Apéryho konstanta - Apérys constant - Wikipedia

	Seznam čísel; Iracionální čísla; ζ(3); √2; √3; √5; φ; E; π;
Binární	1.0011001110111010…
Desetinný	1.2020569031595942854…
Hexadecimální	1,33 BA004F00621383…
Pokračující zlomek	; Všimněte si, že tato pokračující část je nekonečná, ale není známo, zda tato pokračující část je periodicky nebo ne.

v matematika, na křižovatce teorie čísel a speciální funkce, Apéryho konstanta je součet z reciproční pozitivního kostky. To znamená, že je definován jako číslo

{ displaystyle { begin {aligned} zeta (3) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {3}}} & = lim _ {n to infty} left ({ frac {1} {1 ^ {3}}} + { frac {1} {2 ^ {3}}} + cdots + { frac {1} { n ^ {3}}} vpravo) end {zarovnáno}}}

kde $ζ$ je Funkce Riemann zeta. Má přibližnou hodnotu^[1]

ζ (3) = 1.20205 6903159594285399738161511449990764986292 \dots

(sekvence A002117 v OEIS ).

The konstantní je pojmenován po Roger Apéry. Vzniká přirozeně v řadě fyzikálních problémů, včetně elektronů druhého a třetího řádu gyromagnetický poměr použitím kvantová elektrodynamika. Vzniká také při analýze náhodné minimální kostry^[2] a ve spojení s funkce gama při řešení určitých integrálů zahrnujících exponenciální funkce v kvocientu, které se příležitostně objevují ve fyzice, například při hodnocení dvojrozměrného případu Debye model a Stefan – Boltzmannův zákon.

Iracionální číslo

$ζ (3)$ byl pojmenován Apéryho konstanta po francouzském matematikovi Roger Apéry, který v roce 1978 dokázal, že se jedná o iracionální číslo.^[3] Tento výsledek je znám jako Apéryho věta. Původní důkaz je složitý a těžko uchopitelný,^[4] a jednodušší důkazy byly nalezeny později.^[5]

Beukersův zjednodušený důkaz iracionality zahrnuje aproximaci integrantu známého trojného integrálu pro ${ displaystyle zeta (3)}$ ,

{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz} } , dx , dy , dz,}

podle Legendární polynomy Zejména článek van der Poortena tento přístup zaznamenává a upozorňuje na to

{ displaystyle I_ {3}: = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {P_ {n} (x ) P_ {n} (y) log (xy)} {1-xy}} , dx , dy = b_ {n} zeta (3) -a_ {n},}

kde ${ displaystyle | I | leq zeta (3) (1 - { sqrt {2}}) ^ {4n}}$ , ${ displaystyle P_ {n} (z)}$ jsou Legendární polynomy a podsekvence ${ displaystyle b_ {n}, 2 operatorname {lcm} (1,2, ldots, n) cdot a_ {n} in mathbb {Z}}$ jsou celá čísla nebo téměř celá čísla.

Stále není známo, zda Apéryho konstanta je transcendentální.

Sériové reprezentace

Klasický

Kromě základní řady:

{ displaystyle zeta (3) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3}}},}

Leonhard Euler dal sérii reprezentaci:^[6]

{ displaystyle zeta (3) = { frac { pi ^ {2}} {7}} vlevo (1-4 součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { zeta ( 2k)} {2 ^ {2k} (2k + 1) (2k + 2)}} vpravo)}

v roce 1772, který byl následně několikrát znovuobjeven.^[7]

Další klasická reprezentace sérií zahrnují:

{ displaystyle { begin {aligned} zeta (3) & = { frac {8} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 ) ^ {3}}} zeta (3) & = { frac {4} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k }} {(k + 1) ^ {3}}} end {zarovnáno}}}

Rychlá konvergence

Od 19. století našla řada matematiků řadu zrychlení konvergence pro výpočet desetinných míst $ζ (3)$ . Od 90. let se toto hledání zaměřuje na výpočetně efektivní řady s rychlými konvergenčními rychlostmi (viz část „Známé číslice ").

Následující reprezentaci série našel A. A. Markov v roce 1890,^[8] nově objevený Hjortnaesem v roce 1953,^[9] a znovu objeven a široce inzerován Apéry v roce 1979:^[3]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {5} {2}} součet _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {k! ^ { 2}} {(2k)! K ^ {3}}}}

Následující reprezentace řady dává (asymptoticky) 1,43 nových správných desetinných míst na člen:^[10]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {4}} součet _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k-1} { frac {(k-1 )! ^ {3} (56k ^ {2} -32k + 5)} {(2k-1) ^ {2} (3k)!}}}

Následující reprezentace řady dává (asymptoticky) 3,01 nových správných desetinných míst na člen:^[11]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {64}} součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {k! ^ {10} (205k ^ {2} + 250k + 77)} {(2k + 1)! ^ {5}}}}

Následující reprezentace řady dává (asymptoticky) 5,04 nových správných desetinných míst na člen:^[12]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {24}} součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(2k + 1)! ^ {3} (2k)! ^ {3} k! ^ {3} (126392k ^ {5} + 412708k ^ {4} + 531578k ^ {3} + 336367k ^ {2} + 104000k + 12463)} {( 3k + 2)! (4k + 3)! ^ {3}}}}

Používá se k výpočtu Apéryho konstanty s několika miliony správných desetinných míst.^[13]

Následující reprezentace řady dává (asymptoticky) 3,92 nových správných desetinných míst na člen:^[14]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} (2k)! ^ {3} (k + 1)! ^ {6} (40885k ^ {5} + 124346k ^ {4} + 150160k ^ {3} + 89888k ^ {2} + 26629k + 3116)} {(k + 1) ^ {2} (3k + 3)! ^ {4}}}}

Číslice po číslici

V roce 1998 Broadhurst dal sérii reprezentaci, která umožňuje libovolné binární číslice vypočítat, a tedy získat konstantu v téměř lineární čas, a logaritmický prostor.^[15]

Ostatní

Následující zastoupení série našel Ramanujan:^[16]

{ displaystyle zeta (3) = { frac {7} {180}} pi ^ {3} -2 součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ { 3} (e ^ {2 pi k} -1)}}}

Následující zastoupení série našel Simon Plouffe v roce 1998:^[17]

{ displaystyle zeta (3) = 14 součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} sinh ( pi k)}} - { frac {11 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} -1)}} - { frac {7 } {2}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {3} (e ^ {2 pi k} +1)}}.}

Srivastava (2000) shromáždil mnoho sérií, které konvergují k Apéryho konstantě.

Integrální reprezentace

Existuje celá integrální reprezentace Apéryho konstanty. Některé z nich jsou jednoduché, jiné jsou komplikovanější.

Jednoduché vzorce

Například tento vyplývá ze součtové reprezentace Apéryho konstanty:

{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac {1} {1-xyz}} , dx , dy , dz}

.

Další dva vycházejí přímo ze známých integrálních vzorců pro Funkce Riemann zeta:

{ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} , dx}

a

{ displaystyle zeta (3) = { frac {2} {3}} int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {2}} {e ^ {x} +1}} , dx}

.

Ten vyplývá z Taylorovy expanze $χ 3 (E ix)$ o $X = \pm .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} π / 2$ , kde $χ ν (z)$ je Legendre chi funkce:

{ displaystyle zeta (3) = { frac {4} {7}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} x log {( sec {x} + tan {x})} , dx}

Všimněte si podobnosti s

{ displaystyle G = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} log {( sec {x} + tan {x})} , dx}

kde $G$ je Katalánská konstanta.

Složitější vzorce

Mezi další vzorce patří:^[18]

{ displaystyle zeta (3) = pi ! ! int _ {0} ^ { infty} ! { frac { cos (2 arctan {x})} { vlevo (x ^ { 2} +1 right) left ( cosh { frac {1} {2}} pi x right) ^ {2}}} , dx}

,

a,^[19]

{ displaystyle zeta (3) = - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (xy)} {, 1-xy ,}} , dx , dy = - int _ {0} ^ {1} ! ! int _ {0} ^ {1} { frac { log (1-xy)} {, xy ,}} , dx , dy}

,

Smícháním těchto dvou vzorců lze získat:

{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x ,}} , dx}

,

Symetrií,

{ displaystyle zeta (3) = int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, 1-x ,}} , dx}

,

Sečtením obou, ${ displaystyle zeta (3) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {1} ! ! { frac { log (x) log (1-x)} {, x (1-x) ,}} , dx}$ .

Taky,^[20]

{ displaystyle { begin {aligned} zeta (3) & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! int _ {0} ^ {1} ! { frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log { frac {1} {x}}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx & = { frac {8 pi ^ {2}} {7}} ! ! Int _ {1} ^ { infty} ! { Frac {x left (x ^ {4} -4x ^ {2} +1 right) log log {x}} {, (1 + x ^ {2}) ^ {4} ,}} , dx end {zarovnáno}}}

.

Spojení s deriváty společnosti funkce gama

{ displaystyle zeta (3) = - { tfrac {1} {2}} Gamma '' '(1) + { tfrac {3} {2}} Gamma' (1) Gamma '' ( 1) - { big (} Gamma '(1) { big)} ^ {3} = - { tfrac {1} {2}} , psi ^ {(2)} (1)}

je také velmi užitečný pro odvození různých integrálních reprezentací pomocí známých integrálních vzorců pro gama a polygamma-funkce.^[21]

Známé číslice

Počet známých číslic Apéryho konstanty $ζ (3)$ během posledních desetiletí dramaticky vzrostl. To je způsobeno jak zvyšujícím se výkonem počítačů, tak vylepšením algoritmů.

Počet známých desetinných míst Apéryho konstanty $ζ (3)$
datum	Desetinná čísla	Výpočet provedl
1735	16	Leonhard Euler
neznámý	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520000	Greg J. Poplatek & Simon Plouffe
1997	1000000	Bruno Haible a Thomas Papanikolaou
Květen 1997	10536006	Patrick Demichel
Února 1998	14000074	Sebastian Wedeniwski
Březen 1998	32000213	Sebastian Wedeniwski
Červenec 1998	64000091	Sebastian Wedeniwski
Prosince 1998	128000026	Sebastian Wedeniwski^[1]
Září 2001	200001000	Shigeru Kondo a Xavier Gourdon
Únor 2002	600001000	Shigeru Kondo a Xavier Gourdon
Únor 2003	1000000000	Patrick Demichel a Xavier Gourdon^[22]
Dubna 2006	10000000000	Shigeru Kondo a Steve Pagliarulo
21. ledna 2009	15510000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[23]
15. února 2009	31026000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[23]
17. září 2010	100000001000	Alexander J. Yee^[24]
23. září 2013	200000001000	Robert J. Setti^[24]
7. srpna 2015	250000000000	Ron Watkins^[24]
21. prosince 2015	400000000000	Dipanjan Nag^[25]
13. srpna 2017	500000000000	Ron Watkins^[24]
26. května 2019	1000000000000	Ian Cutress^[26]
26. července 2020	1200000000100	Seungmin Kim^[27]^[28]

Reciproční

The reciproční z $ζ (3)$ je pravděpodobnost že jakékoli tři kladná celá čísla, náhodně vybrané, bude relativně prime (v tom smyslu, že jako $N$ jde do nekonečna, pravděpodobnost, že tři kladná celá čísla menší než $N$ náhodně vybrané rovnoměrně budou relativně prvotní přístupy k této hodnotě).^[29]

Rozšíření na $ζ (2 n + 1)$

Mnoho lidí se pokusilo rozšířit Apéryho důkaz $ζ (3)$ je iracionální vůči ostatním hodnotám funkce zeta s lichými argumenty. Nekonečně mnoho čísel $ζ (2 n + 1)$ musí být iracionální,^[30] a alespoň jedno z čísel $ζ (5)$ , $ζ (7)$ , $ζ (9)$ , a $ζ (11)$ musí být iracionální.^[31]

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Wedeniwski (2001).
^ Frieze (1985).
^ ^A ^b Apéry (1979).
^ van der Poorten (1979).
^ Beukers (1979); Zudilin (2002).
^ Euler (1773).
^ Srivastava (2000), str. 571 (1,11).
^ Markov (1890).
^ Hjortnaes (1953).
^ Amdeberhan (1996).
^ Amdeberhan & Zeilberger (1997).
^ Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001). Ve své zprávě Simonovi Plouffeovi Sebastian Wedeniwski uvádí, že z tohoto vzorce odvozil Amdeberhan & Zeilberger (1997). Rok objevu (1998) je zmíněn v Tabulka rekordů Simona Plouffeho (8. dubna 2001).
^ Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001).
^ Mohammed (2005).
^ Broadhurst (1998).
^ Berndt (1989, kapitola 14, vzorce 25.1 a 25.3).
^ Plouffe (1998).
^ Jensen (1895).
^ Beukers (1979).
^ Blagouchine (2014).
^ Evgrafov a kol. (1969), cvičení 30.10.1.
^ Gourdon a Sebah (2003).
^ ^A ^b Yee (2009).
^ ^A ^b ^C ^d Yee (2017).
^ Nag (2015).
^ Záznamy vytvořené y-cruncherem, vyvoláno 8. června 2019
^ Záznamy vytvořené y-cruncherem, archivovány z originál dne 2020-08-10, vyvoláno 10. srpna 2020
^ Apéryho neustálý světový rekord Seungmin Kim, vyvoláno 28. července 2020
^ Mollin (2009).
^ Rivoal (2000).
^ Zudilin (2001).

Reference

Amdeberhan, Tewodros (1996), "Rychlejší a rychlejší konvergentní série pro ${ displaystyle zeta (3)}$ ", El. J. Combinat., 3 (1).
Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron (1997), „Hypergeometrická akcelerace řady metodou WZ“, El. J. Combinat., 4 (2), arXiv:matematika / 9804121, Bibcode:Matematika 1998 ... 4121A.
Apéry, Roger (1979), „Irrationalité de ${ displaystyle zeta 2}$ et ${ displaystyle zeta 3}$ ", Astérisque, 61: 11–13.
Berndt, Bruce C. (1989), Ramanujanovy notebooky, část II, Springer.
Beukers, F. (1979), „Poznámka o iracionalitě ${ displaystyle zeta (2)}$ a ${ displaystyle zeta (3)}$ ", Býk. London Math. Soc., 11 (3): 268–272, doi:10.1112 / blms / 11.3.268.
Blagouchine, Iaroslav V. (2014), „Znovuobjevení Malmstenových integrálů, jejich hodnocení metodami konturové integrace a některé související výsledky“, Deník Ramanujan, 35 (1): 21–110, doi:10.1007 / s11139-013-9528-5, S2CID 120943474.
Broadhurst, D.J. (1998), Polylogaritmické žebříky, hypergeometrické řady a desetimilionté číslice ${ displaystyle zeta (3)}$ a ${ displaystyle zeta (5)}$ , arXiv:math.CA/9803067.
Euler, Leonhard (1773), „Exercitationes analyticae“ (PDF), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (v latině), 17: 173–204, vyvoláno 2008-05-18.
Evgrafov, M. A .; Bezhanov, K. A .; Sidorov, Y. V .; Fedoriuk, M. V .; Shabunin, M. I. (1969), Sbírka problémů v teorii analytických funkcí [v ruštině], Moskva: Nauka.
Frieze, A. M. (1985), „O hodnotě náhodného minimálního problému překlenujícího stromu“, Diskrétní aplikovaná matematika, 10 (1): 47–56, doi:10.1016 / 0166-218X (85) 90058-7, PAN 0770868.
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), Apéryho konstanta: ${ displaystyle zeta (3)}$ .
Hjortnaes, M. M. (srpen 1953), Overføring av rekken ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {k ^ {3}}} vpravo)}$ til et bestemt integrální, v Proc. 12. skandinávský matematický kongres, Lund, Švédsko: Scandinavian Mathematical Society, s. 211–213.
Jensen, Johan Ludwig William Valdemar (1895), „Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques příbuzní aux réponses du MM. Franel et Kluyver“, L'Intermédiaire des Mathématiciens, II: 346–347.
Markov, A. A. (1890), „Mémoire sur la transformation des séries peu conversgentes en séries très conversgentes“, Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, č. 9: 18pp.
Mohammed, Mohamud (2005), „Nekonečné rodiny zrychlených řad pro některé klasické konstanty metodou Markov-WZ“, Diskrétní matematika a teoretická informatika, 7: 11–24.
Mollin, Richard A. (2009), Pokročilá teorie čísel s aplikacemi, Diskrétní matematika a její aplikace, CRC Press, s. 220, ISBN 9781420083293.
Plouffe, Simon (1998), Identity inspirované notebooky Ramanujan II.
Rivoal, Tanguy (2000), „La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 331 (4): 267–270, arXiv:matematika / 0008051, Bibcode:2000CRASM.331..267R, doi:10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4, S2CID 119678120.
Srivastava, H. M. (prosinec 2000), „Některé rodiny rychle konvergentních reprezentací sérií pro funkce Zeta“ (PDF), Taiwanský žurnál matematiky, 4 (4): 569–599, doi:10.11650 / twjm / 1500407293, OCLC 36978119, vyvoláno 2015-08-22.
van der Poorten, Alfred (1979), „Důkaz, který Eulerovi chyběl ... Apéryho důkaz iracionality ${ displaystyle zeta (3)}$ " (PDF), Matematický zpravodaj, 1 (4): 195–203, doi:10.1007 / BF03028234, S2CID 121589323, archivovány z originál (PDF) dne 06.07.2011.
Wedeniwski, Sebastian (2001), Simon Plouffe (ed.), Hodnota Zeta (3) na 1 000 000 míst Projekt Gutenberg (Zpráva Simonovi Plouffeovi se všemi desetinnými místy, ale s kratším textem, který upravil Simon Plouffe).
Wedeniwski, Sebastian (13. prosince 1998), Hodnota Zeta (3) na 1 000 000 míst (Zpráva Simonovi Plouffeovi, s původním textem, ale pouze s několika desetinnými místy).
Yee, Alexander J. (2009), Velké výpočty.
Yee, Alexander J. (2017), Zeta (3) - Apéryho konstanta

Nag, Dipanjan (2015), Vypočtena Apéryho konstanta na 400 000 000 000 digit, světový rekord
Zudilin, Wadim (2001), „Jedno z čísel ${ displaystyle zeta (5)}$ , ${ displaystyle zeta (7)}$ , ${ displaystyle zeta (9)}$ , ${ displaystyle zeta (11)}$ je iracionální ", Russ. Matematika. Surv., 56 (4): 774–776, Bibcode:2001RuMaS..56..774Z, doi:10.1070 / RM2001v056n04ABEH000427.
Zudilin, Wadim (2002), Základní důkaz Apéryho věty, arXiv:matematika / 0202159, Bibcode:2002math ...... 2159Z.

Další čtení

Ramaswami, V. (1934), „Poznámky k Riemannově ${ displaystyle zeta}$ -funkce", J. London Math. Soc., 9 (3): 165–169, doi:10.1112 / jlms / s1-9.3.165.

externí odkazy

Weisstein, Eric W., "Apéryho konstanta", MathWorld
Plouffe, Simon, Zeta (3) nebo Apéry konstantní na 2 000 míst
Setti, Robert J. (2015), Apéryho konstanta - Zeta (3) - 200 miliard číslic, archivovány z originál dne 8. 10. 2013.

Tento článek včlení materiál od Apéryho konstanta na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[FOOTNOTEWedeniwski2001-1] A ^b Wedeniwski (2001).

[FOOTNOTEFrieze1985-2] Frieze (1985).

[FOOTNOTEApéry1979-3] A ^b Apéry (1979).

[FOOTNOTEvan_der_Poorten1979-4] van der Poorten (1979).

[5] Beukers (1979); Zudilin (2002).

[FOOTNOTEEuler1773-6] Euler (1773).

[FOOTNOTESrivastava2000p._571_(1.11)-7] Srivastava (2000), str. 571 (1,11).

[FOOTNOTEMarkov1890-8] Markov (1890).

[FOOTNOTEHjortnaes1953-9] Hjortnaes (1953).

[FOOTNOTEAmdeberhan1996-10] Amdeberhan (1996).

[FOOTNOTEAmdeberhanZeilberger1997-11] Amdeberhan & Zeilberger (1997).

[12] Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001). Ve své zprávě Simonovi Plouffeovi Sebastian Wedeniwski uvádí, že z tohoto vzorce odvozil Amdeberhan & Zeilberger (1997). Rok objevu (1998) je zmíněn v Tabulka rekordů Simona Plouffeho (8. dubna 2001).

[13] Wedeniwski (1998); Wedeniwski (2001).

[FOOTNOTEMohammed2005-14] Mohammed (2005).

[FOOTNOTEBroadhurst1998-15] Broadhurst (1998).

[16] Berndt (1989, kapitola 14, vzorce 25.1 a 25.3).

[FOOTNOTEPlouffe1998-17] Plouffe (1998).

[FOOTNOTEJensen1895-18] Jensen (1895).

[FOOTNOTEBeukers1979-19] Beukers (1979).

[FOOTNOTEBlagouchine2014-20] Blagouchine (2014).

[FOOTNOTEEvgrafovBezhanovSidorovFedoriuk1969exercise_30.10.1-21] Evgrafov a kol. (1969), cvičení 30.10.1.

[FOOTNOTEGourdonSebah2003-22] Gourdon a Sebah (2003).

[FOOTNOTEYee2009-23] A ^b Yee (2009).

[FOOTNOTEYee2017-24] A ^b ^C ^d Yee (2017).

[FOOTNOTENag2015-25] Nag (2015).

[26] Záznamy vytvořené y-cruncherem, vyvoláno 8. června 2019

[27] Záznamy vytvořené y-cruncherem, archivovány z originál dne 2020-08-10, vyvoláno 10. srpna 2020

[28] Apéryho neustálý světový rekord Seungmin Kim, vyvoláno 28. července 2020

[FOOTNOTEMollin2009-29] Mollin (2009).

[FOOTNOTERivoal2000-30] Rivoal (2000).

[FOOTNOTEZudilin2001-31] Zudilin (2001).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

Seznam čísel Iracionální čísla $ζ$ (3) √2 √3 √5 $φ$ $E$ $π$
Binární	1.0011001110111010…
Desetinný	1.2020569031595942854…
Hexadecimální	1,33 BA004F00621383…
Pokračující zlomek	${ displaystyle 1 + { frac {1} {4 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {18 + { cfrac {1} { ddots qquad {}}}}}} }}}}$ Všimněte si, že tato pokračující část je nekonečná, ale není známo, zda tato pokračující část je periodicky nebo ne.

Iracionální čísla
Chaitin ( $Ω$ ) Liouville primární ( $ρ$ ) Logaritmus 2 Gaussova ( $G$ ) Dvanáctý kořen 2 Apéryho ( $ζ (3)$ ) Plastický ( $ρ$ ) Druhá odmocnina ze 2 Poměr supergoldenů ( $ψ$ ) Erdős – Borwein ( $E$ ) Zlatý řez ( $φ$ ) Druhá odmocnina ze 3 Druhá odmocnina z 5 Poměr stříbra ( $δ S$ ) Euler ( $E$ ) Pi ( $π$ ) Pravděpodobnost univerzality ( $P U$ )
Schizofrenik Transcendentální Trigonometrický