Sada Borel - Borel set

v matematika, a Sada Borel je libovolná sada v a topologický prostor ze kterého lze vytvořit otevřené sady (nebo ekvivalentně z uzavřené sady ) prostřednictvím operací počitatelný svaz, spočítatelné průsečík, a relativní doplněk. Sady Borel jsou pojmenovány po Émile Borel.

Pro topologický prostor X, sbírka všech sad Borel X tvoří a σ-algebra, známý jako Borel algebra nebo Borel σ-algebra. Borelova algebra zapnutá X je nejmenší σ-algebra obsahující všechny otevřené množiny (nebo ekvivalentně všechny uzavřené množiny).

Sady Borel jsou důležité teorie míry, protože jakákoli míra definovaná na otevřených množinách prostoru nebo na uzavřených množinách prostoru musí být definována také na všech Borelových sadách daného prostoru. Jakákoli míra definovaná na sadách Borel se nazývá a Borelův rozměr. Sady Borel a související Borelova hierarchie hraje také zásadní roli v deskriptivní teorie množin.

V některých kontextech jsou sady Borel definovány tak, aby je generoval kompaktní sady topologického prostoru, spíše než otevřené množiny. Tyto dvě definice jsou pro mnohé ekvivalentní dobře vychovaný prostory, včetně všech Hausdorff σ-kompaktní prostory, ale ve více se může lišit patologické mezery.

Generování Borel algebry

V případě, že X je metrický prostor lze popsat borelovu algebru v prvním smyslu generativně jak následuje.

Pro sbírku T podskupin X (tj. pro jakoukoli podmnožinu souboru napájecí sada P (X) z X), nechť

• ${ displaystyle T _ { sigma}}$ být všechny spočítatelné svazky prvků T
• ${ displaystyle T _ { delta}}$ být všechny spočítatelné průniky prvků T
• ${ displaystyle T _ { delta sigma} = (T _ { delta}) _ { sigma}.}$

Nyní definujte pomocí transfinitní indukce sekvence G^m, kde m je pořadové číslo následujícím způsobem:

• Pro základní případ definice nechte ${ displaystyle G ^ {0}}$ být sbírkou otevřených podskupin X.
• Li i není mezní pořadové číslo, pak i má bezprostředně předcházející pořadové číslo i - 1. Nechat

  ${ displaystyle G ^ {i} = [G ^ {i-1}] _ { delta sigma}.}$

• Li i je limitní pořadové číslo, množina

  ${ displaystyle G ^ {i} = bigcup _ {j$

Tvrdí se, že Borelova algebra je G^ω₁, kde ω₁ je první nepočítatelné pořadové číslo. To znamená, že borelská algebra může být generováno iterací operace ze třídy otevřených množin

${ displaystyle G mapsto G _ { delta sigma}.}$

k prvnímu nespočetnému ordinálu.

K prokázání tohoto tvrzení si všimněte, že jakákoli otevřená množina v metrickém prostoru je spojením rostoucí sekvence uzavřených množin. Zejména doplnění sad map G^m do sebe pro jakýkoli limit pořadové číslo m; navíc pokud m je nepočítatelné limitní pořadové číslo, G^m je uzavřena pod početnými odbory.

Všimněte si, že pro každou sadu Borel B, existuje několik počitatelných pořadových α_B takhle B lze získat iterací operace nad α_B. Nicméně, jak B se mění ve všech sadách Borel, α_B se bude lišit přes všechny spočítatelné ordinály, a tedy první ordinál, na kterém jsou získány všechny množiny Borel, je ω₁, první nespočetný ordinál.

Příklad

Důležitý příklad, zejména v EU teorie pravděpodobnosti, je Borelova algebra na množině reálná čísla. Je to algebra, na které Borelův rozměr je definováno. Vzhledem k tomu, skutečná náhodná proměnná definované na a pravděpodobnostní prostor, své rozdělení pravděpodobnosti je ze své podstaty také měřítkem na Borel algebře.

Borel algebra na reals je nejmenší σ-algebra na R který obsahuje všechny intervaly.

Při konstrukci transfinitní indukcí lze ukázat, že v každém kroku je číslo sad je nanejvýš mohutnost kontinua. Celkový počet sad Borel je tedy menší nebo roven

${ displaystyle aleph _ {1} cdot 2 ^ { aleph _ {0}} , = 2 ^ { aleph _ {0}}}$.

Ve skutečnosti je mohutnost sbírky Borelových sad stejná jako u kontinua (v porovnání s počtem Lebesgue měřitelný sady, které existují, což je přísně větší a rovno ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ { aleph _ {0}}}}$).

Standardní Borelovy prostory a Kuratowského věty

Nechat X být topologickým prostorem. The Borelův prostor spojené s X je pár (X,B), kde B je σ-algebra Borelových množin X.

George Mackey definoval Borelův prostor poněkud odlišně, když napsal, že je to „množina společně s významným σ-polem podmnožin zvaných její množiny Borel.“^[1] Nicméně, moderní použití je volat rozlišující sub-algebra měřitelné sady a takové prostory měřitelné prostory. Důvodem tohoto rozdílu je to, že množiny Borel jsou σ-algebra generovaná otevřeno množiny (topologického prostoru), zatímco Mackeyova definice odkazuje na množinu vybavenou libovolný σ-algebra. Existují měřitelné prostory, které nejsou Borelovy prostory, pro jakoukoli volbu topologie na podkladovém prostoru.^[2]

Měřitelné prostory tvoří a kategorie ve kterém morfismy jsou měřitelné funkce mezi měřitelnými prostory. Funkce ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ je měřitelný Pokud si to odtáhne měřitelné sady, tj. pro všechny měřitelné sady B v Y, sada ${ displaystyle f ^ {- 1} (B)}$ je měřitelná v X.

Teorém. Nechat X být Polský prostor, tj. Topologický prostor takový, že existuje metrický d na X který definuje topologii X a to dělá X kompletní oddělitelný metrický prostor. Pak X jako je Borelův prostor izomorfní k jednomu z

1. R,
2. Z,
3. konečný prostor.

(Tento výsledek připomíná Maharamova věta.)

Skutečná linie je považována za Borelův prostor R, svazek R se spočetnou sadou a Rⁿ jsou izomorfní.

A standardní Borelův prostor je Borelův prostor spojený s a Polský prostor. Standardní Borelův prostor se vyznačuje až izomorfismem svou mohutností,^[3] a jakýkoli nespočetný standardní Borelův prostor má mohutnost kontinua.

Pro podmnožiny polských prostorů lze sady Borel charakterizovat jako ty sady, které jsou rozsahy spojitých injektivních map definovaných v polských prostorech. Mějte však na paměti, že rozsah spojité neinjektivní mapy nemusí být Borel. Vidět analytická sada.

Každý míra pravděpodobnosti na standardním Borelově prostoru se to změní na standardní pravděpodobnostní prostor.

Sady jiné než Borel

Příklad podmnožiny realit, která není Borel, kvůli Lusin,^[4] je popsán níže. Naproti tomu příklad a neměřitelná množina nemůže být vystaven, i když jeho existenci lze prokázat.

Každý iracionální číslo má jedinečné zastoupení nekonečna pokračující zlomek

${ displaystyle x = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac { 1} { ddots ,}}}}}}}}}$

kde ${ displaystyle a_ {0}}$ je nějaký celé číslo a všechna ostatní čísla ${ displaystyle a_ {k}}$ jsou pozitivní celá čísla. Nechat ${ displaystyle A}$ být množina všech iracionálních čísel, která odpovídají sekvencím ${ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, tečky)}$ s následující vlastností: existuje nekonečno subsekvence ${ displaystyle (a_ {k_ {0}}, a_ {k_ {1}}, tečky)}$ tak, že každý prvek je a dělitel dalšího prvku. Tato sada ${ displaystyle A}$ není Borel. Ve skutečnosti je analytický a dokončit ve třídě analytických sad. Více podrobností viz deskriptivní teorie množin a kniha od Kechris, zejména Cvičení (27.2) na straně 209, Definice (22.9) na straně 169 a Cvičení (3.4) (ii) na straně 14.

Je důležité si uvědomit, že zatímco ${ displaystyle A}$ mohou být konstruovány v ZF, nelze prokázat, že jsou jiné než Borel pouze v ZF. Ve skutečnosti je to v souladu se ZF ${ displaystyle mathbb {R}}$ je spočetná unie spočetných množin,^[5] takže každá podmnožina ${ displaystyle mathbb {R}}$ je sada Borel.

Další non-Borel sada je inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {- 1} [0]}$ z funkce nekonečné parity ${ displaystyle f colon {0,1 } ^ { omega} na {0,1 }}$. Jedná se však o důkaz existence (prostřednictvím axiomu volby), nikoli o explicitní příklad.

Alternativní neekvivalentní definice

Podle Paul Halmos,^[6] podmnožina lokálně kompaktního Hausdorffova topologického prostoru se nazývá a Sada Borel pokud patří k nejmenším σ – kroužek obsahující všechny kompaktní sady.

Norberg a Vervaat ^[7] předefinovat borelskou algebru topologického prostoru ${ displaystyle X}$ jako ${ displaystyle sigma}$–Algebra generovaná jejími otevřenými podmnožinami a její kompaktní nasycené podmnožiny. Tato definice je vhodná pro aplikace v případě, že ${ displaystyle X}$ není Hausdorff. Shoduje se s obvyklou definicí, pokud ${ displaystyle X}$ je spočítatelné druhé nebo pokud je každá kompaktní nasycená podmnožina uzavřena (což je případ zejména, pokud ${ displaystyle X}$ je Hausdorff).

Viz také

• Baire sada
• Válcová σ-algebra
• Polský prostor
• Popisná teorie množin
• Borelova hierarchie

Poznámky

Reference

• William Arveson, Pozvánka na C * -algebry, Springer-Verlag, 1981. (Viz kapitola 3, kde je uvedena vynikající expozice Polská topologie)
• Richard Dudley, Skutečná analýza a pravděpodobnost. Wadsworth, Brooks a Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teorie měření. D. van Nostrand Co.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Viz zejména odst. 51 „Sady Borel a Baire“.
• Halsey Royden, Skutečná analýza, Prentice Hall, 1988
• Alexander S.Kechris, Klasická deskriptivní teorie množin, Springer-Verlag, 1995 (Postgraduální texty v Math., Sv. 156)

externí odkazy

• "Borel set", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Formální definice sad Borel v Systém Mizar a seznam vět které o tom byly formálně prokázány.
• Weisstein, Eric W. "Borel Set". MathWorld.