Unitární dělitel - Unitary divisor - Wikipedia

v matematika, a přirozené číslo A je unitární dělitel (nebo Hall dělitel) čísla b -li A je dělitel z b a pokud A a ${ displaystyle { frac {b} {a}}}$ jsou coprime, který nemá žádný společný faktor kromě 1. Tedy, 5 je jednotkový dělitel 60, protože 5 a ${ displaystyle { frac {60} {5}} = 12}$ mají pouze 1 jako společný faktor, zatímco 6 je a dělitel ale ne jednotný dělitel 60, jako 6 a ${ displaystyle { frac {60} {6}} = 10}$ mít společný faktor jiný než 1, jmenovitě 2. 1 je jednotkový dělitel každého přirozeného čísla.

Ekvivalentně daný dělitel A z b je nečleněný dělitel tehdy a jen tehdy, když každý primární faktor A má to samé multiplicita v A jak to má v b.

Součet funkce unitárních dělitelů je označen malým řeckým písmenem sigma takto: σ * (n). Součet k-tá mocnina unitárních dělitelů je označena σ *_k(n):

${ displaystyle sigma _ {k} ^ {*} (n) = součet _ {d mid n na vrcholu gcd (d, n / d) = 1} ! ! d ^ {k}.}$

Pokud se k tomuto číslu přidají správné jednotné dělitele daného čísla, pak se toto číslo nazývá a jednotné dokonalé číslo.

Vlastnosti

Počet unitárních dělitelů čísla n je 2^k, kde k je počet odlišných hlavní faktory z n.

Je to proto, že každé celé číslo N> 1 je produktem kladných sil p^r_p různých prvočísel str. Každý jednotkový dělitel N je tedy produktem, nad danou podmnožinou S hlavních dělitelů {p} N, hlavních mocností p^r_p pro p ∈ S. Pokud existuje k prvočíselných dělitelů, pak jsou přesně 2^k podmnožiny S a následuje prohlášení.

Součet jednotkových dělitelů n je zvláštní, pokud n je síla 2 (včetně 1), a to i jinak.

Počet i součet nečleněných dělitelů n jsou multiplikativní funkce z n které nejsou zcela multiplikativní. The Funkce generování dirichletů je

${ displaystyle { frac { zeta (s) zeta (sk)} { zeta (2s-k)}} = sum _ {n geq 1} { frac { sigma _ {k} ^ { *} (n)} {n ^ {s}}}.}$

Každý dělitel n je jednotný právě tehdy n je bez čtverce.

Zvláštní jednotní dělitelé

Součet k-tá síla lichých nečleněných dělitelů je

${ displaystyle sigma _ {k} ^ {(o) *} (n) = součet _ {{d mid n na vrcholu d equiv 1 { pmod {2}}} na vrcholu gcd (d, n / d) = 1} ! ! d ^ {k}.}$

Je také multiplikativní s funkcí generování Dirichlet

${ displaystyle { frac { zeta (s) zeta (sk) (1-2 ^ {ks})} { zeta (2s-k) (1-2 ^ {k-2s})}} = součet _ {n geq 1} { frac { sigma _ {k} ^ {(o) *} (n)} {n ^ {s}}}.}$

Bi-unitární dělitelé

Dělitel d z n je dvoujednotkový dělitel pokud největší společný jednotný dělitel d a n/d je 1. Počet dvoujednotkových dělitelů n je multiplikativní funkcí n s průměrná objednávka ${ displaystyle A log x}$ kde^[1]

${ displaystyle A = prod _ {p} left ({1 - { frac {p-1} {p ^ {2} (p + 1)}}} right) .}$

A dvoujednotkové dokonalé číslo je jedna rovna součtu jejích dvoujednotkových alikvotních dělitelů. Jediná taková čísla jsou 6, 60 a 90.^[2]

OEIS sekvence

Reference

• Richard K. Guy (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel. Springer-Verlag. str. 84. ISBN  0-387-20860-7. Oddíl B3.
• Paulo Ribenboim (2000). Moje čísla, moji přátelé: Populární přednášky o teorii čísel. Springer-Verlag. str. 352. ISBN  0-387-98911-0.
• Cohen, Eckford (1959). „Třída reziduálních systémů (mod r) a související aritmetické funkce. I. Zobecnění Möbiově inverze“. Pacific J. Math. 9 (1): 13–23. doi:10.2140 / pjm.1959.9.13. PAN  0109806.
• Cohen, Eckford (1960). "Aritmetické funkce spojené s jednotnými děliteli celého čísla". Mathematische Zeitschrift. 74: 66–80. doi:10.1007 / BF01180473. PAN  0112861.
• Cohen, Eckford (1960). Msgstr "Počet jednotkových dělitelů celého čísla". Americký matematický měsíčník. 67 (9): 879–880. doi:10.2307/2309455. JSTOR  2309455. PAN  0122790.
• Cohen, Graeme L. (1990). „Na nekonečných dělitelích celých čísel“. Matematika. Comp. 54 (189): 395–411. Bibcode:1990MaCom..54..395C. doi:10.1090 / S0025-5718-1990-0993927-5. PAN  0993927.
• Cohen, Graeme L. (1993). "Aritmetické funkce spojené s nekonečnými děliteli celého čísla". Int. J. Math. Matematika. Sci. 16 (2): 373–383. doi:10.1155 / S0161171293000456.
• Finch, Steven (2004). „Unitarismus a infinitarismus“ (PDF).
• Ivić, Aleksandar (1985). Riemannova zeta funkce. Teorie Riemannovy zeta-funkce s aplikacemi. Publikace Wiley-Interscience. New York atd .: John Wiley & Sons. str. 395. ISBN  0-471-80634-X. Zbl  0556.10026.
• Mathar, R. J. (2011). "Průzkum Dirichletovy řady multiplikativních aritmetických funkcí". arXiv:1106.4038 [math.NT ]. Oddíl 4.2
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, vyd. (2006). Příručka teorie čísel I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.
• Toth, L. (2009). „Na dvoujednotkových analogech Eulerovy aritmetické funkce a funkce gcd-sum“. J. Int. Sekv. 12.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Unitary Divisor“. MathWorld.