraicky uzavřené pole - Algebraically closed field

v matematika, a pole F je algebraicky uzavřeno pokud každý nekonstantní polynom v F[X] (jednorozměrný polynomiální kruh s koeficienty v F) má vykořenit v F.

Příklady

Jako příklad lze uvést pole reálná čísla není algebraicky uzavřeno, protože polynomiální rovnice X² + 1 = 0 nemá řešení v reálných číslech, přestože všechny jeho koeficienty (1 a 0) jsou skutečné. Stejný argument dokazuje, že žádné podpole skutečného pole není algebraicky uzavřeno; zejména oblast racionální čísla není algebraicky uzavřeno. Také ne konečné pole F je algebraicky uzavřeno, protože pokud A₁, A₂, ..., A_n jsou prvky F, pak polynom (X − A₁)(X − A₂) ··· (X − A_n) + 1 nemá žádnou nulu F. Naproti tomu základní věta o algebře uvádí, že obor komplexní čísla je algebraicky uzavřeno. Dalším příkladem algebraicky uzavřeného pole je pole (komplexního) algebraická čísla.

Ekvivalentní vlastnosti

Vzhledem k tomu, pole F„tvrzení“F je algebraicky uzavřeno "je ekvivalentní s jinými tvrzeními:

Jediné neredukovatelné polynomy jsou polynomy prvního stupně

Pole F je algebraicky uzavřen právě tehdy, když je jediný neredukovatelné polynomy v polynomiální kruh F[X] jsou ti z prvního stupně.

Tvrzení „polynomy prvního stupně jsou neredukovatelné“ platí triviálně pro jakékoli pole. Li F je algebraicky uzavřeno a p(X) je neredukovatelný polynom z F[X], pak má nějaký kořen A a proto p(X) je násobkem X − A. Od té doby p(X) je neredukovatelný, to znamená, že p(X) = k(X − A), pro některé k ∈ F {0}. Na druhou stranu, pokud F není algebraicky uzavřeno, pak existuje nějaký nekonstantní polynom p(X) v F[X] bez kořenů v F. Nechat q(X) být nějaký neredukovatelný faktor p(X). Od té doby p(X) nemá žádné kořeny F, q(X) také nemá žádné kořeny F. Proto, q(X) má stupeň větší než jeden, protože každý polynom prvního stupně má jeden kořen F.

Každý polynom je produktem polynomů prvního stupně

Pole F je algebraicky uzavřeno právě tehdy, když každý polynom p(X) stupně n ≥ 1, s koeficienty v F, rozděluje se na lineární faktory. Jinými slovy, existují prvky k, X₁, X₂, ..., X_n pole F takhle p(X) = k(X − X₁)(X − X₂) ··· (X − X_n).

Li F má tuto vlastnost, pak jasně každý nekonstantní polynom v F[X] má nějaký kořen v F; jinými slovy, F je algebraicky uzavřeno. Na druhou stranu platí, že zde uvedená vlastnost platí pro F -li F je algebraicky uzavřeno vyplývá z předchozí vlastnosti spolu se skutečností, že pro jakékoli pole K., jakýkoli polynom v K.[X] lze psát jako produkt neredukovatelných polynomů.

Polynomy prvního stupně mají kořeny

Pokud každý polynom skončí F základního stupně má kořen v F, pak má každý nekonstantní polynom kořen F.^[1] Z toho vyplývá, že pole je algebraicky uzavřeno právě tehdy, když končí každý polynom F základního stupně má kořen v F.

Pole nemá žádné správné algebraické rozšíření

Pole F je algebraicky uzavřeno, právě když nemá žádné řádné algebraické rozšíření.

Li F nemá žádné správné algebraické rozšíření, ať p(X) být nějaký neredukovatelný polynom v F[X]. Pak kvocient z F[X] modulo ideál generováno uživatelem p(X) je algebraické rozšíření F jehož stupeň se rovná stupni p(X). Protože se nejedná o správné rozšíření, jeho stupeň je 1, a tedy stupeň p(X) je 1.

Na druhou stranu, pokud F má nějaké správné algebraické rozšíření K., pak minimální polynom prvku v K.  F je neredukovatelný a jeho stupeň je větší než 1.

Pole nemá žádné správné konečné rozšíření

Pole F je algebraicky uzavřeno, právě když nemá žádné řádné konečné prodloužení protože pokud v rámci předchozí důkaz, výraz „algebraická přípona“ je nahrazen výrazem „konečná přípona“, pak důkaz stále platí. (Upozorňujeme, že konečná rozšíření jsou nutně algebraická.)

Každý endomorfismus Fⁿ má nějaký vlastní vektor

Pole F je algebraicky uzavřeno právě tehdy, když pro každé přirozené číslo n, každý lineární mapa z Fⁿ do sebe nějaké má vlastní vektor.

An endomorfismus z Fⁿ má vlastní vektor, právě když je jeho charakteristický polynom má nějaký kořen. Proto kdy F je algebraicky uzavřeno, každý endomorfismus Fⁿ má nějaký vlastní vektor. Na druhou stranu, pokud každý endomorfismus z Fⁿ má vlastní vektor, nechť p(X) být prvkem F[X]. Dělením jeho předním koeficientem získáme další polynom q(X) který má kořeny právě tehdy p(X) má kořeny. Ale pokud q(X) = Xⁿ + A_n − 1X^n − 1+ ··· + A₀, pak q(X) je charakteristický polynom z n × n doprovodná matice

${displaystyle {egin {pmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 & -a_ {0} 1 & 0 & cdots & 0 & -a_ {1} 0 & 1 & cdots & 0 & -a_ {2} vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 & -a_ {n-1} end }.}$

Rozklad racionálních výrazů

Pole F je algebraicky uzavřen právě tehdy, když každý racionální funkce v jedné proměnné X, s koeficienty v F, lze zapsat jako součet polynomiální funkce s racionálními funkcemi tvaru A/(X − b)ⁿ, kde n je přirozené číslo a A a b jsou prvky F.

Li F je potom algebraicky uzavřeno, protože neredukovatelné polynomy v F[X] jsou všechny stupně 1, výše uvedenou vlastnost drží věta o rozkladu parciálních zlomků.

Na druhou stranu předpokládejme, že pro pole platí výše uvedená vlastnost F. Nechat p(X) být neredukovatelným prvkem v F[X]. Pak racionální funkce 1 /p lze zapsat jako součet polynomiální funkce q s racionálními funkcemi formuláře A/(X − b)ⁿ. Proto racionální výraz

${displaystyle {frac {1} {p (x)}} - q (x) = {frac {1-p (x) q (x)} {p (x)}}}$

lze zapsat jako kvocient dvou polynomů, ve kterých je jmenovatel součinem polynomů prvního stupně. Od té doby p(X) je neredukovatelný, musí tento produkt rozdělit, a proto musí být také polynomem prvního stupně.

Relativně primární polynomy a kořeny

Pro jakékoli pole F, pokud dva polynomy p(X),q(X) ∈ F[X] jsou relativně prime pak nemají společný kořen, protože pokud A ∈ F byl tedy obyčejný kořenp(X) aq(X) by byly oba násobky X − A a proto by nebyli relativně nejlepší. Pole, pro která platí reverzní implikace (tj. Pole taková, že kdykoli dva polynomy nemají společný kořen, jsou relativní), jsou přesně algebraicky uzavřená pole.

Pokud pole F je algebraicky uzavřeno, nechť p(X) a q(X) jsou dva polynomy, které nejsou relativně prime a nechají se r(X) být jejich největší společný dělitel. Pak od té doby r(X) není konstantní, bude mít nějaký kořen A, který bude potom společným kořenem p(X) a q(X).

Li F není algebraicky uzavřeno, nechť p(X) být polynom, jehož stupeň je alespoň 1 bez kořenů. Pak p(X) a p(X) nejsou relativně prvotřídní, ale nemají společné kořeny (protože žádný z nich nemá kořeny).

Další vlastnosti

Li F je algebraicky uzavřené pole a n je tedy přirozené číslo F obsahuje vše nth kořeny jednoty, protože to jsou (podle definice) n (ne nutně odlišné) nuly polynomu Xⁿ - 1. Rozšíření pole, které je obsažené v rozšíření generovaném kořeny jednoty, je a cyklometické prodloužení, a rozšíření pole generovaného všemi kořeny jednoty se někdy nazývá jeho cyklotomický uzávěr. Algebraicky uzavřená pole jsou tedy cyklotomicky uzavřena. Opak není pravdivý. Dokonce za předpokladu, že každý polynom formy Xⁿ − A rozdělení na lineární faktory nestačí k zajištění, že pole je algebraicky uzavřeno.

Pokud je návrh, který lze vyjádřit v jazyce logika prvního řádu platí pro algebraicky uzavřené pole, pak platí pro každé algebraicky uzavřené pole se stejným charakteristický. Kromě toho, pokud je takový návrh platný pro algebraicky uzavřené pole s charakteristikou 0, pak platí nejen pro všechna ostatní algebraicky uzavřená pole s charakteristikou 0, ale existuje nějaké přirozené číslo N tak, aby věta platila pro každé algebraicky uzavřené pole s charakteristikoup když p > N.^[2]

Každé pole F má nějaké rozšíření, které je algebraicky uzavřeno. Takové rozšíření se nazývá algebraicky uzavřené prodloužení. Mezi všemi takovými rozšířeními je jeden a pouze jeden (až do izomorfismu, ale ne jedinečný izomorfismus ), což je algebraické rozšíření z F;^[3] nazývá se to algebraické uzavření z F.

Teorie algebraicky uzavřených polí má eliminace kvantifikátoru.

Poznámky

Reference

• Barwise, Jon (1978), „An Introduction to First-Order Logic“, v Barwise, Jon (ed.), Příručka matematické logiky„Studium logiky a základů matematiky, Severní Holandsko, ISBN  0-7204-2285-X
• Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, PAN  1878556
• Shipman, Joseph (2007), „Zlepšení základní věty o algebře“, Matematický zpravodaj, 29 (4), s. 9–14, doi:10.1007 / BF02986170, ISSN  0343-6993
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, Já (7. vydání), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7