Kvadratický vzorec - Quadratic formula

v elementární algebra, kvadratický vzorec je vzorec poskytující řešení k a kvadratická rovnice. Místo použití kvadratického vzorce existují jiné způsoby řešení kvadratické rovnice, například factoring (přímý factoring, seskupení, AC metoda ), dokončení náměstí, vytváření grafů a další.[1]
Vzhledem k obecné kvadratické rovnici tvaru
s X představující neznámé, A, b a C zastupující konstanty s A ≠ 0, kvadratický vzorec je:
Kde symbol plus-minus „±“ označuje, že kvadratická rovnice má dvě řešení.[2] Psané samostatně se stávají:
Každé z těchto dvou řešení se také nazývá a root (nebo nula) kvadratické rovnice. Geometricky tyto kořeny představují X-hodnoty, na kterých žádný parabola, výslovně uveden jako y = sekera2 + bx + C, prochází přes X-osa.[3]
Kromě vzorce, který poskytuje nuly jakékoli paraboly, lze kvadratický vzorec také použít k identifikaci osy symetrie paraboly,[4] a počet nemovitý nula kvadratická rovnice obsahuje.[5]
Ekvivalentní formulace
Kvadratický vzorec lze také napsat jako:
které lze zjednodušit na:
Tato verze vzorce je vhodná, pokud se jedná o složité kořeny, v takovém případě bude výraz mimo druhou odmocninu skutečnou částí - a výraz druhé odmocniny imaginární částí. Výraz uvnitř druhé odmocniny je diskriminační.
Mullerova metoda
Méně známý kvadratický vzorec, který se používá v Mullerova metoda a které lze najít z Vietiny vzorce, poskytuje stejné kořeny pomocí rovnice:
Formulace založené na alternativních parametrizacích
Standardní parametrizace kvadratické rovnice je
Některé zdroje, zejména ty starší, používají alternativní parametrizace kvadratické rovnice jako např
- , kde ,[6]
nebo
- , kde .[7]
Výsledkem těchto alternativních parametrizací jsou mírně odlišné formy řešení, které jsou ale jinak ekvivalentní standardní parametrizaci.
Odvození vzorce
V literatuře je k dispozici mnoho různých metod pro odvození kvadratického vzorce. Standardní je jednoduchá aplikace dokončení náměstí technika.[8][9][10][11] Alternativní metody jsou někdy jednodušší než dokončení čtverce a mohou nabídnout zajímavý pohled do dalších oblastí matematiky.
Použitím techniky „dokončení čtverce“
Standardní metoda
Vydělte kvadratickou rovnici , což je povoleno, protože je nenulová:
Odčítat C/A z obou stran rovnice, čímž se získá:
Kvadratická rovnice je nyní ve formě, ke které se používá metoda dokončení náměstí je použitelné. Ve skutečnosti přidáním konstanty na obě strany rovnice tak, aby se z levé strany stal úplný čtverec, se kvadratická rovnice stává:
který vyrábí:
V souladu s tím získáme po přeuspořádání výrazů na pravé straně společného jmenovatele:
Náměstí bylo tedy dokončeno. Užívání odmocnina obou stran dává následující rovnici:
V takovém případě izolace dá kvadratický vzorec:
Existuje mnoho alternativ tohoto odvození s menšími rozdíly, zejména pokud jde o manipulaci s .
Metoda 2
Učí většina textů algebry publikovaných v posledních několika desetiletích dokončení náměstí pomocí výše uvedené sekvence:
- Rozdělte každou stranu vytvořit polynom monic.
- Uspořádat.
- Přidat na obě strany k dokončení náměstí.
- Změňte uspořádání výrazů na pravé straně, abyste měli společného jmenovatele.
- Vezměte druhou odmocninu na obou stranách.
- Izolovat .
Dokončení čtverce lze také dosáhnout někdy kratší a jednodušší posloupností:[12]
- Vynásobte každou stranu ,
- Uspořádat.
- Přidat na obě strany k dokončení náměstí.
- Vezměte druhou odmocninu na obou stranách.
- Izolovat .
V takovém případě lze kvadratický vzorec odvodit také takto:
Tento původ kvadratického vzorce je starodávný a v Indii byl znám přinejmenším již v roce 1025.[13] Ve srovnání s derivací ve standardním použití se tato alternativní derivace vyhýbá zlomkům a hranatým zlomkům až do posledního kroku, a proto nevyžaduje přeskupení po kroku 3, aby získal společného jmenovatele na pravé straně.[12]
Metoda 3
Podobně jako u metody 1 rozdělte každou stranu o pro vytvoření polynomu na levé straně monic (tj. koeficient se stává 1).
Napište rovnici v kompaktnějším a snadněji zpracovatelném formátu:
kde a .
Doplňte čtverec přidáním k prvním dvěma členům a odečtením od třetího členu:
Uspořádejte levou stranu na a rozdíl dvou čtverců:
a zohledněte to:
z čehož vyplývá, že buď
nebo
Každá z těchto dvou rovnic je lineární a lze ji vyřešit získání:
nebo
Opětovným vyjádřením a zpět do a poté lze získat kvadratický vzorec.[Citace je zapotřebí ]
Střídáním
Další technikou je řešení pomocí substituce.[14] V této technice nahrazujeme do kvadratického získat:
Rozšíření výsledku a následné sbírání pravomocí vyrábí:
Ještě jsme neuložili druhou podmínku a , takže si nyní vybereme takže střednědobý termín zmizel. To znamená, nebo . Odečtením konstantního členu z obou stran rovnice (k přesunutí na pravou stranu) a následným dělením dává:
Střídání pro dává:
Proto,
Opětovným vyjádřením ve smyslu pomocí vzorce , pak lze získat obvyklý kvadratický vzorec:
Pomocí algebraických identit
Mnoho historických matematiků použilo následující metodu:[15]
Nechť jsou kořeny standardní kvadratické rovnice r1 a r2. Odvození začíná vyvoláním identity:
Vezmeme-li druhou odmocninu na obou stranách, dostaneme:
Protože koeficient A ≠ 0, můžeme standardní rovnici vydělit A získat kvadratický polynom se stejnými kořeny. A to,
Z toho vidíme, že součet kořenů standardní kvadratické rovnice je dán vztahem −b/Aa součin těchto kořenů je dán vztahem C/AIdentitu lze tedy přepsat jako:
Nyní,
Od té doby r2 = −r1 − b/A, pokud vezmeme
pak získáme
a pokud místo toho vezmeme
pak to spočítáme
Kombinací těchto výsledků pomocí standardní zkratky ± máme, že řešení kvadratické rovnice jsou dána vztahem:
Lagrangeovými řešeními
Alternativním způsobem odvození kvadratického vzorce je metoda Lagrangeovy resolventy,[16] který je ranou součástí Galoisova teorie.[17]Tuto metodu lze zobecnit a dát kořeny kubické polynomy a kvartické polynomy, a vede k Galoisově teorii, která umožňuje pochopit řešení algebraických rovnic jakéhokoli stupně z hlediska skupina symetrie jejich kořenů, Galoisova skupina.
Tento přístup se zaměřuje na kořeny více než na přeskupení původní rovnice. Vzhledem k monickému kvadratickému polynomu
předpokládejme, že to zohledňuje
Zvyšování výnosů
kde p = −(α + β) a q = αβ.
Protože na pořadí násobení nezáleží, lze přepínat α a β a hodnoty p a q se nezmění: dá se to říci p a q jsou symetrické polynomy v α a β. Ve skutečnosti jsou elementární symetrické polynomy - jakýkoli symetrický polynom v α a β lze vyjádřit pomocí α + β a αβ Přístup Galoisovy teorie k analýze a řešení polynomů zní: vzhledem k koeficientům polynomu, které jsou symetrickými funkcemi v kořenech, lze „rozbít symetrii“ a obnovit kořeny? Tak řešíme polynom stupně n souvisí se způsoby přeskupení ("permutující ") n termíny, které se nazývá symetrická skupina na n dopisy a označeny Sn. U kvadratického polynomu je jediným způsobem, jak změnit uspořádání dvou výrazů, zaměnit je ("přemístit "je), a tedy řešení kvadratického polynomu je jednoduché.
Najít kořeny α a β, zvažte jejich součet a rozdíl:
Tito se nazývají Lagrangeovy resolventy polynomu; všimněte si, že jeden z nich závisí na pořadí kořenů, což je klíčový bod. Kořeny z resolventů lze získat převrácením výše uvedených rovnic:
Řešení řešení pro resolventy tedy dává původní kořeny.
Nyní r1 = α + β je symetrická funkce v α a β, takže to lze vyjádřit pomocí p a qa ve skutečnosti r1 = −p jak je uvedeno výše. Ale r2 = α − β není symetrický, protože přepínání α a β výnosy −r2 = β − α (formálně se to nazývá a skupinová akce symetrické skupiny kořenů). Od té doby r2 není symetrický, nelze jej vyjádřit pomocí koeficientů p a q, protože jsou v kořenech symetrické, a tedy i jakýkoli polynomiální výraz, který je zahrnuje. Změna pořadí kořenů se pouze změní r2 faktorem -1, a tedy druhou mocninou r22 = (α − β)2 je symetrický v kořenech, a tedy vyjádřitelný z hlediska p a q. Pomocí rovnice
výnosy
a tudíž
Pokud někdo zaujme kladný kořen a prolomí symetrii, získá:
a tudíž
Tak jsou kořeny
což je kvadratický vzorec. Střídání p = b/A, q = C/A poskytuje obvyklou formu, když kvadratický není monický. Rozpoznávače lze rozpoznat jako r1/2 = −p/2 = −b/2A být vrchol a r22 = p2 − 4q je diskriminační (monického polynomu).
Podobná, ale komplikovanější metoda funguje kubické rovnice, kde jeden má tři rozlišení a kvadratickou rovnici (dále jen „rozlišovací polynom“) r2 a r3, které lze vyřešit kvadratickou rovnicí, a podobně pro a kvartická rovnice (stupeň 4), jehož rozlišovací polynom je kubický, což lze zase vyřešit.[16] Stejná metoda pro a kvintická rovnice získá polynom stupně 24, který problém nezjednodušuje a řešení quintických rovnic obecně nelze vyjádřit pouze pomocí kořenů.
Historický vývoj
Nejčasnější metody řešení kvadratických rovnic byly geometrické. Babylonské tablety klínového písma obsahují problémy redukovatelné na řešení kvadratických rovnic.[18] Egyptský Berlínský papyrus, sahající až do Střední říše (2050 př. N. L. Až 1650 př. N. L.), Obsahuje řešení dvoudobé kvadratické rovnice.[19]
Řecký matematik Euklid (cca 300 př. n. l.) použil geometrické metody k řešení kvadratických rovnic v knize 2 Elementy, vlivné matematické pojednání.[20] Pravidla pro kvadratické rovnice se objevují v čínštině Devět kapitol o matematickém umění asi 200 před naším letopočtem.[21][22] Ve své práci Aritmetika, řecký matematik Diophantus (kolem roku 250 nl) vyřešil kvadratické rovnice metodou, která je viditelnější algebraická než geometrická algebra Euklida.[20] Jeho řešení dává pouze jeden kořen, i když jsou oba kořeny pozitivní.[23]
Indický matematik Brahmagupta (597–668 n. L.) Ve svém pojednání výslovně popsal kvadratický vzorec Brāhmasphuṭasiddhānta publikováno v roce 628 nl[24] ale psaný slovy místo symbolů.[25] Jeho řešení kvadratické rovnice sekera2 + bx = C bylo následující: „K absolutnímu číslu vynásobenému čtyřnásobkem [koeficientu] čtverce přidejte druhou mocninu [koeficientu] středního členu; druhá odmocnina stejného, méně [koeficientu] středního členu , vydělením dvojnásobkem [koeficientu] čtverce je hodnota. "[26]To odpovídá:
Perský matematik z 9. století Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī vyřešil kvadratické rovnice algebraicky.[27] Kvadratický vzorec pokrývající všechny případy nejprve získal Simon Stevin v roce 1594.[28] V roce 1637 René Descartes zveřejněno La Géométrie obsahující speciální případy kvadratického vzorce ve formě, kterou známe dnes.[29]
Významné využití
Geometrický význam

- Kořeny a y- zachytit Červené
- Vrchol a osa symetrie v modrý
- Zaostření a directrix v růžový
Pokud jde o geometrii souřadnic, parabola je křivka, jejíž (X, y)- souřadnice jsou popsány polynomem druhého stupně, tj. libovolnou rovnicí tvaru:
kde p představuje polynom stupně 2 a A0, A1, a A2 ≠ 0 jsou konstantní koeficienty, jejichž indexy odpovídají stupni příslušného termínu. Geometrická interpretace kvadratického vzorce spočívá v tom, že definuje body na X-osa, kde bude parabola protínat osu. Pokud se navíc na kvadratický vzorec pohlíží jako na dva výrazy,
the osa symetrie se zobrazí jako řádek X = −b/2A. Druhý termín, √b2 − 4ac/2A, udává vzdálenost, v níž jsou nuly od osy symetrie, kde znaménko plus představuje vzdálenost vpravo a znaménko minus představuje vzdálenost vlevo.
Pokud by se tento člen vzdálenosti snížil na nulu, hodnota osy symetrie by byla X hodnota jediné nuly, to znamená, že existuje pouze jedno možné řešení kvadratické rovnice. Algebraicky to znamená, že √b2 − 4ac = 0nebo jednoduše b2 − 4ac = 0 (kde se levá strana označuje jako diskriminující). Toto je jeden ze tří případů, kdy diskriminátor označuje, kolik nul bude mít parabola. Pokud je diskriminátor pozitivní, vzdálenost by byla nenulová a budou existovat dvě řešení. Existuje však také případ, kdy je diskriminátor menší než nula, což naznačuje, že vzdálenost bude imaginární - nebo nějaký násobek komplexní jednotky i, kde i = √−1 - a paraboly budou nuly komplexní čísla. Složité kořeny budou komplexní konjugáty, kde skutečnou částí komplexních kořenů bude hodnota osy symetrie. Nebudou žádné skutečné hodnoty X kde parabola prochází přes X-osa.
Dimenzionální analýza
Pokud konstanty A, ba / nebo C nejsou bez jednotky, pak jednotky X musí se rovnat jednotkám b/A, z důvodu požadavku, že sekera2 a bx dohodnout se na svých jednotkách. Ze stejné logiky dále platí, že jednotky C musí se rovnat jednotkám b2/A, které lze ověřit bez řešení pro X. Může to být mocný nástroj pro ověření, že kvadratické vyjádření fyzikální veličiny byl správně nastaven, než to vyřeší.
Viz také
Reference
- ^ „Kvadratická faktorizace: kompletní průvodce“. Matematický trezor. 2016-03-13. Citováno 2019-11-10.
- ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I pro figuríny, Wiley Publishing, s. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
- ^ „Pochopení kvadratického vzorce“. Khan Academy. Citováno 2019-11-10.
- ^ „Osa symetrie paraboly. Jak najít osu z rovnice nebo z grafu. Najít osu symetrie ...“ www.mathwarehouse.com. Citováno 2019-11-10.
- ^ „Diskriminační kontrola“. Khan Academy. Citováno 2019-11-10.
- ^ Kahan, Willian (20. listopadu 2004), Na náklady výpočtu s plovoucí desetinnou čárkou bez mimořádně přesné aritmetiky (PDF), vyvoláno 2012-12-25
- ^ "Kvadratický vzorec", Důkaz Wiki, vyvoláno 2016-10-08
- ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaumův přehled teorie a problémů elementární algebry Společnosti McGraw-Hill, ISBN 0-07-141083-X, Kapitola 13 §4.4, str. 291
- ^ Li, Xuhui. Vyšetřování matematických znalostí učitelů algebry pro střední školy pro výuku řešení algebraických rovnic, str. 56 (ProQuest, 2007): „Kvadratický vzorec je nejobecnější metodou řešení kvadratických rovnic a je odvozen od jiné obecné metody: dokončení čtverce.“
- ^ Rockswold, Gary. Vysokoškolská algebra a trigonometrie a precalculus, str. 178 (Addison Wesley, 2002).
- ^ Beckenbach, Edwin a kol. Moderní vysokoškolská algebra a trigonometrie, str. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
- ^ A b Hoehn, Larry (1975). „Elegantnější metoda odvození kvadratického vzorce“. Učitel matematiky. 68 (5): 442–443.
- ^ Smith, David E. (1958). Dějiny matematiky, sv. II. Dover Publications. p. 446. ISBN 0486204308.
- ^ Joseph J. Rotman. (2010). Pokročilá moderní algebra (svazek 114). American Mathematical Soc. Oddíl 1.1
- ^ Debnath, Lokenath (2009). „Dědictví Leonharda Eulera - tricetiletá pocta“. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 40 (3): 353–388. doi:10.1080/00207390802642237. S2CID 123048345.
- ^ A b Clark, A. (1984). Prvky abstraktní algebry. Courier Corporation. p. 146.
- ^ Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997), Eliptické funkce a eliptické integrály Knihkupectví AMS, ISBN 978-0-8218-0587-9, §6.2, s. 134
- ^ Irving, Ron (2013). Za kvadratickým vzorcem. MAA. p. 34. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. s. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
- ^ A b Irving, Ron (2013). Za kvadratickým vzorcem. MAA. p. 39. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Aitken, Wayne. „Čínská klasika: Devět kapitol“ (PDF). Matematické oddělení, Kalifornská státní univerzita. Citováno 28. dubna 2013.
- ^ Smith, David Eugene (1958). Dějiny matematiky. Publikace Courier Dover. p.380. ISBN 978-0-486-20430-7.
- ^ Smith, David Eugene (1958). Dějiny matematiky. Publikace Courier Dover. p.134. ISBN 0-486-20429-4.
- ^ Bradley, Michael. Zrození matematiky: starověké časy do roku 1300, str. 86 (Infobase Publishing 2006).
- ^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, str. 61 (Princeton University Press, 2012).
- ^ Stillwell, John (2004). Matematika a její historie (2. vyd.). Springer. p. 87. ISBN 0-387-95336-1.
- ^ Irving, Ron (2013). Za kvadratickým vzorcem. MAA. p. 42. ISBN 978-0-88385-783-0.
- ^ Struik, D. J .; Stevin, Simon (1958), Hlavní díla Simona Stevina, matematika (PDF), II – B, C. V. Swets & Zeitlinger, s. 470
- ^ René Descartes. Geometrie.