Kontinuální rovnoměrné rozdělení - Continuous uniform distribution

Jednotný

Funkce hustoty pravděpodobnosti Použitím maximální konvence
Funkce kumulativní distribuce
Zápis	${ displaystyle { mathcal {U}} (a, b)}$ nebo ${ displaystyle mathrm {unif} (a, b)}$
Parametry	${ displaystyle - infty$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [a, b]}$
PDF	${ displaystyle { begin {cases} { frac {1} {ba}} & { text {for}} x in [a, b] 0 & { text {jinak}} end {cases} }}$
CDF	${ displaystyle { begin {cases} 0 & { text {for}} x b end {cases}}}$
Znamenat	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} (a + b)}$
Medián	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} (a + b)}$
Režim	libovolná hodnota v ${ displaystyle (a, b)}$
Rozptyl	${ displaystyle { tfrac {1} {12}} (b-a) ^ {2}}$
Šikmost	0
Př. špičatost	${ displaystyle - { tfrac {6} {5}}}$
Entropie	${ displaystyle ln (b-a) ,}$
MGF	${ displaystyle { begin {cases} { frac { mathrm {e} ^ {tb} - mathrm {e} ^ {ta}} {t (ba)}} & { text {for}} t neq 0 1 & { text {for}} t = 0 end {cases}}}$
CF	${ displaystyle { begin {cases} { frac { mathrm {e} ^ {itb} - mathrm {e} ^ {ita}} {it (ba)}} & { text {for}} t neq 0 1 & { text {for}} t = 0 end {cases}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, kontinuální rovnoměrné rozdělení nebo obdélníkové rozdělení je rodina symetrický rozdělení pravděpodobnosti. Distribuce popisuje experiment, kde existuje libovolný výsledek, který leží mezi určitými hranicemi.^[1] Hranice jsou definovány parametry, A a b, což jsou minimální a maximální hodnoty. Interval může být buď Zavřeno (např. [a, b]) nebo otevřeno (např. (a, b)).^[2] Proto je distribuce často zkrácena U (A, b), kde U znamená jednotné rozdělení.^[1] Rozdíl mezi hranicemi určuje délku intervalu; Všechno intervaly stejné délky na distribuci Podpěra, podpora jsou stejně pravděpodobné. To je maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie pro náhodnou proměnnou X kromě jiného omezení, než je obsaženo v podpoře distribuce.^[3]

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti kontinuálního rovnoměrného rozdělení je:

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {ba}} & mathrm {for} a leq x leq b, [8pt] 0 & mathrm {for} x b end {případy}}}$

Hodnoty F(X) na dvou hranicích A a b jsou obvykle nedůležité, protože nemění hodnoty integrálů F(X) dx v jakémkoli intervalu ani X F(X) dx nebo jakýkoli vyšší okamžik. Někdy jsou vybrány jako nula a někdy jako nulové 1/b − A. To je vhodné v kontextu odhadu metodou maximální pravděpodobnost. V kontextu Fourierova analýza, jeden může mít hodnotu F(A) nebo F(b) být 1/2(b − A), od té doby inverzní transformace mnoha integrální transformace této jednotné funkce přinese zpět funkci samotnou, spíše než funkci, která je stejná "téměř všude ", tj. s výjimkou množiny bodů s nulou opatření. Je také v souladu s znaková funkce což nemá takovou dvojznačnost.

Graficky funkce hustoty pravděpodobnosti je zobrazen jako obdélník, kde ${ displaystyle b-a}$ je základna a ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {b-a}}}$ je výška. Jak se vzdálenost mezi a a b zvyšuje, hustota při jakékoli konkrétní hodnotě v distribučních hranicích klesá.^[4] Protože funkce hustoty pravděpodobnosti integruje do 1, výška funkce hustoty pravděpodobnosti klesá s rostoucí délkou základny.^[4]

Pokud jde o průměr μ a rozptyl σ², hustotu pravděpodobnosti lze zapsat jako:

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {2 sigma { sqrt {3}}}} & { mbox {for}} - sigma { sqrt {3} } leq x- mu leq sigma { sqrt {3}} 0 & { text {jinak}} end {případy}}}$

Příklad 1. Použití funkce jednotné hustoty pravděpodobnosti^[5]

Pro náhodnou proměnnou X

${ displaystyle X sim U (0,23)}$

Nalézt ${ displaystyle scriptstyle P (2$:

${ displaystyle P (2$.

V grafickém znázornění funkce rovnoměrného rozložení [f (x) vs x] oblast pod křivkou v zadaných mezích zobrazuje pravděpodobnost (stínovaná oblast je znázorněna jako obdélník). U tohoto konkrétního výše uvedeného příkladu by byla základna ${ displaystyle scriptstyle 18-2}$ a výška by byla ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {23}}}$.^[5]

Příklad 2. Použití funkce rovnoměrné hustoty pravděpodobnosti (podmíněné)^[5]

Pro náhodnou proměnnou X

${ displaystyle X sim U (0,23)}$

Nalézt ${ displaystyle scriptstyle P (12 8)}$:

${ displaystyle P (X> 12 | X> 8) = (23-12) cdot { frac {1} {23-8}} = { frac {11} {15}}}$.

Výše uvedený příklad je pro případ podmíněné pravděpodobnosti pro rovnoměrné rozdělení: daný ${ displaystyle scriptstyle X> 8}$ je pravda, jaká je pravděpodobnost, že ${ displaystyle scriptstyle X> 12}$. Podmíněná pravděpodobnost změní prostor vzorku, takže nová délka intervalu ${ displaystyle b-a}$ je třeba vypočítat, kde b je 23 a A je 8.^[5] Grafické znázornění by stále následovalo Příklad 1, kde oblast pod křivkou v rámci zadaných mezí zobrazuje pravděpodobnost a základ obdélníku by byl ${ displaystyle scriptstyle 23-12}$ a výška ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {15}}}$.^[5]

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je:

${ displaystyle F (x) = { begin {cases} 0 & { text {for}} x b end {cases}}}$

Jeho inverzní je:

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = a + p (b-a) , , { text {pro}} 0$

Ve střední a variační notaci je funkce kumulativní distribuce:

${ displaystyle F (x) = { begin {cases} 0 & { text {for}} x- mu <- sigma { sqrt {3}} { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma { sqrt {3}}}} + 1 right) & { text {for}} - sigma { sqrt {3}} leq x- mu < sigma { sqrt {3}} 1 & { text {for}} x- mu geq sigma { sqrt {3}} end {případy}}}$

a inverzní je:

${ displaystyle F ^ {- 1} (p) = sigma { sqrt {3}} (2p-1) + mu , , { text {pro}} 0 leq p leq 1}$

Generování funkcí

Funkce generující momenty

The funkce generující momenty je:^[6]

${ displaystyle M_ {x} = E (e ^ {tx}) = { frac {e ^ {tb} -e ^ {ta}} {t (b-a)}} , !}$ ^[7]

ze kterých můžeme vypočítat syrové momenty m _k

${ displaystyle m_ {1} = { frac {a + b} {2}}, , !}$

${ displaystyle m_ {2} = { frac {a ^ {2} + ab + b ^ {2}} {3}}, , !}$

${ displaystyle m_ {k} = { frac {1} {k + 1}} sum _ {i = 0} ^ {k} a ^ {i} b ^ {k-i}. , !}$

Pro zvláštní případ A = –b, to znamená pro

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {2b}} & { text {for}} -b leq x leq b, [8pt] 0 & { text {jinak}}, end {cases}}}$

funkce generující momenty se redukují na jednoduchou formu

${ displaystyle M_ {x} = { frac { sinh bt} {bt}}.}$

Pro náhodná proměnná po této distribuci očekávaná hodnota je tedy m₁ = (A + b) / 2 a rozptyl jem₂ − m₁² = (b − A)²/12.

Funkce generující kumulant

Pro n ≥ 2, nth kumulant rovnoměrného rozdělení na intervalu [−1/2, 1/2] je B_n/n, kde B_n je nth Bernoulliho číslo.^[8]

Standardní uniforma

Omezující ${ displaystyle a = 0}$ a ${ displaystyle b = 1}$výsledná distribuce U(0,1) se nazývá a standardní jednotné rozdělení.

Jedna zajímavá vlastnost standardního jednotného rozdělení je, že pokud u₁ má standardní rovnoměrné rozdělení, pak také 1-u₁. Tuto vlastnost lze použít pro generování antitetický variuje, mimo jiné. Jinými slovy, tato vlastnost je známá jako inverzní metoda kde lze generovat spojitou standardní rovnoměrnou distribuci náhodná čísla pro jakoukoli další kontinuální distribuci.^[4] Li u je jednotné náhodné číslo se standardním rovnoměrným rozdělením (0,1) ${ displaystyle x = F ^ {- 1} (u)}$ generuje náhodné číslo X z jakékoli kontinuální distribuce s uvedeným kumulativní distribuční funkce F.^[4]

Vztah k ostatním funkcím

Pokud jsou v přechodových bodech dodržovány stejné konvence, lze funkci hustoty pravděpodobnosti vyjádřit také pomocí Funkce Heaviside step:

${ displaystyle f (x) = { frac { operatorname {H} (x-a) - operatorname {H} (x-b)} {b-a}}, , !}$

nebo z hlediska funkce obdélník

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {ba}} , operatorname {rect} left ({ frac {x- left ({ frac {a + b} {2}} vpravo)} {ba}} vpravo).}$

V bodě přechodu z znaková funkce. Pomocí konvence polovičního maxima v přechodových bodech lze rovnoměrné rozdělení vyjádřit pomocí znaménkové funkce jako:

${ displaystyle f (x) = { frac { operatorname {sgn} {(x-a)} - operatorname {sgn} {(x-b)}} {2 (b-a)}}.}$

Vlastnosti

Okamžiky

Průměr (první okamžik ) distribuce je:

${ displaystyle E (X) = { frac {1} {2}} (a + b).}$

Druhým okamžikem distribuce je:

${ displaystyle E (X ^ {2}) = { frac {b ^ {3} -a ^ {3}} {3b-3a}}.}$

Obecně platí, že n-th moment of the uniform distribution is:

${ displaystyle E (X ^ {n}) = { frac {b ^ {n + 1} -a ^ {n + 1}} {(n + 1) (ba)}} = { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} a ^ {k} b ^ {nk}.}$

Rozptyl (druhý centrální moment ) je:

${ displaystyle V (X) = { frac {1} {12}} (b-a) ^ {2}}$

Statistiky objednávek

Nechat X₁, ..., X_n být i.i.d. vzorek z U(0,1). Nechat X_(k) být kth statistika objednávky z tohoto vzorku. Pak rozdělení pravděpodobnosti X_(k) je Distribuce beta s parametry k a n − k + 1. Očekávaná hodnota je

${ displaystyle operatorname {E} (X _ {(k)}) = {k nad n + 1}.}$

Tato skutečnost je užitečná při výrobě Grafy Q – Q.

Rozdíly jsou

${ displaystyle operatorname {V} (X _ {(k)}) = {k (n-k + 1) nad (n + 1) ^ {2} (n + 2)}.}$

Viz také: Statistika objednávky § Rozdělení pravděpodobnosti statistik objednávek

Jednotnost

Pravděpodobnost, že rovnoměrně distribuovaná náhodná proměnná spadá do jakéhokoli intervalu pevné délky, je nezávislá na umístění samotného intervalu (ale je závislá na velikosti intervalu), pokud je interval obsažen v podpoře distribuce.

Chcete-li to vidět, pokud X ~ U (A,b) a [X, X+d] je podinterval [A,b] s pevnou d > 0, tedy

${ displaystyle P left (X in left [x, x + d right] right) = int _ {x} ^ {x + d} { frac { mathrm {d} y} {ba }} , = { frac {d} {ba}} , !}$ který je nezávislý na X. Tato skutečnost motivuje název distribuce.

Zevšeobecnění na Borelovy množiny

Toto rozdělení lze zobecnit na složitější sady než intervaly. Li S je Sada Borel pozitivní, konečné míry, rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na S lze specifikovat definováním pdf tak, aby bylo venku nulové S a neustále se rovná 1 /K. na S, kde K. je Lebesgueovo opatření z S.

Související distribuce

• Li X má standardní rovnoměrné rozdělení, poté pomocí vzorkování inverzní transformace metoda, Y = - λ⁻¹ ln (X) má exponenciální rozdělení s parametrem (rychlost) λ.
• Li X má tedy standardní jednotné rozdělení Y = Xⁿ má beta distribuce s parametry (1 / n, 1). Jako takový,
• Standardní jednotné rozdělení je zvláštním případem beta distribuce s parametry (1,1).
• The Irwin – Hallova distribuce je součet n i.i.d. U (0,1) distribuce.
• Součet dvou nezávislých, rovnoměrně distribuovaných a rovnoměrných distribucí vede k symetrii trojúhelníkové rozdělení.
• Vzdálenost mezi dvěma i.i.d. jednotné náhodné proměnné má také a trojúhelníkové rozdělení, i když ne symetrický.

Statistická inference

Odhad parametrů

Odhad maxima

Nestranný odhad minimální odchylky

Vzhledem k jednotnému rozdělení na [0,b] s neznámým b, theobjektivní odhad minimální odchylky (UMVUE) pro maximum je dáno

${ displaystyle { hat {b}} _ { text {UMVU}} = { frac {k + 1} {k}} m = m + { frac {m} {k}}}$

kde m je maximální vzorek a k je velikost vzorku, vzorkování bez náhrady (ačkoli toto rozlišení téměř jistě nezáleží na kontinuální distribuci). Toto vyplývá ze stejných důvodů jako odhad pro diskrétní rozdělení, a lze jej považovat za velmi jednoduchý případ odhad maximální vzdálenosti. Tento problém je obecně známý jako Problém německého tanku kvůli použití maximálního odhadu na odhady německé výroby tanků v průběhu roku 2006 druhá světová válka.

Odhad maximální pravděpodobnosti

The maximální pravděpodobnost odhad je dán vztahem:

${ displaystyle { hat {b}} _ {ML} = m}$

kde m je maximální vzorek, označovaný také jako ${ displaystyle m = X _ {(n)}}$ maximum statistika objednávky vzorku.

Metoda odhadu momentu

The metoda momentů odhad je dán vztahem:

${ displaystyle { hat {b}} _ {MM} = 2 { bar {X}}}$

kde ${ displaystyle { bar {X}}}$ je průměr vzorku.

Odhad středu

Střed distribuce (A + b) / 2 je průměr i medián jednotného rozdělení. Ačkoli průměr vzorku i medián vzorku jsou nezaujaté odhady středního bodu, ani jeden není jako účinný jako vzorek střední rozsah, tj. aritmetický průměr maxima vzorku a minima vzorku, což je UMVU odhad středního bodu (a také odhad maximální věrohodnosti ).

Interval spolehlivosti

Maximálně

Nechat X₁, X₂, X₃, ..., X_n být ukázkou z U( 0, L ) kde L je populační maximum. Pak X_(n) = max ( X₁, X₂, X₃, ..., X_n ) má hustotu^[9]

${ displaystyle f_ {n} (X _ {(n)}) = n { frac {1} {L}} vlevo ({ frac {X _ {(n)}} {L}} vpravo) ^ { n-1} = n { frac {X _ {(n)} ^ {n-1}} {L ^ {n}}}, 0$

Interval spolehlivosti pro odhadované maximum populace je pak ( X_(n), X_(n) / α^1/n ) kde 100 (1 -α)% je hledaná úroveň spolehlivosti. V symbolech

${ displaystyle X _ {(n)} leq L leq X _ {(n)} / alpha ^ {1 / n}}$

Testování hypotéz

v statistika, když p-hodnota se používá jako statistika testu pro jednoduchý nulová hypotéza a distribuce statistiky testu je spojitá, pak je hodnota p rovnoměrně rozdělena mezi 0 a 1, pokud je nulová hypotéza pravdivá.

Výskyt a aplikace

Pravděpodobnosti funkce rovnoměrného rozdělení jsou snadno vypočítatelné kvůli jednoduchosti funkčního tvaru.^[2] Existuje tedy řada aplikací, pro které lze tuto distribuci použít, jak je uvedeno níže: situace při testování hypotéz, případy náhodného vzorkování, finance atd. Dále obecně platí, že experimenty fyzického původu sledují rovnoměrné rozdělení (např. Emise radioaktivních látek) částice ).^[1] Je však důležité si uvědomit, že v jakékoli aplikaci existuje neměnný předpoklad, že pravděpodobnost pádu v intervalu pevné délky je konstantní.^[2]

Ekonomický příklad pro rovnoměrné rozdělení

V oblasti ekonomiky obvykle poptávka a doplnění nemusí následovat očekávané normální rozdělení. Výsledkem je, že se k lepší předpovědi pravděpodobností a trendů používají jiné distribuční modely, jako např Bernoulliho proces.^[10] Ale podle Wankeho (2008), v konkrétním případě vyšetřování dodací lhůta pro správu zásob na začátku životní cyklus při analýze zcela nového produktu se ukazuje jako užitečnější jednotná distribuce.^[10] V této situaci nemusí být jiná distribuce životaschopná, protože o novém produktu neexistují žádná stávající data nebo že historie poptávky není k dispozici, takže ve skutečnosti neexistuje vhodná nebo známá distribuce.^[10] Rovnoměrné rozdělení by bylo v této situaci ideální, protože náhodná proměnná lead-time (související s poptávkou) není pro nový produkt známa, ale výsledky se pravděpodobně budou pohybovat mezi přijatelným rozsahem dvou hodnot.^[10] The dodací lhůta by tedy představoval náhodnou proměnnou. Z modelu jednotné distribuce souvisí i další faktory dodací lhůta bylo možné vypočítat jako úroveň služeb cyklu a nedostatek na cyklus. Rovněž bylo poznamenáno, že jednotné rozdělení bylo také použito kvůli jednoduchosti výpočtů.^[10]

Vzorkování z libovolného rozdělení

Jednotná distribuce je užitečná pro vzorkování z libovolných distribucí. Obecnou metodou je metoda vzorkování inverzní transformace, která využívá kumulativní distribuční funkce (CDF) cílové náhodné proměnné. Tato metoda je velmi užitečná v teoretické práci. Jelikož simulace využívající tuto metodu vyžadují invertování CDF cílové proměnné, byly vyvinuty alternativní metody pro případy, kdy cdf není znám v uzavřené formě. Jedna taková metoda je odmítnutí vzorkování.

The normální distribuce je důležitým příkladem, kde metoda inverzní transformace není efektivní. Existuje však přesná metoda, Box – Mullerova transformace, který používá inverzní transformaci k převodu dvou nezávislých uniforem náhodné proměnné do dvou nezávislých normálně distribuováno náhodné proměnné.

Chyba kvantování

Při analogově-číslicovém převodu dojde k chybě kvantování. Tato chyba je způsobena zaokrouhlením nebo zkrácením. Když je původní signál mnohem větší než jeden nejméně významný bit (LSB) „chyba kvantování významně nekoreluje se signálem a má přibližně rovnoměrné rozdělení. The Chyba RMS tedy vyplývá z rozptylu této distribuce.

Výpočtové metody

Odběr vzorků z jednotného rozdělení

Existuje mnoho aplikací, ve kterých je užitečné provádět simulační experimenty. Mnoho programovací jazyky přijít s implementacemi k vygenerování pseudonáhodná čísla které jsou efektivně distribuovány podle standardního rovnoměrného rozdělení.

Li u je hodnota vzorkovaná ze standardního rovnoměrného rozdělení, pak hodnota A + (b − A)u následuje rovnoměrné rozdělení parametrizované pomocí A a b, jak je popsáno výše.

Dějiny

Zatímco historický původ v pojetí jednotné distribuce je neprůkazný, spekuluje se, že pojem „uniforma“ vznikl z konceptu rovnocennost v kostkových hrách (všimněte si, že kostkové hry by měly oddělený a ne souvislý jednotný prostor pro vzorky). Rovnoměrnost byl zmíněn v Gerolamo Cardano Liber de Ludo Aleae, manuál napsaný v 16. století a podrobný podrobný kalkul pravděpodobnosti ve vztahu k kostkám.^[11]

Viz také

• Rovnoměrné rozdělení (diskrétní)
• Distribuce beta
• Box – Mullerova transformace
• Pravděpodobnostní spiknutí
• Děj Q-Q
• Obdélníková funkce
• Irwin – Hallova distribuce - V degenerovaném případě, kde n = 1, Irwin-Hallovo rozdělení generuje rovnoměrné rozdělení mezi 0 a 1.
• Batesovo rozdělení - Podobně jako distribuce Irwin-Hall, ale změněno měřítko pro n. Stejně jako Irwin-Hallovo rozdělení, v degenerovaném případě, kde n = 1, vytváří Batesovo rozdělení rovnoměrné rozdělení mezi 0 a 1.

Reference

Další čtení

• Casella, George; Roger L. Berger (2001), Statistická inference (2. vyd.), ISBN  978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

externí odkazy

• Online kalkulačka jednotné distribuce (průběžná)