Dirichletova věta o aritmetických postupech - Dirichlets theorem on arithmetic progressions - Wikipedia

v teorie čísel, Dirichletova věta, nazývaný také Dirichlet prvočíslo věta uvádí, že pro libovolné dvě kladné coprime celá čísla A ad, je jich nekonečně mnoho připraví formuláře A + nd, kde n je také kladné celé číslo. Jinými slovy, existuje nekonečně mnoho prvočísel, která jsou shodný na A modulo d. Čísla formuláře A + nd pro muže aritmetický postup

{ displaystyle a, a + d, a + 2d, a + 3d, tečky, }

a Dirichletova věta uvádí, že tato sekvence obsahuje nekonečně mnoho prvočísel. Věta, pojmenovaná po Peter Gustav Lejeune Dirichlet, rozšiřuje Euklidova věta že existuje nekonečně mnoho prvočísel. Silnější formy Dirichletovy věty uvádějí, že pro jakoukoli takovou aritmetickou progresi je součet reciproční prvočísel v postupu se rozchází a že různé takové aritmetické postupy se stejným modulem mají přibližně stejný podíl prvočísel. Ekvivalentně jsou prvočísla rovnoměrně (asymptoticky) rozdělena mezi třídy kongruence modulo d obsahující A's coprime do d.

Příklady

Celé číslo je prvočíslo pro Gaussova celá čísla jestliže buď čtverec jeho modulu je prvočíslo (v normálním smyslu), nebo jedna z jeho částí je nula a absolutní hodnota druhé je prvočíslo, které je shodné se 3 moduly 4. Prvočísla (v normálním smyslu) typu 4n + 3 jsou (sekvence A002145 v OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Odpovídají následujícím hodnotám n: (sekvence A095278 v OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

Silná forma Dirichletovy věty to naznačuje

{ displaystyle { frac {1} {3}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {19}} + { frac {1} {23}} + { frac {1} {31}} + { frac {1} {43}} + { frac {1} {47}} + { frac {1} {59} } + { frac {1} {67}} + cdots}

je divergentní série.

Následující tabulka uvádí několik aritmetických postupů s nekonečně mnoha prvočísly a prvních pár v každém z nich.


Aritmetický postup	Prvních 10 z nekonečně mnoha prvočísel	OEIS sekvence
2n + 1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	A065091
4n + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	A002144
4n + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	A002145
6n + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	A002476
6n + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	A007528
8n + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	A007519
8n + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	A007520
8n + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	A007521
8n + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	A007522
10n + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	A030430
10n + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	A030431
10n + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	A030432
10n + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	A030433
12n + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, ...	A068228
12n + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, ...	A040117
12n + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, ...	A068229
12n + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, ...	A068231

Rozdělení

Vzhledem k tomu, připraví řídnout, v průměru, v souladu s věta o prvočísle, to samé musí platit pro prvočísla v aritmetických postupech. Je přirozené ptát se na způsob, jakým jsou prvočísla sdílena mezi různými aritmetickými průběhy pro danou hodnotu d (existují d z nich v zásadě, pokud nerozlišujeme dva postupové sdílení téměř všechny jejich podmínky). Odpověď je dána v této podobě: počet proveditelných pokroků modulo d - ty kde A a d nemají společný faktor> 1 - je dán vztahem Eulerova totientová funkce

{ displaystyle varphi (d). }

Dále je podíl prvočísel v každé z nich

{ displaystyle { frac {1} { varphi (d)}}. }

Například pokud d je prvočíslo q, každý z q - 1 postup

{ displaystyle q + 1,2q + 1,3q + 1 tečky }

{ displaystyle q + 2,2q + 2,3q + 2 tečky }

{ displaystyle tečky }

{ displaystyle q + q-1,2q + q-1,3q + q-1 tečky }

(všechny kromě ${ displaystyle q, 2q, 3q, tečky }$ )

obsahuje podíl 1 / (q - 1) prvočísel.

Ve srovnání s sebou mají pokroky se zbytkem kvadratického zbytku obvykle o něco více prvků než s kvadratickým zbytkem zbytku (Čebyševova zaujatost ).

Dějiny

V roce 1737 Euler spojil studium prvočísel s tím, co je nyní známé jako Riemannova zeta funkce: ukázal, že hodnota ${ displaystyle zeta (1)}$ redukuje na poměr dvou nekonečných produktů, Π p / Π (p–1), pro všechna prvočísla p, a že poměr je nekonečný.^[1]^[2] V roce 1775 uvedl Euler teorém pro případy + nd, kde a = 1.^[3] Tento speciální případ Dirichletovy věty lze dokázat pomocí cyklotomických polynomů.^[4]Obecná forma věty byla nejprve domněnkou Legendre ve svých pokusech o neúspěšné důkazy o kvadratická vzájemnost^[5] - tak jako Gauss uvedeno v jeho Disquisitiones Arithmeticae^[6] - ale bylo prokázáno Dirichlet (1837 ) s Dirichlet L-série. Důkaz vychází z dřívější Eulerovy práce týkající se Funkce Riemann zeta k distribuci prvočísel. Věta představuje začátek přísné analytická teorie čísel.

Atle Selberg (1949 ) dal základní důkaz.

Důkaz

Dirichletova věta je prokázána tím, že ukazuje, že hodnota Dirichletova funkce L. (netriviální charakter ) v 1 je nenulová. Důkaz tohoto tvrzení vyžaduje určitý počet a analytická teorie čísel (Serre 1973 ). V konkrétním případě A = 1 (tj. Týkající se prvočísel, která jsou shodná s 1 modulo some n) lze prokázat analýzou štěpícího chování prvočísel v cyklotomických extenzích, aniž by bylo nutné použít počet (Neukirch 1999, §VII.6).

Zobecnění

The Bunyakovsky dohad zobecňuje Dirichletovu větu na polynomy vyššího stupně. Zda i jednoduché kvadratické polynomy jako např X² + 1 (známé z Landauův čtvrtý problém ) je důležité dosáhnout nekonečně mnoha hlavních hodnot otevřený problém.

The Dicksonova domněnka zobecňuje Dirichletovu větu na více než jeden polynom.

The Schinzelova hypotéza H zobecňuje tyto dvě domněnky, tj. zobecňuje na více než jeden polynom se stupněm větším než jeden.

v algebraická teorie čísel, Dirichletova věta zobecňuje na Chebotarevova věta o hustotě.

Linnikova věta (1944) se týká velikosti nejmenšího prvočísla v dané aritmetické posloupnosti. Linnik dokázal, že postup A + nd (tak jako n rozsahy přes kladná celá čísla) obsahuje nanejvýš prvočíslo CD^L pro absolutní konstanty C a L. Následní vědci se snížili L až 5.

Analog Dirichletovy věty platí v rámci dynamických systémů (T. Sunada a A. Katsuda, 1990).

Viz také

Poznámky

^ Euler, Leonhard (1737). „Variae observeses circa series infinitas“ [Různá pozorování nekonečných řad]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; konkrétně Věta 7 na str. 172–174.
^ Sandifer, C. Edward, Raná matematika Leonharda Eulera (Washington, D.C .: The Mathematical Association of America, 2007), str. 253.
^ Leonhard Euler, „De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 atd. ubi numeri primi formye 4n - 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum "(Na součtu řad [složených] z prvočísel uspořádaných 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 atd., Kde prvočísla formuláře 4n - 1 mají kladné znaménko, zatímco [ti] ve formuláři 4n + 1 [mít] záporné znaménko.) In: Leonhard Euler, Opuscula analytica (Petrohrad, Rusko: Imperial Academy of Sciences, 1785), sv. 2, s. 240–256; prosáknout. 241. Od p. 241: „Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura ve třídách duas rozlišovat, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus vylúčit: série reciprocae ex utraque formatae, scillicet:1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + atd1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + atd.ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701 atd., Non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet:1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + atd.etiam est infinita. “ (Protože dále, prvočísla větší než dvě jsou rozdělena, jako by je příroda, do dvou tříd, podle toho, zda byla buď ve tvaru 4n + 1, nebo ve tvaru 4n - 1, protože všechna první jsou součty dvou čtverců , ale tyto jsou z této vlastnosti zcela vyloučeny: vzájemná řada vytvořená z obou tříd, jmenovitě: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + atd. a 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + atd. Budou oba stejně nekonečné, což [vlastnost] má být také ze všech typů prvočísel. Pokud tedy z prvočísel budou vybrána pouze ta, která mají tvar 100n + 1, kterých je 101, 401, 601, 701 atd., Nejen jejich množina je nekonečná, ale také součet řad vytvořených z této [množiny], jmenovitě: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + atd. Je rovněž nekonečný.)
^ Neukirch (1999), §I.10, cvičení 1.
^
Vidět:
- Le Gendre (1785) „Recherches d'analyse indéterminée“ (Vyšetření interdeterminate analýzy), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique, str. 465–559; viz zejména str. 552. Od p. 552: "34. Remarque. Nezávislý seriál peer-être de démontrer si vybral que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers compris dans tous progression arithmétique, dont le premier terme & la raison sont eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Cetteova tvrzení est assez difficile à démontrer, cependant on peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la progression arithmétique dont il s'agit, à la progression ordinaire 1, 3, 5, 7, & c. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par exemple, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; na verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 atd. jusqu'à un certain nombre premier p„Doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la progression 1, 3, 5, 7, and c. Nejdůležitější je celle-ci, reste nécessairement des nombres premers, il en doit rester aussi dans l'autre. " (34. Poznámka. Možná bude nutné důkladně dokázat něco, co jsme předpokládali na několika místech tohoto článku, konkrétně že v každé aritmetické posloupnosti je nekonečno prvočísel, jejichž první člen a společný rozdíl jsou co-prime, nebo co činí totéž, ve vzorci 2mx + μ, když 2m a μ nemají vůbec žádné společné dělitele. Tento návrh je obtížné prokázat, lze si však být jisti, že je to pravda, a to porovnáním uvažovaného aritmetického postupu s běžným postupem 1, 3, 5, 7 atd. Pokud si vezmeme velké množství pojmů těchto postupů , stejný [počet výrazů] v obou, a pokud je jeden uspořádá, například tak, aby největší výraz byl stejný a na stejném místě v obou; uvidíme, že vynecháním z každé násobky 3, 5, 7 atd. až do určitého prvočísla p, měl by zůstat v obou stejných počtech termínů, nebo dokonce jich zůstane méně v postupu 1, 3, 5, 7 atd. Ale stejně jako v této [sadě], nutně musí zůstat prvočísla, budou zde také zůstávají některými v druhé [sadě].)
- A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (Paříž, Francie: Duprat, 1798), Úvod, str. 9–16. Od p. 12: „XIX.… En général, éter un nombre donné quelconque, tout nombres poškodit peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est poškodit et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… “ (XIX.… Obecně, A je libovolné dané číslo, všechna lichá čísla mohou být reprezentována vzorcem 4ax ± b, ve kterém b je liché a menší než 2a. Pokud mezi všemi možnými hodnotami b jeden odstraní ty, které mají společného dělitele s A, zbývající vzorce 4ax ± b zahrnout mezi ně všechna prvočísla ...)
- A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres, 2. vyd. (Paříž, Francie: Courcier, 1808), str. 404. Od p. 404: „Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C atd., Dans laquelle A et C sont premers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) le z^já terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 atd., je dis que sur π^(k-1) termes consécutifs de la progression proposée, il y en aura au moins un qui ne sera divible par aucun des nombres premers θ, λ, μ… ψ, ω. " (Nechť bude dána jakákoli aritmetická posloupnost A - C, 2A - C, 3A - C atd., Ve které A a C budou mezi sebou prvočísla [tj. Coprime]; nechť bude dána i řada θ, λ, μ … Ψ, ω složené z k lichá prvočísla, převzatá podle libosti a uspořádaná v libovolném pořadí; pokud někdo volá obecně π^(z) the z^th člen přirozené řady prvočísel 3, 5, 7, 11 atd., tvrdím, že mezi π^(k-1) po sobě jdoucích podmínek navrhovaného postupu, bude alespoň jeden z nich, který nebude dělitelný žádným z prvočísel θ, λ, μ… ψ, ω.) Toto tvrzení bylo v roce 1858 prokázáno jako nepravdivé Anthanase Louis Dupré (1808 -1869). Vidět:
- Dupré, A. (1859) Zkoumejte relativní tvrzení Legendrova příbuzného à la théorie des nombres [Zkoumání Legendrova tvrzení týkajícího se teorie čísel] (Paříž, Francie: Mallet-Bachelier, 1859).
- Narkiewicz, Władysław, Vývoj teorie prvočísel: Od Euklida po Hardyho a Littlewooda (Berlín, Německo: Springer, 2000); viz zejména str. 50.
^ Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (Lipsko, (Německo): Gerhard Fleischer, Jr., 1801), oddíl 297, 507–508. Od str. 507–508: „Ill. Le Gendre ipse fatetur, demonstrationem theorematis, sub tali forma kt + l, designantibus k, l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares needariae nobis videntur, antequam hacce quidem prostřednictvím ukázky reklamy rigorosam pervenire liceat. “ (Slavný Le Gendre sám připouští [ten] důkaz věty - [totiž ten] mezi [celými čísly] formy kt + l, [kde] k a l označte daná celá čísla [která jsou] primární mezi sebou [tj. coprime] [a] t označuje proměnnou, jistě jsou prvočísla obsažena - zdá se být dost obtížná a mimochodem poukazuje na metodu, která by k ní mohla vést; mnoho předběžných a nezbytných vyšetřování je však před námi, než tato [domněnka] skutečně dosáhne cesty k přísnému důkazu.)

Reference

Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, PAN 0434929, Zbl 0335.10001
Weisstein, Eric W. „Dirichletova věta“. MathWorld.
Chris Caldwell, „Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetických postupech“ na Prime Stránky.
Dirichlet, P. G. L. (1837), „Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält“ [Důkaz věty, že každá neomezená aritmetická posloupnost, jejíž první člen a společný rozdíl jsou celá čísla bez společných faktorů, obsahuje nekonečně mnoho prvočísel], Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 48: 45–71
Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie čísel. Přeloženo z německého originálu z roku 1992 a s poznámkou Norberta SchappacheraGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 322, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, PAN 1697859, Zbl 0956.11021.
Selberg, Atle (1949), „Elementární důkaz Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetickém postupu“, Annals of Mathematics, 50 (2): 297–304, doi:10.2307/1969454, JSTOR 1969454, Zbl 0036.30603.
Serre, Jean-Pierre (1973), Kurz aritmetiky, Postgraduální texty z matematiky, 7, New York; Heidelberg; Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90040-3, Zbl 0256.12001.
Sunada, Toshikazu; Katsuda, Atsushi (1990), „Uzavřené dráhy na hodinách homologie“, Publ. Matematika. IHES, 71: 5–32, doi:10.1007 / BF02699875, S2CID 26251216.

externí odkazy

Naskenuje původní papír v němčině
Dirichlet: Ve všech aritmetických postupech s prvním členem a rozdílovým coprime je nekonečně mnoho prvočísel Anglický překlad původního článku na arXiv
Dirichletova věta Jay Warendorff, Demonstrační projekt Wolfram.

[1] Euler, Leonhard (1737). „Variae observeses circa series infinitas“ [Různá pozorování nekonečných řad]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; konkrétně Věta 7 na str. 172–174.

[2] Sandifer, C. Edward, Raná matematika Leonharda Eulera (Washington, D.C .: The Mathematical Association of America, 2007), str. 253.

[3] Leonhard Euler, „De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 atd. ubi numeri primi formye 4n - 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum "(Na součtu řad [složených] z prvočísel uspořádaných 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 atd., Kde prvočísla formuláře 4n - 1 mají kladné znaménko, zatímco [ti] ve formuláři 4n + 1 [mít] záporné znaménko.) In: Leonhard Euler, Opuscula analytica (Petrohrad, Rusko: Imperial Academy of Sciences, 1785), sv. 2, s. 240–256; prosáknout. 241. Od p. 241: „Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura ve třídách duas rozlišovat, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus vylúčit: série reciprocae ex utraque formatae, scillicet:1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + atd1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + atd.ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701 atd., Non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet:1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + atd.etiam est infinita. “ (Protože dále, prvočísla větší než dvě jsou rozdělena, jako by je příroda, do dvou tříd, podle toho, zda byla buď ve tvaru 4n + 1, nebo ve tvaru 4n - 1, protože všechna první jsou součty dvou čtverců , ale tyto jsou z této vlastnosti zcela vyloučeny: vzájemná řada vytvořená z obou tříd, jmenovitě: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + atd. a 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + atd. Budou oba stejně nekonečné, což [vlastnost] má být také ze všech typů prvočísel. Pokud tedy z prvočísel budou vybrána pouze ta, která mají tvar 100n + 1, kterých je 101, 401, 601, 701 atd., Nejen jejich množina je nekonečná, ale také součet řad vytvořených z této [množiny], jmenovitě: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + atd. Je rovněž nekonečný.)

[FOOTNOTENeukirch1999§I.10,_Exercise_1-4] Neukirch (1999), §I.10, cvičení 1.

[5] Vidět:
Le Gendre (1785) „Recherches d'analyse indéterminée“ (Vyšetření interdeterminate analýzy), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique, str. 465–559; viz zejména str. 552. Od p. 552: "34. Remarque. Nezávislý seriál peer-être de démontrer si vybral que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers compris dans tous progression arithmétique, dont le premier terme & la raison sont eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Cetteova tvrzení est assez difficile à démontrer, cependant on peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la progression arithmétique dont il s'agit, à la progression ordinaire 1, 3, 5, 7, & c. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par exemple, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; na verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 atd. jusqu'à un certain nombre premier p„Doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la progression 1, 3, 5, 7, and c. Nejdůležitější je celle-ci, reste nécessairement des nombres premers, il en doit rester aussi dans l'autre. " (34. Poznámka. Možná bude nutné důkladně dokázat něco, co jsme předpokládali na několika místech tohoto článku, konkrétně že v každé aritmetické posloupnosti je nekonečno prvočísel, jejichž první člen a společný rozdíl jsou co-prime, nebo co činí totéž, ve vzorci 2mx + μ, když 2m a μ nemají vůbec žádné společné dělitele. Tento návrh je obtížné prokázat, lze si však být jisti, že je to pravda, a to porovnáním uvažovaného aritmetického postupu s běžným postupem 1, 3, 5, 7 atd. Pokud si vezmeme velké množství pojmů těchto postupů , stejný [počet výrazů] v obou, a pokud je jeden uspořádá, například tak, aby největší výraz byl stejný a na stejném místě v obou; uvidíme, že vynecháním z každé násobky 3, 5, 7 atd. až do určitého prvočísla p, měl by zůstat v obou stejných počtech termínů, nebo dokonce jich zůstane méně v postupu 1, 3, 5, 7 atd. Ale stejně jako v této [sadě], nutně musí zůstat prvočísla, budou zde také zůstávají některými v druhé [sadě].)
A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (Paříž, Francie: Duprat, 1798), Úvod, str. 9–16. Od p. 12: „XIX.… En général, éter un nombre donné quelconque, tout nombres poškodit peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est poškodit et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… “ (XIX.… Obecně, A je libovolné dané číslo, všechna lichá čísla mohou být reprezentována vzorcem 4ax ± b, ve kterém b je liché a menší než 2a. Pokud mezi všemi možnými hodnotami b jeden odstraní ty, které mají společného dělitele s A, zbývající vzorce 4ax ± b zahrnout mezi ně všechna prvočísla ...)
A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres, 2. vyd. (Paříž, Francie: Courcier, 1808), str. 404. Od p. 404: „Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C atd., Dans laquelle A et C sont premers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) le z^já terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 atd., je dis que sur π^(k-1) termes consécutifs de la progression proposée, il y en aura au moins un qui ne sera divible par aucun des nombres premers θ, λ, μ… ψ, ω. " (Nechť bude dána jakákoli aritmetická posloupnost A - C, 2A - C, 3A - C atd., Ve které A a C budou mezi sebou prvočísla [tj. Coprime]; nechť bude dána i řada θ, λ, μ … Ψ, ω složené z k lichá prvočísla, převzatá podle libosti a uspořádaná v libovolném pořadí; pokud někdo volá obecně π^(z) the z^th člen přirozené řady prvočísel 3, 5, 7, 11 atd., tvrdím, že mezi π^(k-1) po sobě jdoucích podmínek navrhovaného postupu, bude alespoň jeden z nich, který nebude dělitelný žádným z prvočísel θ, λ, μ… ψ, ω.) Toto tvrzení bylo v roce 1858 prokázáno jako nepravdivé Anthanase Louis Dupré (1808 -1869). Vidět:
Dupré, A. (1859) Zkoumejte relativní tvrzení Legendrova příbuzného à la théorie des nombres [Zkoumání Legendrova tvrzení týkajícího se teorie čísel] (Paříž, Francie: Mallet-Bachelier, 1859).
Narkiewicz, Władysław, Vývoj teorie prvočísel: Od Euklida po Hardyho a Littlewooda (Berlín, Německo: Springer, 2000); viz zejména str. 50.

[6] Le Gendre (1785) „Recherches d'analyse indéterminée“ (Vyšetření interdeterminate analýzy), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique, str. 465–559; viz zejména str. 552. Od p. 552: "34. Remarque. Nezávislý seriál peer-être de démontrer si vybral que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers compris dans tous progression arithmétique, dont le premier terme & la raison sont eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Cetteova tvrzení est assez difficile à démontrer, cependant on peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparant la progression arithmétique dont il s'agit, à la progression ordinaire 1, 3, 5, 7, & c. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par exemple, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; na verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 atd. jusqu'à un certain nombre premier p„Doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la progression 1, 3, 5, 7, and c. Nejdůležitější je celle-ci, reste nécessairement des nombres premers, il en doit rester aussi dans l'autre. " (34. Poznámka. Možná bude nutné důkladně dokázat něco, co jsme předpokládali na několika místech tohoto článku, konkrétně že v každé aritmetické posloupnosti je nekonečno prvočísel, jejichž první člen a společný rozdíl jsou co-prime, nebo co činí totéž, ve vzorci 2mx + μ, když 2m a μ nemají vůbec žádné společné dělitele. Tento návrh je obtížné prokázat, lze si však být jisti, že je to pravda, a to porovnáním uvažovaného aritmetického postupu s běžným postupem 1, 3, 5, 7 atd. Pokud si vezmeme velké množství pojmů těchto postupů , stejný [počet výrazů] v obou, a pokud je jeden uspořádá, například tak, aby největší výraz byl stejný a na stejném místě v obou; uvidíme, že vynecháním z každé násobky 3, 5, 7 atd. až do určitého prvočísla p, měl by zůstat v obou stejných počtech termínů, nebo dokonce jich zůstane méně v postupu 1, 3, 5, 7 atd. Ale stejně jako v této [sadě], nutně musí zůstat prvočísla, budou zde také zůstávají některými v druhé [sadě].)

[7] A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (Paříž, Francie: Duprat, 1798), Úvod, str. 9–16. Od p. 12: „XIX.… En général, éter un nombre donné quelconque, tout nombres poškodit peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est poškodit et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possibles de b on retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… “ (XIX.… Obecně, A je libovolné dané číslo, všechna lichá čísla mohou být reprezentována vzorcem 4ax ± b, ve kterém b je liché a menší než 2a. Pokud mezi všemi možnými hodnotami b jeden odstraní ty, které mají společného dělitele s A, zbývající vzorce 4ax ± b zahrnout mezi ně všechna prvočísla ...)

[8] A. M. Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres, 2. vyd. (Paříž, Francie: Courcier, 1808), str. 404. Od p. 404: „Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C atd., Dans laquelle A et C sont premers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) le z^já terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 atd., je dis que sur π^(k-1) termes consécutifs de la progression proposée, il y en aura au moins un qui ne sera divible par aucun des nombres premers θ, λ, μ… ψ, ω. " (Nechť bude dána jakákoli aritmetická posloupnost A - C, 2A - C, 3A - C atd., Ve které A a C budou mezi sebou prvočísla [tj. Coprime]; nechť bude dána i řada θ, λ, μ … Ψ, ω složené z k lichá prvočísla, převzatá podle libosti a uspořádaná v libovolném pořadí; pokud někdo volá obecně π^(z) the z^th člen přirozené řady prvočísel 3, 5, 7, 11 atd., tvrdím, že mezi π^(k-1) po sobě jdoucích podmínek navrhovaného postupu, bude alespoň jeden z nich, který nebude dělitelný žádným z prvočísel θ, λ, μ… ψ, ω.) Toto tvrzení bylo v roce 1858 prokázáno jako nepravdivé Anthanase Louis Dupré (1808 -1869). Vidět:

[9] Dupré, A. (1859) Zkoumejte relativní tvrzení Legendrova příbuzného à la théorie des nombres [Zkoumání Legendrova tvrzení týkajícího se teorie čísel] (Paříž, Francie: Mallet-Bachelier, 1859).

[10] Narkiewicz, Władysław, Vývoj teorie prvočísel: Od Euklida po Hardyho a Littlewooda (Berlín, Německo: Springer, 2000); viz zejména str. 50.

[6] Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (Lipsko, (Německo): Gerhard Fleischer, Jr., 1801), oddíl 297, 507–508. Od str. 507–508: „Ill. Le Gendre ipse fatetur, demonstrationem theorematis, sub tali forma kt + l, designantibus k, l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares needariae nobis videntur, antequam hacce quidem prostřednictvím ukázky reklamy rigorosam pervenire liceat. “ (Slavný Le Gendre sám připouští [ten] důkaz věty - [totiž ten] mezi [celými čísly] formy kt + l, [kde] k a l označte daná celá čísla [která jsou] primární mezi sebou [tj. coprime] [a] t označuje proměnnou, jistě jsou prvočísla obsažena - zdá se být dost obtížná a mimochodem poukazuje na metodu, která by k ní mohla vést; mnoho předběžných a nezbytných vyšetřování je však před námi, než tato [domněnka] skutečně dosáhne cesty k přísnému důkazu.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]