Zákon úplného očekávání - Law of total expectation

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Zákon úplného očekávání“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Návrh v teorie pravděpodobnosti známý jako zákon úplného očekávání,^[1] the zákon opakovaných očekávání^[2] (LHÁT), věž pravidlo,^[3] Adamův zákona vyhlazovací věta,^[4] mimo jiné uvádí, že pokud ${ displaystyle X}$ je náhodná proměnná jehož očekávaná hodnota ${ displaystyle operatorname {E} (X)}$ je definován a ${ displaystyle Y}$ je libovolná náhodná proměnná na stejné pravděpodobnostní prostor, pak

${ displaystyle operatorname {E} (X) = operatorname {E} ( operatorname {E} (X mid Y)),}$

tj očekávaná hodnota z podmíněná očekávaná hodnota z ${ displaystyle X}$ daný ${ displaystyle Y}$ je stejná jako očekávaná hodnota ${ displaystyle X}$.

Jeden zvláštní případ uvádí, že pokud ${ displaystyle { left {A_ {i} right }} _ {i}}$ je konečný nebo počitatelný rozdělit z ukázkový prostor, pak

${ displaystyle operatorname {E} (X) = součet _ {i} { operatorname {E} (X mid A_ {i}) operatorname {P} (A_ {i})}.}$

Příklad

Předpokládejme, že dodávají pouze dvě továrny žárovky do obchodu. Továrna ${ displaystyle X}$Žárovky fungují v průměru 5 000 hodin, zatímco továrna ${ displaystyle Y}$Žárovky fungují v průměru 4000 hodin. Je známo, že továrna ${ displaystyle X}$ dodává 60% z celkového počtu dostupných žárovek. Jaká je očekávaná doba, po kterou bude kupovaná žárovka fungovat?

Při uplatňování zákona o úplném očekávání máme:

${ displaystyle operatorname {E} (L) = operatorname {E} (L mid X) operatorname {P} (X) + operatorname {E} (L mid Y) operatorname {P} (Y ) = 5000 (0,6) +4000 (0,4) = 4600}$

kde

• ${ displaystyle operatorname {E} (L)}$ je očekávaná životnost žárovky;
• ${ displaystyle operatorname {P} (X) = {6 nad 10}}$ je pravděpodobnost, že zakoupená žárovka byla vyrobena v továrně ${ displaystyle X}$;
• ${ displaystyle operatorname {P} (Y) = {4 nad 10}}$ je pravděpodobnost, že zakoupená žárovka byla vyrobena v továrně ${ displaystyle Y}$;
• ${ displaystyle operatorname {E} (L mid X) = 5000}$ je očekávaná životnost žárovky vyrobené společností ${ displaystyle X}$;
• ${ displaystyle operatorname {E} (L mid Y) = 4000}$ je očekávaná životnost žárovky vyrobené společností ${ displaystyle Y}$.

Každá zakoupená žárovka má tedy předpokládanou životnost 4600 hodin.

Důkaz v konečných a spočitatelných případech

Nechte náhodné proměnné ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$, definované na stejném pravděpodobnostním prostoru, předpokládají konečnou nebo spočetně nekonečnou množinu konečných hodnot. Předpokládat, že ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ je definován, tj. ${ displaystyle min ( operatorname {E} [X _ {+}], operatorname {E} [X _ {-}]) < infty}$. Li ${ displaystyle {A_ {i} }}$ je oddíl pravděpodobnostního prostoru ${ displaystyle Omega}$, pak

${ displaystyle operatorname {E} (X) = součet _ {i} { operatorname {E} (X mid A_ {i}) operatorname {P} (A_ {i})}.}$

Důkaz.

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left ( operatorname {E} (X mid Y) right) & = operatorname {E} { Bigg [} sum _ {x} x cdot operatorname {P} (X = x mid Y) { Bigg]} [6pt] & = sum _ {y} { Bigg [} sum _ {x} x cdot operatorname { P} (X = x mid Y = y) { Bigg]} cdot operatorname {P} (Y = y) [6pt] & = sum _ {y} sum _ {x} x cdot operatorname {P} (X = x, Y = y). end {zarovnáno}}}$

Pokud je řada konečná, pak můžeme přepočítat součty a předchozí výraz se stane

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sum _ {x} sum _ {y} x cdot operatorname {P} (X = x, Y = y) & = sum _ {x} x sum _ {y} operatorname {P} (X = x, Y = y) [6pt] & = sum _ {x} x cdot operatorname {P} (X = x) [6pt] & = operatorname {E} (X). end {zarovnáno}}}$

Pokud je naopak řada nekonečná, pak její konvergence nemůže být podmiňovací způsob, vzhledem k předpokladu, že ${ displaystyle min ( operatorname {E} [X _ {+}], operatorname {E} [X _ {-}]) < infty.}$ Série konverguje absolutně, pokud obojí ${ displaystyle operatorname {E} [X _ {+}]}$ a ${ displaystyle operatorname {E} [X _ {-}]}$ jsou konečné a rozcházejí se do nekonečna, když ${ displaystyle operatorname {E} [X _ {+}]}$ nebo ${ displaystyle operatorname {E} [X _ {-}]}$ je nekonečný. V obou scénářích lze výše uvedené součty vyměnit, aniž by to ovlivnilo součet.

Důkaz v obecném případě

Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, operatorname {P})}$ být prostor pravděpodobnosti, na kterém dva dílčí σ-algebry ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {1} subseteq { mathcal {G}} _ {2} subseteq { mathcal {F}}}$ jsou definovány. Pro náhodnou proměnnou ${ displaystyle X}$ v takovém prostoru stanoví vyhlazovací zákon, že pokud ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ je definován, tj.${ displaystyle min ( operatorname {E} [X _ {+}], operatorname {E} [X _ {-}]) < infty}$, pak

${ displaystyle operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {2}] mid { mathcal {G}} _ {1}] = operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {1}] quad { text {(jako)}}.}$

Důkaz. Protože podmíněné očekávání je a Derivát Radon – Nikodym, ověření následujících dvou vlastností stanoví zákon vyhlazování:

• ${ displaystyle operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {2}] mid { mathcal {G}} _ {1}] { mbox {is} } { mathcal {G}} _ {1}}$-měřitelný
• ${ displaystyle int _ {G_ {1}} operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {2}] mid { mathcal {G}} _ { 1}] d operatorname {P} = int _ {G_ {1}} Xd operatorname {P},}$ pro všechny ${ displaystyle G_ {1} in { mathcal {G}} _ {1}.}$

První z těchto vlastností platí podle definice podmíněného očekávání. Dokázat druhé,

${ displaystyle { begin {aligned} min left ( int _ {G_ {1}} X _ {+} , d operatorname {P}, int _ {G_ {1}} X _ {-} , d operatorname {P} vpravo) & leq min vlevo ( int _ { Omega} X _ {+} , d operatorname {P}, int _ { Omega} X _ {-} , d operatorname {P} right) [4pt] & = min ( operatorname {E} [X _ {+}], operatorname {E} [X _ {-}]) < infty, end {zarovnaný}}}$

takže integrál ${ displaystyle textstyle int _ {G_ {1}} X , d operatorname {P}}$ je definován (nerovná se ${ displaystyle infty - infty}$).

Druhá vlastnost tedy platí od roku${ displaystyle G_ {1} in { mathcal {G}} _ {1} subseteq { mathcal {G}} _ {2}}$ naznačuje

${ displaystyle int _ {G_ {1}} operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {2}] mid { mathcal {G}} _ { 1}] d operatorname {P} = int _ {G_ {1}} operatorname {E} [X mid { mathcal {G}} _ {2}] d operatorname {P} = int _ {G_ {1}} Xd operatorname {P}.}$

Důsledek. Ve zvláštním případě, když ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {1} = { emptyset, Omega }}$ a ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {2} = sigma (Y)}$, vyrovnávací zákon se snižuje na

${ displaystyle operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid Y]] = operatorname {E} [X].}$

Důkaz vzorce oddílu

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet limity _ {i} operatorname {E} (X mid A_ {i}) operatorname {P} (A_ {i}) & = sum limity _ { i} int limits _ { Omega} X ( omega) operatorname {P} (d omega mid A_ {i}) cdot operatorname {P} (A_ {i}) & = součet limity _ {i} int limity _ { Omega} X ( omega) operatorname {P} (d omega cap A_ {i}) & = sum limity _ {i} int limits _ { Omega} X ( omega) I_ {A_ {i}} ( omega) operatorname {P} (d omega) & = sum limits _ {i} operatorname {E } (XI_ {A_ {i}}), end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle I_ {A_ {i}}}$ je funkce indikátoru sady ${ displaystyle A_ {i}}$.

Pokud oddíl ${ displaystyle { {A_ {i} }} _ {i = 0} ^ {n}}$ je konečný, pak se podle linearity stane předchozí výraz

${ displaystyle operatorname {E} left ( sum limits _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} right) = operatorname {E} (X),}$

a jsme hotovi.

Pokud však oddíl ${ displaystyle { {A_ {i} }} _ {i = 0} ^ { infty}}$ je nekonečný, pak použijeme dominující věta o konvergenci ukázat to

${ displaystyle operatorname {E} left ( sum limits _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} right) to operatorname {E} (X).}$

Opravdu pro každého ${ displaystyle n geq 0}$,

${ displaystyle left | sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} doprava | leq | X | I _ { mathop { bigcup} limity _ {i = 0} ^ {n} A_ {i}} leq | X |.}$

Protože každý prvek sady ${ displaystyle Omega}$ spadá do konkrétního oddílu ${ displaystyle A_ {i}}$, je jednoduché ověřit, že sekvence ${ displaystyle { left { sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} right }} _ {n = 0} ^ { infty}}$ konverguje bodově na ${ displaystyle X}$. Počáteční předpoklad, ${ displaystyle operatorname {E} | X | < infty}$. Použitím dominantní věty o konvergenci se získá požadovaný výsledek.

Viz také

• The základní věta o pokeru pro jednu praktickou aplikaci.
• Zákon celkové pravděpodobnosti
• Zákon totální odchylky
• Zákon totální kovariance
• Zákon totální kumulace
• Očekávání distribuce produktu (použití zákona k prokázání, že očekávání produktu je produktem očekávání)

Reference

• Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra. New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-00710-2. (Věta 34.4)
• Christopher Sims, „Poznámky k náhodným proměnným, očekáváním, hustotám pravděpodobnosti a martingales“, zejména rovnice (16) až (18)