Antitetické se liší - Antithetic variates

v statistika, antitetický variuje metoda je a redukce rozptylu technika používaná v Metody Monte Carlo. Vzhledem k tomu, že redukce chyb v simulovaném signálu (pomocí Metody Monte Carlo ) má odmocnina konvergence, velmi velký počet vzorek cesty jsou nutné k získání přesného výsledku. Metoda antitetické variace snižuje rozptyl výsledků simulace.^[1][2]

Základní princip

Technika antitetické variace spočívá v tom, že pro každou získanou cestu vzorku se vezme jeho antitetická cesta - to je cesta ${displaystyle {varepsilon _ {1}, tečky, varepsilon _ {M}}}$ také vzít ${displaystyle {-varepsilon _ {1}, tečky, -varepsilon _ {M}}}$. Výhoda této techniky je dvojí: snižuje počet normální vzorky, které mají být odebrány ke generování N cesty, a to snižuje rozptyl cest vzorku, což zvyšuje přesnost.

Předpokládejme, že bychom to chtěli odhadnout

${displaystyle heta = mathrm {E} (h (X)) = mathrm {E} (Y),}$

Za to jsme vygenerovali dva vzorky

${displaystyle Y_ {1} {ext {and}} Y_ {2},}$

Nestranný odhad ${displaystyle {heta}}$ darováno

${displaystyle {hat {heta}} = {frac {{hat {heta}} _ {1} + {hat {heta}} _ {2}} {2}}.}$

A

${displaystyle {ext {Var}} ({hat {heta}}) = {frac {{ext {Var}} (Y_ {1}) + {ext {Var}} (Y_ {2}) + 2 {ext { Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})} {4}}}$

takže rozptyl se sníží, pokud ${displaystyle {ext {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})}$ je negativní.

Příklad 1

Pokud je zákon proměnné X následuje a rovnoměrné rozdělení podél [0, 1] bude první vzorek ${displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n}}$, kde, pro všechny dané i, ${displaystyle u_ {i}}$ se získává z U(0, 1). Druhý vzorek je sestaven z ${displaystyle u '_ {1}, ldots, u' _ {n}}$, kde, pro všechny dané i: ${displaystyle u '_ {i} = 1-u_ {i}}$. Pokud je sada ${displaystyle u_ {i}}$ je jednotný podél [0, 1], stejně tak ${displaystyle u '_ {i}}$. Kovariance je navíc záporná, což umožňuje počáteční snížení odchylky.

Příklad 2: integrální výpočet

Chtěli bychom to odhadnout

${displaystyle I = int _ {0} ^ {1} {frac {1} {1 + x}}, mathrm {d} x.}$

Přesný výsledek je ${displaystyle I = ln 2 cca 0,69314718}$. Na tento integrál lze pohlížet jako na očekávanou hodnotu ${displaystyle f (U)}$, kde

${displaystyle f (x) = {frac {1} {1 + x}}}$

a U následuje a rovnoměrné rozdělení  [0, 1].

Následující tabulka porovnává klasický odhad Monte Carlo (velikost vzorku: 2n, kde n = 1500) k antitetickému variačnímu odhadu (velikost vzorku: n, doplněný transformovaným vzorkem 1 -u_i):

	Odhad	Standardní odchylka
Klasický odhad	0.69365	0.00255
Antitetické variace	0.69399	0.00063

Použití metody antitetické variace k odhadu výsledku ukazuje významné snížení rozptylu.

Reference