Má klíčovou vlastnost, že je neměnný pod a změna souřadnic pro vektor parametru . To znamená, že relativní pravděpodobnost přiřazená objemu prostoru pravděpodobnosti pomocí Jeffreysova prior bude stejná bez ohledu na parametrizaci použitou k definování Jeffreysova prior. Díky tomu má zvláštní význam pro použití s parametry měřítka.[1]
za použití věta o změně proměnných pro transformace definice Fisherovy informace a že produkt determinantů je determinantem maticového produktu:
Atributy
Z praktického a matematického hlediska je platným důvodem pro použití tohoto neinformativního předku místo jiných, jako jsou ty, které byly získány prostřednictvím limitu v konjugovaných rodinách distribucí, to, že relativní pravděpodobnost objemu prostoru pravděpodobnosti nezávisí na sada proměnných parametrů, která je vybrána k popisu prostoru parametrů.
Někdy Jeffreyovi předchozí nemohou být normalizováno, a je tedy nevhodný před. Například Jeffreysův předchozí distribuční průměr je v případě a jednotný po celé reálné linii Gaussovo rozdělení známého rozptylu.
Použití Jeffreys před porušuje silnou verzi princip pravděpodobnosti, což přijímají mnozí, ale v žádném případě ne všichni, statistici. Při použití Jeffreys před, závěry o závisí nejen na pravděpodobnosti pozorovaných dat jako funkce , ale také o vesmíru všech možných experimentálních výsledků, jak je určeno experimentálním designem, protože Fisherova informace je počítána z očekávání nad zvoleným vesmírem. V souladu s tím se Jeffreysův předchozí, a tedy závěry, které se při jeho používání používají, mohou lišit pro dva experimenty zahrnující stejný i když jsou funkce pravděpodobnosti pro dva experimenty stejné - porušení principu silné pravděpodobnosti.
Minimální délka popisu
V minimální délka popisu přístup ke statistice cílem je popsat data co nejkompaktněji, kde je délka popisu měřena v bitech použitého kódu. U parametrické rodiny distribucí se porovnává kód s nejlepším kódem na základě jedné z distribucí v parametrizované rodině. Hlavním výsledkem je, že v exponenciální rodiny, asymptoticky pro velkou velikost vzorku, je optimální kód založený na distribuci, která je směsí prvků v exponenciální rodině s Jeffreysovým priorem. Tento výsledek platí, pokud omezíte sadu parametrů na kompaktní podmnožinu uvnitř celého prostoru parametrů[Citace je zapotřebí ]. Pokud se použije celý parametr, měla by se použít upravená verze výsledku.
Příklady
Jeffreysův předpoklad pro parametr (nebo sadu parametrů) závisí na statistickém modelu.
To znamená, že Jeffreyovi před na tom nezávisí ; je to nenormalizované rovnoměrné rozdělení na skutečné linii - rozdělení, které je 1 (nebo nějaká jiná pevná konstanta) pro všechny body. Tohle je nevhodný před, a je až do výběru konstanty jedinečný překlad-invariantní distribuce na reals ( Haarovo opatření s ohledem na přidání realit), což odpovídá střednímu bytí mírou umístění a překlad-invariance odpovídající žádným informacím o poloze.
Gaussovo rozdělení s parametrem směrodatné odchylky
Rovnocenně Jeffreys před je nenormalizované rovnoměrné rozdělení na skutečné linii, a proto je toto rozdělení známé také jako logaritmický předchozí. Podobně Jeffreys před je také uniformní. Jedná se o jedinečný (až několikanásobný) předchozí (v pozitivních realách), který je měřítko-variantní ( Haarovo opatření s ohledem na násobení kladných reálných hodnot), což odpovídá směrodatné odchylce, která je mírou měřítko a scale-invariance odpovídající žádné informace o scale. Stejně jako u rovnoměrného rozložení na realitách je to nevhodný před.
To znamená, že Jeffreyovi před je v intervalu jednotná . Ekvivalentně je jednotná v celém kruhu .
N- jednostranný umírá se zkreslenými pravděpodobnostmi
Podobně za hod -stranný zemřít s pravděpodobností výsledku , každý nezáporný a uspokojující , Jeffreyovi před je Dirichletova distribuce se všemi (alfa) parametry nastavenými na polovinu. To se rovná použití a pseudopočet jedné poloviny za každý možný výsledek.
Ekvivalentně, pokud píšeme pro každého , pak Jeffreys před je jednotný na (N - 1) -dimenzionální jednotková koule (tj., je rovnoměrný na povrchu N-dimenzionální jednotková koule ).
Reference
^Jaynes, E. T. (1968) „Prior pravdepodobnosti“, IEEE Trans. o systémové vědě a kybernetice, SSC-4, 227 pdf.