Centrální moment - Central moment
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Září 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v teorie pravděpodobnosti a statistika, a centrální moment je okamžik a rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná o náhodných proměnných znamenat; to znamená, že je očekávaná hodnota zadaného celočíselného výkonu odchylky náhodné proměnné od střední hodnoty. Různé momenty tvoří jednu sadu hodnot, pomocí kterých lze užitečně charakterizovat vlastnosti rozdělení pravděpodobnosti. Centrální momenty se používají přednostně před obyčejnými momenty, počítají se jako odchylky od průměru namísto od nuly, protože centrální momenty vyššího řádu se vztahují pouze k šíření a tvaru rozdělení, nikoli také k jeho umístění.
Sady centrálních momentů lze definovat pro jednorozměrné i vícerozměrné rozdělení.
Jednorozměrné momenty
The nth okamžik o znamenat (nebo nth centrální moment) skutečné hodnoty náhodná proměnná X je množství μn : = E [(X - E [X])n], kde E je operátor očekávání. Pro kontinuální univariate rozdělení pravděpodobnosti s funkce hustoty pravděpodobnosti F(X), nten okamžik o průměru μ je
Pro náhodné proměnné, které nemají žádný průměr, například Cauchyovo rozdělení, nejsou definovány centrální momenty.
Prvních několik ústředních momentů má intuitivní interpretace:
- „Nulový“ ústřední okamžik μ0 je 1.
- První centrální okamžik μ1 je 0 (nezaměňovat s prvním syrové momenty nebo očekávaná hodnota μ).
- Druhý ústřední okamžik μ2 se nazývá rozptyl, a je obvykle označován σ2, kde σ představuje standardní odchylka.
- Třetí a čtvrtý centrální moment se používají k definování standardizované momenty které se používají k definování šikmost a špičatost, resp.
Vlastnosti
The nten centrální moment je transvačně invariantní, tj. pro libovolnou náhodnou proměnnou X a jakákoli konstanta C, my máme
Pro všechny n, ncentrální moment je homogenní stupně n:
Pouze pro n takže n se rovná 1, 2 nebo 3, máme vlastnost aditivity pro náhodné proměnné X a Y to jsou nezávislý:
- pokud n ∈ {1, 2, 3}.
Související funkce, která sdílí vlastnosti trans-invariance a homogenity s nth centrální moment, ale i nadále má tuto vlastnost aditivity, i když n ≥ 4 je nth kumulant κn(X). Pro n = 1, nth cumulant je jen očekávaná hodnota; pro n = buď 2 nebo 3, nth cumulant je jen nth centrální moment; pro n ≥ 4, nth cumulant je nmonický polynom tého stupně v prvním n momenty (asi nula), a je také (jednodušší) npolynom tého stupně v prvním n ústřední momenty.
Vztah k okamžikům o původu
Někdy je vhodné převést momenty o původu na momenty o průměru. Obecná rovnice pro převod nokamžik pátého řádu o počátku je okamžik o průměru
kde μ je průměr distribuce a moment o původu je dán vztahem
Pro případy n = 2, 3, 4 - které jsou nejzajímavější z důvodu vztahů k rozptyl, šikmost, a špičatost, respektive - tento vzorec se stává (upozorňujeme na to a ):
- který se běžně označuje jako
... a tak dále,[2] Následující Pascalův trojúhelník, tj.
protože
Následující součet je stochastická proměnná mající a složená distribuce
Kde jsou vzájemně nezávislé náhodné proměnné sdílející stejnou společnou distribuci a náhodná celočíselná proměnná nezávislá na s vlastní distribucí. Okamžiky jsou získány jako [3]
kde je definována jako nula pro .
Symetrické rozdělení
V symetrické rozdělení (ten, který není ovlivněn tím, že je odráží o jeho průměru), všechny liché centrální momenty se rovnají nule, protože ve vzorci pro nČtvrtý okamžik, každý termín zahrnující hodnotu X menší než průměr o určitou částku přesně ruší termín zahrnující hodnotu X větší než průměr o stejnou částku.
Vícerozměrné momenty
Pro kontinuální bivariate rozdělení pravděpodobnosti s funkce hustoty pravděpodobnosti F(X,y) (j,k) moment o průměru μ = (μX, μY) je
Viz také
Reference
- ^ Grimmett, Geoffrey; Stirzaker, David (2009). Pravděpodobnost a náhodné procesy. Oxford, Anglie: Oxford University Press. ISBN 978 0 19 857222 0.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/CentralMoment.html
- ^ Grubbström, Robert W .; Tang, Ou (2006). "Okamžiky a centrální momenty složené distribuce". Evropský žurnál operačního výzkumu. 170: 106–119. doi:10.1016 / j.ejor.2004.06.012.