Funkce podepsat - Sign function

v matematika, znaková funkce nebo funkce signum (z signum, latinský pro "znak") je zvláštní matematická funkce který extrahuje podepsat a reálné číslo. V matematických výrazech je znaková funkce často reprezentována jako sgn.
Definice
Signum funkce a reálné číslo X je definována takto:
Vlastnosti

Jakékoli reálné číslo lze vyjádřit jako součin jeho čísla absolutní hodnota a jeho znaková funkce:
Z toho vyplývá, že kdykoli X není rovno 0, kterou máme
Podobně pro žádný reálné číslo X,
Můžeme také zjistit, že:
Funkce signum je derivát funkce absolutní hodnoty až do (ale bez zahrnutí) neurčitosti na nule. Více formálně, v integrační teorii to je slabý derivát, a v teorii konvexních funkcí subdiferenciální absolutní hodnoty při 0 je interval , "vyplnění" funkce znaménka (subdiferenciál absolutní hodnoty není jednotný s hodnotou 0). Všimněte si, výsledná síla X je 0, obdoba běžné derivace X. Čísla se ruší a vše, co nám zbylo, je znamení X.
- .
Signumová funkce je diferencovatelná s derivací 0 všude kromě 0. Není diferencovatelná na 0 v běžném smyslu, ale pod zobecněným pojmem diferenciace v teorie distribuce, je derivace funkce signum dvojnásobná Diracova delta funkce, což lze prokázat pomocí identity
(kde H(X) je Funkce kroku Heaviside pomocí standardu H(0) = 1/2 Pomocí této identity je snadné odvodit distribuční derivaci:
The Fourierova transformace funkce signum je[3]
- ,
kde p. v. znamená Hodnota Cauchyho jistiny.
Signum lze také napsat pomocí Iverson držák notace:
Signum lze také napsat pomocí podlaha a absolutní hodnota funkce:
Pro k ≫ 1, plynulá aproximace funkce znaménka je
Další aproximace je
který je ostřejší jako ε → 0; Všimněte si, že toto je derivát √X2 + ε2. To je inspirováno skutečností, že výše uvedené je přesně stejné pro všechny nenulové X -li ε = 0, a má výhodu jednoduchého zobecnění na vyšší dimenzionální analogy znakové funkce (například parciální derivace √X2 + y2).
Vidět Funkce Heaviside step - Analytické aproximace.
Komplexní signum
Funkci signum lze zobecnit na komplexní čísla tak jako:
pro jakékoli komplexní číslo z až na z = 0. Znaménko daného komplexního čísla z je směřovat na jednotkový kruh z složité letadlo to je nejblíže z. Pak pro z ≠ 0,
kde arg je funkce komplexního argumentu.
Z důvodů symetrie, a aby to bylo správné zobecnění funkce signum na reals, také v komplexní doméně, kterou obvykle definuje, pro z = 0:
Další zobecnění funkce znaménka pro reálné a složité výrazy je csgn,[4] který je definován jako:
kde Re(z) je skutečnou součástí z a Jsem (z) je imaginární součástí z.
Pak máme (pro z ≠ 0):
Zobecněná funkce signum
Ve skutečných hodnotách X, je možné definovat a zobecněná funkce –Verze funkce signum, ε(X) takhle ε(X)2 = 1 všude, včetně bodu X = 0 (na rozdíl od sgn, pro který sgn (0)2 = 0). Toto zobecněné znamení umožňuje konstrukci algebra zobecněných funkcí, ale cenou takového zevšeobecnění je ztráta komutativita. Zejména zobecněné signum anticommutes s funkcí Dirac delta[5]
navíc, ε(X) nelze vyhodnotit na X = 0; a speciální jméno, ε je nutné jej odlišit od funkce sgn. (ε(0) není definován, ale sgn (0) = 0.)
Viz také
- Absolutní hodnota
- Funkce Heaviside
- Záporné číslo
- Obdélníková funkce
- Sigmoidní funkce (Tvrdý sigmoid )
- Kroková funkce (Po částech konstantní funkce )
- Třícestné srovnání
- Nulový přechod
Poznámky
- ^ Weisstein, Eric W. "Podepsat". MathWorld.
- ^ Weisstein, Eric W. "Funkce Heaviside Step". MathWorld.
- ^ Burrows, B.L .; Colwell, D. J. (1990). Msgstr "Fourierova transformace funkce jednotkového kroku". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 21 (4): 629-635. doi:10.1080/0020739900210418.
- ^ Dokumentace Maple V. 21. května 1998
- ^ Yu.M. Shirokov (1979). "Algebra jednorozměrných zobecněných funkcí". TMF. 39 (3): 471–477. doi:10.1007 / BF01017992. Archivovány od originál dne 2012-12-08.