K-distribuce - K-distribution - Wikipedia

v pravděpodobnost a statistika, K-distribuce je tříparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Distribuce vzniká složením dvou gama distribuce. V každém případě se používá opětná parametrizace obvyklé formy rodiny gama distribucí, takže parametry jsou:

• průměr rozdělení a
• obvyklý tvarový parametr.

K-distribuce je speciální případ varianční-gama distribuce, což je zase zvláštní případ generalizovaná hyperbolická distribuce.

Hustota

Model je takový náhodná proměnná ${ displaystyle X}$ má gama distribuci se střední hodnotou ${ displaystyle sigma}$ a tvarový parametr ${ displaystyle alpha}$, s ${ displaystyle sigma}$ považováno za náhodnou proměnnou, která má jiné rozdělení gama, tentokrát se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a tvarový parametr ${ displaystyle beta}$. Výsledkem je to ${ displaystyle X}$ má následující funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro ${ displaystyle x> 0}$:^[1]

${ displaystyle f_ {X} (x; mu, alpha, beta) = { frac {2} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} , left ({ frac { alpha beta} { mu}} right) ^ { frac { alpha + beta} {2}} , x ^ {{ frac { alpha + beta} {2}} - 1} K _ { alpha - beta} left (2 { sqrt { frac { alpha beta x} { mu}}} right),}$

kde ${ displaystyle K}$ je upravená Besselova funkce druhého druhu. Všimněte si, že pro upravenou Besselovu funkci druhého druhu máme ${ displaystyle K _ { nu} = K _ {- nu}}$. V této derivaci je K-distribuce a složené rozdělení pravděpodobnosti. Je to také a distribuce produktu:^[1] jedná se o distribuci produktu dvou nezávislých náhodných proměnných, z nichž jedna má gama rozdělení se střední hodnotou 1 a tvarovým parametrem ${ displaystyle alpha}$, druhý má gama distribuci se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a tvarový parametr ${ displaystyle beta}$.

Jednodušší dvouparametrická formalizace K-distribuce je^[2]

${ displaystyle f_ {X} (x; b, v) = { frac {2b} { Gamma (v)}} left ({ frac {bx} {2}} right) ^ {v} K_ {v-1} (bx),}$

kde proti je tvarový faktor, b je měřítkový faktor a K. je upravená Besselova funkce druhého druhu.

Tato distribuce pochází z příspěvku od Eric Jakeman a Peter Pusey (1978), kteří ji použili k modelování mikrovlnné mořské ozvěny. Jakeman a Tough (1987) odvodili distribuci ze zaujatého modelu náhodné chůze. Ward (1981) odvodil distribuci z produktu pro dvě náhodné proměnné, z = A y, kde A má distribuci chi a y komplexní Gaussova distribuce. Modul z, | z |, pak má K distribuci.

Okamžiky

Funkce generující moment je dána vztahem^[3]

${ displaystyle M_ {X} (s) = left ({ frac { xi} {s}} right) ^ { beta / 2} exp left ({ frac { xi} {2s} } right) W _ {- delta / 2, gamma / 2} left ({ frac { xi} {s}} right),}$

kde ${ displaystyle gamma = beta - alfa,}$ ${ displaystyle delta = alpha + beta -1,}$ ${ displaystyle xi = alfa beta / mu,}$ a ${ displaystyle W _ {- delta / 2, gamma / 2} ( cdot)}$ je Whittakerova funkce.

N-tý moment K-distribuce je dán vztahem^[1]

${ displaystyle mu _ {n} = xi ^ {- n} { frac { gama ( alfa + n) gama ( beta + n)} { gama ( alfa) gama ( beta )}}.}$

Je tedy uveden průměr a rozptyl^[1] podle

${ displaystyle operatorname {E} (X) = mu}$

${ displaystyle operatorname {var} (X) = mu ^ {2} { frac { alpha + beta +1} { alpha beta}}.}$

Další vlastnosti

Všechny vlastnosti distribuce jsou symetrické ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta.}$^[1]

Aplikace

K-distribuce vzniká jako důsledek statistického nebo pravděpodobnostního modelu použitého v radar se syntetickou clonou (SAR) snímky. K-distribuce je tvořena složení dva samostatné rozdělení pravděpodobnosti, jeden zastupující průřez radaru a další představující skvrnu, která je charakteristikou koherentního zobrazování. Používá se také v bezdrátové komunikaci k modelování složených efektů rychlého blednutí a stínování.

Poznámky

Zdroje

• Redding, Nicholas J. (1999) Odhad parametrů distribuce K v doméně intenzity [1]. Zpráva DSTO-TR-0839, DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, Jižní Austrálie. str. 60
• Jakeman, E. a Pusey, P. N. (1978) „Význam distribucí K v experimentech s rozptylem“, Dopisy o fyzické kontrole, 40, 546–550 doi:10.1103 / PhysRevLett.40.546
• Jakeman, E. a Tough, R. J. A. (1987) „Zobecněné rozdělení K: statistický model pro slabý rozptyl,“ J. Opt. Soc. Pozm. Č. 4, (9), s. 1764 - 1772.
• Ward, K. D. (1981) „Složené zastoupení mořského nepořádku s vysokým rozlišením,“ Electron. Lett., 17, s. 561 - 565.
• Long, M.W. (2001) „Radar Reflectivity of Land and Sea,“ 3. vydání, Artech House, Norwood, MA, 2001.
• Bithas, P.S .; Sagias, N.C .; Mathiopoulos, P.T .; Karagiannidis, G. K.; Rontogiannis, A.A. (2006) „O analýze výkonu digitální komunikace přes kanály s únikem generalizovaných K,“ IEEE Communications Letters, 10 (5), str. 353 - 355.

Další čtení

• Jakeman, E. (1980) „O statistice K-distribuovaného šumu“, Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31–48
• Ward, K.D .; Tough, Robert J.A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. ISBN  0-86341-503-2