Unitární dokonalé číslo - Unitary perfect number

A jednotné dokonalé číslo je celé číslo což je součet jeho kladného vlastního unitární dělitelé, bez samotného čísla. (A dělitel d čísla n je jednotný dělitel, pokud d a n/d nesdílejí žádné společné faktory.) Některé perfektní čísla nejsou jednotná dokonalá čísla a některá jednotná dokonalá čísla nejsou běžná dokonalá čísla.

Příklady

60 je jednotné dokonalé číslo, protože 1, 3, 4, 5, 12, 15 a 20 jsou jeho vlastní jednotné dělitele a 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Prvních pět a pouze známá, jednotná dokonalá čísla jsou:

6, 60, 90, 87360, 146361946186458562560000 (sekvence A002827 v OEIS )

Příslušné součty správných jednotných dělitelů:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (4095 dělitelů v součtu)

Vlastnosti

Neexistují žádná lichá jednotná dokonalá čísla. Toto následuje, protože jeden má 2^d*(n) dělení součtu jednotkových dělitelů lichého čísla (kde d*(n) je počet zřetelných dělitelů prvočísla n). Jeden to získá, protože součet všech unitárních dělitelů je a multiplikativní funkce a jeden má součet jednotkových dělitelů síly a primární str^A je str^A + 1, což je sudé pro všechna lichá prvočísla str. Proto liché jednotkové dokonalé číslo musí mít pouze jeden odlišný prvočíselný faktor a není těžké ukázat, že síla prvočísla nemůže být jednotné dokonalé číslo, protože není dostatek dělitelů.

Nevyřešený problém v matematice: Existuje nekonečně mnoho jednotných dokonalých čísel? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Není známo, zda existuje nekonečně mnoho jednotkových dokonalých čísel, nebo zda existují ještě další příklady nad rámec již známých pěti. Šestý takový počet by měl nejméně devět lichých hlavních faktorů.^[1]

Reference

• Richard K. Guy (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Springer-Verlag. str. 84–86. ISBN  0-387-20860-7. Oddíl B3.
• Paulo Ribenboim (2000). Moje čísla, moji přátelé: Populární přednášky o teorii čísel. Springer-Verlag. p. 352. ISBN  0-387-98911-0.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Příručka teorie čísel II. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.