Shodné číslo - Congruent number

Trojúhelník s oblastí 6, shodné číslo.

v matematika, a shodné číslo je pozitivní celé číslo to je oblast a pravoúhlý trojuhelník se třemi racionální číslo strany.^[1] Obecnější definice zahrnuje všechna kladná racionální čísla s touto vlastností.^[2]

Posloupnost (celočíselných) shodných čísel začíná na

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (sekvence A003273 v OEIS )

Například 5 je shodné číslo, protože je to oblast trojúhelníku (20/3, 3/2, 41/6). Podobně 6 je shodné číslo, protože je to oblast trojúhelníku (3,4,5). 3 a 4 nejsou shodná čísla.

Li q je tedy shodné číslo s²q je také shodné číslo pro jakékoli přirozené číslo s (pouhým vynásobením každé strany trojúhelníku číslem s) a naopak. To vede k pozorování, že zda nenulové racionální číslo q je shodné číslo závisí pouze na jeho zbytku v skupina

${ displaystyle mathbb {Q} ^ {*} / mathbb {Q} ^ {* 2}}$.

Každá třída reziduí v této skupině obsahuje přesně jednu celé číslo bez čtverců, a je tedy běžné uvažovat pouze o celých celých číslech bez čtverců, když mluvíme o shodných číslech.

Problém shodného čísla

Otázka určení, zda dané racionální číslo je kongruentní číslo, se nazývá shodný problém s číslem. Tento problém nebyl (od roku 2019) přiveden k úspěšnému řešení. Tunnellova věta poskytuje snadno testovatelné kritérium pro určení, zda je číslo shodné; ale jeho výsledek závisí na Birch a domněnka Swinnerton-Dyer, který je stále neprokázaný.

Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku, pojmenoval podle Pierre de Fermat, uvádí, že č číslo umocněné na druhou může být shodné číslo. Nicméně v podobě, kterou každý kongruum (rozdíl mezi po sobě jdoucími prvky v aritmetické posloupnosti tří čtverců) není čtvercový, bylo již známo (bez důkazu) Fibonacci.^[3] Každé kongruum je kongruentní číslo a každé kongruentní číslo je součinem kongrua a čtverce racionálního čísla.^[4] Určení, zda je číslo kongruum, je však mnohem jednodušší než určení, zda je kongruentní, protože pro kongrua existuje parametrizovaný vzorec, u kterého je třeba testovat pouze konečně mnoho hodnot parametrů.^[5]

Řešení

n je shodné číslo právě tehdy

${ displaystyle x ^ {2} + nt ^ {2} = y ^ {2}}$, ${ displaystyle x ^ {2} -nt ^ {2} = z ^ {2}}$

má řešení (pokud ano, pak má tato rovnice nekonečně mnoho řešení, jako Pellova rovnice ).^{[Citace je zapotřebí ]}

Vzhledem k řešení {x, y, z, t} lze získat {a, b, c} takové

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$, a ${ displaystyle { frac {ab} {2}} = n}$

z

${ displaystyle a = { frac {y-z} {t}}}$, ${ displaystyle b = { frac {y + z} {t}}}$, ${ displaystyle c = { frac {2x} {t}}.}$

Vztah k eliptickým křivkám

Otázka, zda je dané číslo shodné, se ukazuje jako rovnocenná podmínce, že určité eliptická křivka má pozitivní hodnost.^[2] Níže je uveden alternativní přístup k myšlence (jak lze v zásadě najít také v úvodu k Tunnellově práci).

Předpokládat A, b, C jsou čísla (nemusí být nutně kladná nebo racionální), která splňují následující dvě rovnice:

${ displaystyle { begin {matrix} a ^ {2} + b ^ {2} & = & c ^ {2}, { tfrac {1} {2}} ab & = & n. end {matrix}} }$

Pak nastavte X = n(A+C)/b ay = 2n²(A+C)/b².Výpočet ukazuje

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}$

a y není 0 (pokud y = 0 pak A = -C, tak b = 0, ale (​¹⁄₂)ab = n je nenulová, rozpor).

Naopak, pokud X a y jsou čísla, která splňují výše uvedenou rovnici a y není 0, nastavenoA = (X² - n²)/y,b = 2nx/y, a C = (X² + n²)/y. Výpočet ukazuje, že tato tři čísla splňují dvě rovnice pro A, b, a C výše.

Tyto dvě korespondence mezi (A,b,C) a (X,y) jsou vzájemné inverze, sowe má vzájemnou korespondenci mezi jakýmkoli řešením dvou rovnic vA, b, a C a jakékoli řešení rovnice v X a y s y nenulové. Zejména ze vzorců ve dvou korespondencích, pro racionální n vidíme to A, b, a C arerační, právě když odpovídající X a y jsou racionální a naopak. (Máme také to A, b, a C jsou všechny pozitivní právě tehdy X a y jsou všechny kladné; z rovnice y² = X³ - xn² = X(X² - n²)vidíme, že pokud X a y jsou pozitivní X² - n² musí být kladné, takže vzorec proA výše je pozitivní.)

Tedy kladné racionální číslo n je shodné, právě když rovnicey² = X³ - n²X má racionální bod s y nerovná se 0. Může být zobrazen (jako aplikace Dirichletova věta na prvočíslech v aritmetické posloupnosti), že jedinými torzními body na této eliptické křivce jsou ty s y rovnající se 0, proto existence racionálního bodu s y nenulové je ekvivalentní tomu, že eliptická křivka má kladné hodnocení.

Dalším přístupem k řešení je začít s celočíselnou hodnotou n označenou jako N a řešit

${ displaystyle N ^ {2} = ed ^ {2} + e ^ {2}}$

kde

${ displaystyle { begin {matrix} c & = & n ^ {2} / e + e a & = & 2n b & = & n ^ {2} / e-e end {matrix}}}$

Nejmenší řešení

Následuje seznam racionálního řešení ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ a ${ displaystyle { frac {ab} {2}} = n}$ s shodným číslem n a nejmenší čitatel pro C. (necháme A < b, Všimněte si, že A nemůže být = b, protože pokud ano, pak ${ displaystyle c = { sqrt {2}} a}$, ale ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ tedy není racionální číslo C a A nemohou být obě racionální čísla).^{[Citace je zapotřebí ]}

n	A	b	C
5	${ displaystyle { frac {3} {2}}}$	${ displaystyle { frac {20} {3}}}$	${ displaystyle { frac {41} {6}}}$
6	3	4	5
7	${ displaystyle { frac {35} {12}}}$	${ displaystyle { frac {24} {5}}}$	${ displaystyle { frac {337} {60}}}$
13	${ displaystyle { frac {780} {323}}}$	${ displaystyle { frac {323} {30}}}$	${ displaystyle { frac {106921} {9690}}}$
14	${ displaystyle { frac {8} {3}}}$	${ displaystyle { frac {21} {2}}}$	${ displaystyle { frac {65} {6}}}$
15	4	${ displaystyle { frac {15} {2}}}$	${ displaystyle { frac {17} {2}}}$
20	3	${ displaystyle { frac {40} {3}}}$	${ displaystyle { frac {41} {3}}}$
21	${ displaystyle { frac {7} {2}}}$	12	${ displaystyle { frac {25} {2}}}$
22	${ displaystyle { frac {33} {35}}}$	${ displaystyle { frac {140} {3}}}$	${ displaystyle { frac {4901} {105}}}$
23	${ displaystyle { frac {80155} {20748}}}$	${ displaystyle { frac {41496} {3485}}}$	${ displaystyle { frac {905141617} {72306780}}}$
24	6	8	10
28	${ displaystyle { frac {35} {6}}}$	${ displaystyle { frac {48} {5}}}$	${ displaystyle { frac {337} {30}}}$
29	${ displaystyle { frac {99} {910}}}$	${ displaystyle { frac {52780} {99}}}$	${ displaystyle { frac {48029801} {90090}}}$
30	5	12	13
31	${ displaystyle { frac {720} {287}}}$	${ displaystyle { frac {8897} {360}}}$	${ displaystyle { frac {2566561} {103320}}}$
34	${ displaystyle { frac {17} {6}}}$	24	${ displaystyle { frac {145} {6}}}$
37	${ displaystyle { frac {450660} {777923}}}$	${ displaystyle { frac {777923} {6090}}}$	${ displaystyle { frac {605170417321} {4737551070}}}$
38	${ displaystyle { frac {1700} {279}}}$	${ displaystyle { frac {5301} {425}}}$	${ displaystyle { frac {1646021} {118575}}}$
39	${ displaystyle { frac {5} {2}}}$	${ displaystyle { frac {156} {5}}}$	${ displaystyle { frac {313} {10}}}$
41	${ displaystyle { frac {3280} {1023}}}$	${ displaystyle { frac {1023} {40}}}$	${ displaystyle { frac {1054721} {40920}}}$
45	${ displaystyle { frac {9} {2}}}$	20	${ displaystyle { frac {41} {2}}}$
46	${ displaystyle { frac {253} {42}}}$	${ displaystyle { frac {168} {11}}}$	${ displaystyle { frac {7585} {462}}}$
47	${ displaystyle { frac {11547216} {2097655}}}$	${ displaystyle { frac {98589785} {5773608}}}$	${ displaystyle { frac {217287944875297} {12111037689240}}}$
52	${ displaystyle { frac {1560} {323}}}$	${ displaystyle { frac {323} {15}}}$	${ displaystyle { frac {106921} {4845}}}$
53	${ displaystyle { frac {1472112483} {202332130}}}$	${ displaystyle { frac {21447205780} {1472112483}}}$	${ displaystyle { frac {4850493897329785961} {297855654284978790}}}$
54	9	12	15
55	${ displaystyle { frac {1100} {117}}}$	${ displaystyle { frac {117} {10}}}$	${ displaystyle { frac {17561} {1170}}}$
56	${ displaystyle { frac {16} {3}}}$	21	${ displaystyle { frac {65} {3}}}$
60	8	15	17
61	${ displaystyle { frac {6428003} {1423110}}}$	${ displaystyle { frac {173619420} {6428003}}}$	${ displaystyle { frac {250510625883241} {9147755349330}}}$
...	...	...	...
101	${ displaystyle { frac {267980280100} {44538033219}}}$	${ displaystyle { frac {44538033219} {1326635050}}}$	${ displaystyle { frac {2015242462949760001961} {59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${ displaystyle { frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}$	${ displaystyle { frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$	${ displaystyle { frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}}$

Aktuální pokrok

Bylo provedeno mnoho práce při klasifikaci shodných čísel.

Například je známo^[6] že za prvočíslo p, platí:

• -li p ≡ 3 (mod 8), pak p není shodné číslo, ale 2p je shodné číslo.
• -li p ≡ 5 (mod 8), pak p je shodné číslo.
• -li p ≡ 7 (mod 8), pak p a 2p jsou shodná čísla.

Je také známo^[7] že v každé z tříd shody 5, 6, 7 (mod 8), pro všechny dané k existuje nekonečně mnoho shodných čísel bez čtverců k hlavní faktory.

Poznámky

Reference

• Změnit, Ronalde (1980), "The Congruent Number Problem", Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 87 (1): 43–45, doi:10.2307/2320381, JSTOR  2320381
• Chandrasekar, V. (1998), „Problém shodného čísla“ (PDF), Rezonance, 3 (8): 33–45, doi:10.1007 / BF02837344
• Dickson, Leonard Eugene (2005), „Kapitola XVI“, Dějiny teorie čísel „Dover Books on Mathematics, Volume II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN  978-0-486-44233-4 - viz historie problému.
• Chlapi, Richarde (2004), Nevyřešené problémy v teorii čísel, Problem Books in Mathematics (Book 1) (3. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001 - Mnoho odkazů je uvedeno v.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), „Klasický diophantinový problém a modulární formy hmotnosti 3/2“, Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, Bibcode:1983InMat..72..323T, doi:10.1007 / BF01389327, hdl:10338.dmlcz / 137483

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Shodné číslo“. MathWorld.
• Krátkou diskusi o současném stavu problému s mnoha odkazy naleznete v Alice Silverberg je Otevřené otázky v aritmetické algebraické geometrii (Postscript).
• Bilion trojúhelníků - matematici vyřešili prvních jeden bilion případů (podmíněno Birch a domněnka Swinnerton-Dyer ).