Střední kategorie - Mid-range

v statistika, střední rozsah nebo středně extrémní souboru hodnot statistických údajů je aritmetický průměr maximální a minimální hodnoty v a soubor dat, definováno jako:^[1]

${ displaystyle M = { frac { max x + min x} {2}}.}$

Střední rozsah je středem rozsah; jako takový je to míra centrální tendence.

Střední rozsah se v praktické statistické analýze používá jen zřídka, protože chybí účinnost jako odhadce pro většinu distribucí zájmu, protože ignoruje všechny mezilehlé body a chybí robustnost, protože odlehlé hodnoty to výrazně mění. Je to skutečně jedna z nejméně účinných a nejméně spolehlivých statistik. Ve zvláštních případech však najde uplatnění: jedná se o maximálně efektivní odhadce pro střed rovnoměrného rozdělení, oříznutou robustnost adres středních rozsahů a jako L-odhadce, je snadné jej pochopit a vypočítat.

Robustnost

Středový rozsah je vysoce citlivý na odlehlé hodnoty a ignoruje všechny datové body kromě dvou. Jedná se tedy o velmirobustní statistika, které mají bod poruchy 0, což znamená, že jediné pozorování jej může libovolně změnit. Dále je velmi ovlivněn odlehlými hodnotami: zvýšení maxima vzorku nebo snížení minima vzorku o X změní střední rozsah o ${ displaystyle x / 2,}$ zatímco mění průměr vzorku, který má také bod rozdělení 0, pouze o ${ displaystyle x / n.}$ V praktické statistice má tedy malé využití, pokud již nejsou zpracovány odlehlé hodnoty.

A oříznutý střední pásmo je známé jako střední shrnutí - n% oříznutého středního pásma je průměrem n% a (100−n)% percentilů a je robustnější, má a bod poruchy z n%. Uprostřed nich je midhinge, což je 25% středního přehledu. The medián lze interpretovat jako plně oříznutý (50%) střední rozsah; toto souhlasí s konvencí, že medián sudého počtu bodů je průměrem dvou středních bodů.

Tyto ořezané midranges jsou také zajímavé jako deskriptivní statistika nebo jako L-odhady centrálního umístění nebo šikmost: rozdíly mezi středy, jako je midhinge minus medián, dávají míry šikmosti v různých bodech ocasu.^[2]

Účinnost

Přes své nevýhody je v některých případech užitečné: střední pásmo je vysoce účinný odhadce μ, vzhledem k malému vzorku dostatečně platykurtic distribuce, ale je neefektivní pro mezokurtic distribuce, například normální.

Například pro a kontinuální rovnoměrné rozdělení s neznámým maximem a minimem je střední rozsah UMVU odhad střední hodnoty. The maximální vzorek a minimální vzorek spolu s velikostí vzorku jsou dostatečnou statistikou pro maximální a minimální populaci - distribuce dalších vzorků, podmíněná daným maximem a minimem, je pouze jednotné rozdělení mezi maximem a minimem, a tedy nepřidává žádné informace. Vidět Problém německého tanku pro další diskusi. Střední rozsah, který je nestranným a dostatečným odhadcem populačního průměru, je tedy ve skutečnosti UMVU: použití vzorového průměru jen přidává šum na základě neinformativního rozdělení bodů v tomto rozsahu.

Naopak pro normální rozdělení je průměr vzorku odhadem UMVU průměru. U platykurtických distribucí, o nichž si lze často myslet, že jsou mezi rovnoměrným a normálním rozdělením, se tedy informativita středních vzorkových bodů versus extrémní hodnoty liší od „stejného“ pro normální po „neinformativní“ pro rovnoměrné a pro různé distribuce , jeden nebo druhý (nebo jejich kombinace) může být nejúčinnější. Robustní analog je trimean, který průměruje midhinge (25% oříznutý střední rozsah) a medián.

Malé vzorky

Pro malé velikosti vzorků (n od 4 do 20) čerpané z dostatečně platykurtické distribuce (negativní nadměrná špičatost, definované jako γ₂ = (μ₄/ (μ₂) ²) - 3), střední rozsah je účinným odhadcem průměru μ. Následující tabulka shrnuje empirická data srovnávající tři odhady průměru pro distribuce rozmanité špičatosti; the upravený průměr je zkrácený průměr, kde jsou eliminovány maximum a minimum.^[3][4]

Pro n = 1 nebo 2, střední pásmo a průměr jsou stejné (a shodují se s mediánem) a jsou nejúčinnější pro všechna rozdělení. Pro n = 3, upravený průměr je medián a místo toho je průměr nejúčinnějším měřítkem centrální tendence k hodnotám y₂ od 2,0 do 6,0 a také od -0,8 do 2,0.

Vlastnosti vzorkování

Pro vzorek velikosti n z standardní normální rozdělení, střední rozsah M je nestranný a má rozptyl daný:^[5]

${ displaystyle operatorname {var} (M) = { frac { pi ^ {2}} {24 ln (n)}}.}$

Pro vzorek velikosti n ze standardu Laplaceova distribuce, střední třída M je nestranný a má rozptyl daný:^[6]

${ displaystyle operatorname {var} (M) = { frac { pi ^ {2}} {12}}}$

a zejména se rozptyl nesnižuje na nulu, jak roste velikost vzorku.

Pro vzorek velikosti n od nuly rovnoměrné rozdělení, střední třída M je nezaujatý, nM má asymptotická distribuce což je Laplaceova distribuce.^[7]

Odchylka

Zatímco průměr množiny hodnot minimalizuje součet čtverců odchylky a medián minimalizuje průměrná absolutní odchylka, střední pásmo minimalizuje maximální odchylka (definováno jako ${ displaystyle max vlevo | x_ {i} -m vpravo |}$): jedná se o řešení variačního problému.

Viz také

• Rozsah (statistika)
• Midhinge

Reference