Jednotné mutace symetrie obkladů - Uniform tiling symmetry mutations

Příklad *n32 mutací symetrie

Sférické obklady (n = 3..5)
*332	*432	*532
Obklady euklidovské roviny (n = 6)
*632
Hyperbolické naklonění roviny (n = 7...∞)
*732	*832	... *∞32

v geometrie, a mutace symetrie je mapování základní domény mezi dvěma skupinami symetrie.^[1] Jsou kompaktně vyjádřeny v orbifold notace. Tyto mutace mohou nastat od sférické obklady na Euklidovské obklady na hyperbolické obklady. Hyperbolické tilings lze také rozdělit mezi kompaktní, paracompact a divergentní případy.

The jednotné obklady jsou nejjednodušší aplikací těchto mutací, ačkoli v základní doméně lze vyjádřit složitější vzorce.

Tento článek vyjádřil progresivní sekvence rovnoměrného naklánění v rodinách symetrie.

Mutace orbifoldů

Orbifolds se stejnou strukturou lze mutovat mezi různými třídami symetrie, včetně napříč doménami zakřivení od sférických přes euklidovské až po hyperbolické. Tato tabulka ukazuje třídy mutací.^[1] Tato tabulka není úplná pro možné hyperbolické orbifolds.

*n22 symetrie

Pravidelné obklady

*n22 mutací symetrie hosohedrálních naklonění: nn

Prostor	Sférické											Euklidovský
Obklady
Konfigurace	2.2	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212	2∞

*n22 mutací symetrie vzepětí: nn

Prostor	Sférické					Euklidovský
Obklady
Konfigurace	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	...∞.∞

Obklady hranolu

*n22 mutací symetrie jednotné hranoly: n.4.4

Prostor	Sférické										Euklidovský
Obklady
Konfigurace	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...∞.4.4

Antiprism obklady

*n22 mutací symetrie antiprism tilings: Vn.3.3.3

Prostor	Sférické							Euklidovský
Obklady
Konfigurace	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	...∞.3.3.3

*n32 symetrie

Pravidelné obklady

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {3,n} [ proti t E ]
Sférické				Euklid.	Kompaktní hyper.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

*n32 mutací symetrie pravidelných naklonění: {n,3} [ proti t E ]
Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Zkrácené obklady

*n32 mutace symetrie zkrácených sklonů: t {n,3} [ proti t E ]
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Symbol	t {2,3}	t {3,3}	t {4,3}	t {5,3}	t {6,3}	t {7,3}	t {8,3}	t {∞, 3}	t {12i, 3}	t {9i, 3}	t {6i, 3}
Triakis čísla
Konfigurace	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

*n32 mutace symetrie zkrácených naklonění: n.6.6 [ proti t E ]
Sym. *n42 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní		Parac.	Nekompaktní hyperbolický
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis čísla
Konfigurace	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Quasiregular obklady

Quasiregular obklady: (3.n)2 [ proti t E ]
Sym. * n32 [n, 3]	Sférické			Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
	*332 [3,3] Td	*432 [4,3] Óh	*532 [5,3] Jáh	*632 [6,3] p6m	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Postava
Postava
Vrchol	(3.3)2	(3.4)2	(3.5)2	(3.6)2	(3.7)2	(3.8)2	(3.∞)2	(3.12i)2	(3,9i)2	(3.6i)2
Schläfli	r {3,3}	r {3,4}	r {3,5}	r {3,6}	r {3,7}	r {3,8}	r {3, ∞}	r {3,12i}	r {3,9i}	r {3,6i}
Coxeter
Dvojí uniformní postavy
Dvojí konf.	V (3,3)2	V (3,4)2	V (3,5)2	V (3.6)2	V (3,7)2	V (3,8)2	V (3.∞)2

Mutace symetrie duálních kvaziregulárních tilingu: V (3.n)2
* n32	Sférické			Euklidovský	Hyperbolický
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Obklady
Konf.	V (3,3)2	V (3,4)2	V (3,5)2	V (3.6)2	V (3,7)2	V (3,8)2	V (3.∞)2

Rozšířené obklady

*n42 mutace symetrie rozšířených obkladů: 3.4.n.4 [ proti t E ]
Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Postava
Konfigurace	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4	3.4.12i.4	3.4.9i.4	3.4.6i.4

*n42 mutace symetrie duálních rozšířených obkladů: V3.4.n.4

Symetrie *n32 [n, 3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava Konfigurace	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Omnitruncated tilings

*n32 mutací symetrie omnitruncated tilings: 4.6.2n [ proti t E ]
Sym. *n32 [n,3]	Sférické				Euklid.	Kompaktní hyperb.		Paraco.	Nekompaktní hyperbolický
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Čísla
Konfigurace	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duální
Konfigurace	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Tlumení sklonu

n32 mutací symetrie útlumů: 3.3.3.3.n
Symetrie n32	Sférické				Euklidovský	Kompaktní hyperbolický		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub čísla
Konfigurace	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

*n42 symetrie

Pravidelné obklady

*n42 mutace symetrie pravidelných naklonění: {4,n} [ proti t E ]
Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

*n42 mutace symetrie pravidelných naklonění: {n,4} [ proti t E ]
Sférické		Euklidovský	Hyperbolické obklady
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

Quasiregular obklady

*n42 mutací symetrie quasiregular tilings: (4.n)2 [ proti t E ]
Symetrie *4n2 [n, 4]	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact	Nekompaktní
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[ni, 4]
Čísla
Konfigurace	(4.3)2	(4.4)2	(4.5)2	(4.6)2	(4.7)2	(4.8)2	(4.∞)2	(4.ni)2

*n42 mutací symetrie kvaziregulárních duálních obkladů: V(4.n)2
Symetrie * 4n2 [n, 4]	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact	Nekompaktní
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ / λ, 4]
Obklady   Konf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

Zkrácené obklady

*n42 mutace symetrie komolých sklonů: 4.2n.2n [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Zkráceno čísla
Konfigurace	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis čísla
Konfigurace	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

*n42 mutace symetrie zkrácených sklonů: n.8.8 [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracompact
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Zkráceno čísla
Konfigurace	2.8.8	3.8.8	4.8.8	5.8.8	6.8.8	7.8.8	8.8.8	∞.8.8
n-kis čísla
Konfigurace	V2.8.8	V3.8.8	V4.8.8	V5.8.8	V6.8.8	V7.8.8	V8.8.8	V∞.8.8

Rozšířené obklady

*n42 mutace symetrie rozšířených obkladů: n.4.4.4 [ proti t E ]
Symetrie [n, 4], (*n42)	Sférické	Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Rozšířený čísla
Konfigurace	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Kosočtverečný čísla konfigurace	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Omnitruncated tilings

*n42 mutace symetrie omnitruncated tilings: 4.8.2n [ proti t E ]
Symetrie *n42 [n, 4]	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncated postava	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncated duální	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Tlumení sklonu

4n2 mutace symetrie útlumu: 3.3.4.3.n [ proti t E ]
Symetrie 4n2	Sférické		Euklidovský	Kompaktní hyperbolický				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Snub čísla
Konfigurace	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Gyro čísla
Konfigurace	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

*n52 symetrie

Pravidelné obklady

*n52 mutace symetrie zkrácených naklonění: 5ⁿ

Koule	Hyperbolické letadlo
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

*n62 symetrie

Pravidelné obklady

*n62 mutace symetrie pravidelných naklonění: {6,n} [ proti t E ]
Sférické	Euklidovský	Hyperbolické obklady
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

*n82 symetrie

Pravidelné obklady

n82 mutací symetrie pravidelných naklonění: 8ⁿ

[

• proti
• t
• E

]

Prostor	Sférické	Kompaktní hyperbolický						Paracompact
Obklady
Konfigurace	8.8	83	84	85	86	87	88	...8∞

Reference

Zdroje

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Symetrie věcí 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
• Od hyperbolického 2-prostoru k euklidovskému 3-prostoru: Obklady a vzory prostřednictvím topologie Stephen Hyde