Celé číslo bez čtverců - Square-free integer
v matematika, a celé číslo bez čtverců (nebo celé číslo bez čtverce) je celé číslo který je dělitelný podle č perfektní čtverec jiné než 1. To znamená, že Prvočíselný rozklad má přesně jeden faktor pro každý prime, který se v něm objeví. Například, 10 = 2 ⋅ 5 je bez čtverce, ale 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 není, protože 18 je dělitelné 9 = 32. Nejmenší kladná čísla bez čtverců jsou
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (sekvence A005117 v OEIS )
Faktorizace bez čtverců
Každé kladné celé číslo n lze zapracovat jedinečným způsobem jako
Kde odlišná od jednoho jsou celá čísla bez čtverců, která jsou dvojice coprime.
Tomu se říká faktorizace bez čtverců z n.
Nechat
být Prvočíselný rozklad z n, Kde pj jsou odlišné prvočísla. Pak jsou faktory faktorizace bez čtverců definovány jako
Celé číslo je bez čtverců právě tehdy pro všechny i > 1. Celé číslo větší než jedna je ksíla jiného celého čísla právě tehdy k je dělitelem všech i takhle
Použití bezčíslíkové faktorizace celých čísel je omezeno skutečností, že její výpočet je stejně obtížný jako výpočet primární faktorizace. Přesněji každý známý algoritmus pro výpočet faktorizace bez čtverců vypočítá také primární faktorizaci. To je pozoruhodný rozdíl oproti případu polynomy pro které lze uvést stejné definice, ale v tomto případě faktorizace bez čtverců je nejen snazší vypočítat než úplná faktorizace, ale je to první krok všech standardních faktorizačních algoritmů.
Faktory celých čísel bez čtverců
The celé číslo je jeho největším faktorem bez čtverců se zápisem předchozí části. Celé číslo je bez čtverců kdyby a jen kdyby rovná se jeho radikálu.
Každé kladné celé číslo n může být jedinečným způsobem reprezentován jako produkt a mocné číslo (to je celé číslo, které je dělitelné druhou mocninou každého prvočíselného faktoru) a celé číslo bez čtverců, které jsou coprime. V této faktorizaci je faktor bez čtverců a mocné číslo je
The část bez čtverce z n je což je největší dělitel bez čtverců k z n to je coprime s n/k. Část celého čísla bez čtverců může být menší než největší dělitel bez čtverců, který je
Libovolné kladné celé číslo n může být jedinečným způsobem reprezentován jako produkt a náměstí a celé číslo bez čtverce:
V této faktorizaci m je největším dělitelem společnosti n takhle m2 je dělitel n.
Stručně řečeno, existují tři faktory bez čtverců, které jsou přirozeně spojeny s každým celým číslem: část bez čtverců, výše uvedený faktor ka největší faktor bez čtverce. Každý z nich je faktorem dalšího. Všechny lze snadno odvodit z Prvočíselný rozklad nebo bez čtverce faktorizace: pokud
jsou prvočíselná faktorizace a bez kvadratická faktorizace n, kde jsou zřetelná prvočísla, pak část bez čtverců
Faktor bez čtverce, jako je podíl, je kvadrát
a největší faktor bez čtverce je
Například pokud jeden má Část bez čtverce je 7, faktor bez čtverce, takže kvocient je čtverec, je 3 ⋅ 7 = 21a největší faktor bez čtverce je 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.
Žádný algoritmus není znám pro výpočet některého z těchto faktorů bez čtverců, který je rychlejší než výpočet úplné primární faktorizace. Zejména není známo polynomiální čas algoritmus pro výpočet části celého čísla bez čtverců nebo dokonce pro určující zda je celé číslo bez čtverců.[1] Naproti tomu jsou známé algoritmy polynomiálního času testování primality.[2] Toto je hlavní rozdíl mezi aritmetikou celých čísel a aritmetikou čísla jednorozměrné polynomy, jak jsou známé algoritmy polynomiálního času faktorizace bez čtverců polynomů (zkrátka největší faktor bez čtverce polynomu je jeho kvocient podle největší společný dělitel polynomu a jeho formální derivát ).[3]
Ekvivalentní charakterizace
Kladné celé číslo n je bez čtverců, pokud a pouze pokud v Prvočíselný rozklad z n, u exponenta většího než jeden nedojde k žádnému prvočíslu. Dalším způsobem, jak vyjádřit to samé, je to pro každý prime faktor p z n, hlavní p nedělí se rovnoměrněn / p. Taky n je bez čtverce, právě když v každé faktorizaci n = abfaktory A a b jsou coprime. Okamžitým výsledkem této definice je, že všechna prvočísla jsou bez čtverců.
Kladné celé číslo n je bez čtverců, pokud a pouze pokud jsou všechny abelianské skupiny z objednat n jsou izomorfní, což je případ právě tehdy, pokud nějaká taková skupina existuje cyklický. To vyplývá z klasifikace konečně generované abelianské skupiny.
Celé číslo n je bez čtverců, pokud a pouze pokud faktorový prsten Z / nZ (vidět modulární aritmetika ) je produkt z pole. To vyplývá z Čínská věta o zbytku a skutečnost, že prsten formuláře Z / kZ je pole právě tehdy, když k je prime.
Pro každé kladné celé číslo n, soubor všech kladných dělitelů n se stává částečně objednaná sada pokud použijeme dělitelnost jako objednávkový vztah. Tato částečně objednaná sada je vždy a distribuční mříž. Je to Booleova algebra kdyby a jen kdyby n je bez čtverců.
Kladné celé číslo n je bez čtverců kdyby a jen kdyby μ(n) ≠ 0, kde μ označuje Möbiova funkce.
Dirichletova řada
Absolutní hodnota Möbiovy funkce je funkce indikátoru pro celá čísla bez čtverců - to znamená, |μ(n)| se rovná 1, pokud n je bez čtverce a 0, pokud není. The Dirichletova řada této funkce indikátoru je
kde ζ(s) je Funkce Riemann zeta. To vyplývá z Produkt Euler
kde jsou produkty převzaty prvočísly.
Rozdělení
Nechat Q(X) označte počet celých čísel bez čtverců mezi 1 a X (OEIS: A013928 posunutí indexu o 1). Pro velké n, 3/4 kladných celých čísel menší než n nejsou dělitelné 4, 8/9 z těchto čísel není dělitelných 9 atd. Protože tyto poměry uspokojují multiplikativní vlastnost (vyplývá z Čínská věta o zbytku ), získáme aproximaci:
Tento argument lze učinit přísným pro získání odhadu (pomocí velká O notace )
Náčrt důkazu: výše uvedená charakterizace dává
pozorovat, že poslední součet je nula pro z toho vyplývá
Využitím největší známé oblasti bez nuly funkce Riemann zeta Arnold Walfisz vylepšil aproximaci na[4]
pro nějakou pozitivní konstantu C.
Pod Riemannova hypotéza, lze chybový termín zkrátit na[5]
V poslední době (2015) byla chybová lhůta dále snížena na[6]
Asymptotické /přirozená hustota čísel bez čtverců je tedy
Proto je více než 3/5 celých čísel bez čtverců.
Stejně tak, pokud Q(X,n) označuje počet n- celá čísla zdarma (např. 3 celá čísla, která jsou celá čísla bez krychle) mezi 1 a X, jeden může ukázat
Protože násobek 4 musí mít kvadratický faktor 4 = 22, nemůže nastat, že čtyři po sobě jdoucí celá čísla jsou všechna bez čtverců. Na druhou stranu existuje nekonečně mnoho celých čísel n pro které 4n +1, 4n +2, 4n +3 jsou bez čtverců. Jinak s pozorováním, že 4n a alespoň jeden ze 4n +1, 4n +2, 4n +3 mezi čtyřmi mohou být pro dostatečně velké bez čtverců n, polovina všech kladných celých čísel minus konečně mnoho musí být bez čtverců a proto
- pro nějakou konstantu C,
na rozdíl od výše uvedeného asymptotického odhadu pro .
Existují sekvence po sobě jdoucích celých čísel bez čtverců libovolné délky. Opravdu, pokud n uspokojuje současnou shodu
pro různé prvočísla , pak každý je dělitelné pi 2.[7] Na druhou stranu výše uvedený odhad to znamená, že pro nějakou konstantu C, vždy existuje celé celé číslo bez čtverce X a pro pozitivní X. Elementární argument nám navíc umožňuje nahradit podle [8] The ABC domněnka by dovolil .[9]
Tabulka a
Tabulka ukazuje, jak a porovnat při síle 10.
, označovaný také jako .
10 7 6.1 0.9 102 61 60.8 0.2 103 608 607.9 0.1 104 6,083 6,079.3 3.7 105 60,794 60,792.7 1.3 106 607,926 607,927.1 - 1.3 107 6,079,291 6,079,271.0 20.0 108 60,792,694 60,792,710.2 - 16.2 109 607,927,124 607,927,101.9 22.1 1010 6,079,270,942 6,079,271,018.5 - 76.5 1011 60,792,710,280 60,792,710,185.4 94.6 1012 607,927,102,274 607,927,101,854.0 420.0 1013 6,079,271,018,294 6,079,271,018,540.3 - 246.3 1014 60,792,710,185,947 60,792,710,185,402.7 544.3 1015 607,927,101,854,103 607,927,101,854,027.0 76.0
mění své znamení nekonečně často jako inklinuje k nekonečnu.[10]
Absolutní hodnota je neuvěřitelně malý ve srovnání s .
Kódování jako binární čísla
Představujeme-li jako nekonečný produkt číslo bez čtverce
pak si je můžeme vzít a použít je jako bity v binárním čísle s kódováním
Číslo 42 bez čtverce má faktorizaci 2 × 3 × 7 nebo jako nekonečný součin 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 ··· Tedy číslo 42 může být kódováno jako binární sekvence ...001011 nebo 11 desetinných míst. (Binární číslice jsou obráceny od pořadí v nekonečném produktu.)
Protože primární faktorizace každého čísla je jedinečná, je také každé binární kódování celých čísel bez čtverců.
Opak je také pravdivý. Protože každé kladné celé číslo má jedinečnou binární reprezentaci, je možné toto kódování obrátit, aby bylo možné je dekódovat na jedinečné celé číslo bez čtverců.
Opět například, pokud začneme číslem 42, tentokrát pouze jako kladné celé číslo, máme jeho binární zastoupení 101010. To dekóduje na 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.
Binární kódování čísel bez čtverců tedy popisuje a bijekce mezi nezápornými celými čísly a množinou celých čísel bez čtverců.
(Viz sekvence A019565, A048672 a A064273 v OEIS.)
Erdőův dohad bez čtverce
The centrální binomický koeficient
nikdy není čtvercový pro n > 4. Toto bylo prokázáno v roce 1985 pro všechna dostatečně velká celá čísla od András Sárközy,[11] a pro všechna celá čísla> 4 v roce 1996 podle Olivier Ramaré a Andrew Granville.[12]
Squarefree jádro
The multiplikativní funkce je definován pro mapování kladných celých čísel n na t- bezplatná čísla snížením počtu exponentů v modulo reprezentace prime power t:
Sada hodnot , jsou zejména celá čísla bez čtverců. Jejich Dirichlet generující funkce jsou
- .
OEIS zástupci jsou OEIS: A007913 (t=2), OEIS: A050985 (t= 3) a OEIS: A053165 (t=4).
Poznámky
- ^ Adleman, Leonard M .; Mccurley, Kevin S. „Otevřené problémy v teoretické složitosti čísel, II“. Přednášky z informatiky: 9. CiteSeerX 10.1.1.48.4877.
- ^ Agrawal, Manindra; Kayal, Neeraj; Saxena, Nitin (1. září 2004). „PRIMES je v P“ (PDF). Annals of Mathematics. 160 (2): 781–793. doi:10.4007 / annals.2004.160.781. ISSN 0003-486X. PAN 2123939. Zbl 1071.11070.
- ^ Richards, Chelsea (2009). Algoritmy pro dělení polynomů bez čtverců na konečná pole (PDF) (Diplomová práce). Kanada: Simon Fraser University.
- ^ Walfisz, A. (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
- ^ Jia, Chao Hua. "Distribuce čísel bez čtverců", Science in China Series A: Mathematics 36: 2 (1993), str. 154–169. Citováno v Pappalardi 2003, Průzkum na k- bezstarostnost; viz také Kaneenika Sinha, “Průměrné pořadí určitých aritmetických funkcí ", Journal of Ramanujan Mathematical Society 21: 3 (2006), s. 267–277.
- ^ Liu, H.-Q. (2016). „O rozdělení čísel bez čtverců“. Žurnál teorie čísel. 159: 202–222. doi:10.1016 / j.jnt.2015.07.013.
- ^ Parent, D. P. (1984). Cvičení z teorie čísel. Problémové knihy z matematiky. Springer-Verlag New York. doi:10.1007/978-1-4757-5194-9. ISBN 978-1-4757-5194-9.
- ^ Michael, Filaseta; Ognian, Trifonov (1992). "Na mezery mezi čísly bez čtverců II". J. London Math. Soc. (2) 45: 215–221.
- ^ Andrew, Granville (1998). „ABC nám umožňuje počítat čtvercové stromy“. Int. Matematika. Res. Oznámení. 1998 (19): 991–1009. doi:10.1155 / S1073792898000592.
- ^ Minoru, Tanaka. „Experimenty týkající se distribuce čísel bez čtverců“.
- ^ András Sárközy. K dělitelům binomických koeficientů, I. J. Number Theory 20 (1985), č. 1. 1, 70–80.
- ^ Olivier Ramaré a Andrew Granville. Explicitní hranice exponenciálních součtů a nedostatek binomických koeficientů bez čtverců. Mathematika 43 (1996), č. 1, 73–107
Reference
- Shapiro, Harold N. (1983). Úvod do teorie čísel. Oxford University Press Dover Publications. ISBN 978-0-486-46669-9.
- Granville, Andrew; Ramaré, Olivier (1996). "Explicitní hranice exponenciálních součtů a nedostatek binomických koeficientů bez čtverců". Mathematika. 43: 73–107. CiteSeerX 10.1.1.55.8. doi:10.1112 / S0025579300011608. PAN 1401709. Zbl 0868.11009.
- Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.