Racionální bod - Rational point - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Racionální bod“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Dubna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel a algebraická geometrie, a racionální bod z algebraická rozmanitost je bod, jehož souřadnice patří danému pole. Pokud pole není uvedeno, pole racionální čísla je obecně chápáno. Pokud je pole polem reálná čísla, racionální bod se běžněji nazývá a skutečný bod.

Pochopení racionálních bodů je ústředním cílem teorie čísel a Diophantine geometrie. Například, Fermatova poslední věta lze přepracovat jako: pro n > 2, Fermatova křivka rovnice ${ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = 1}$ nemá jiný racionální bod než (1, 0), (0, 1), a pokud n je dokonce, (–1, 0) a (0, –1).

Definice

Dáno pole ka algebraicky uzavřené prodloužení K. z k, an afinní odrůda X přes k je množina společných nuly v ${ displaystyle K ^ {n}}$ kolekce polynomů s koeficienty v k:

${ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = 0, ldots, f_ {r} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = 0.}$

Tyto běžné nuly se nazývají bodů z X.

A k-racionální bod (nebo k-směřovat) z X je bod X kterému patří kⁿ, to znamená sekvence (A₁,...,A_n) z n prvky k takhle F_j (A₁,...,A_n) = 0 pro všechny j. Sada k- racionální body X je často označován X(k).

Někdy, když pole k se rozumí, nebo kdy k je pole Q z racionální čísla, jeden říká „racionální bod“ místo „k- racionální bod ".

Například racionální body jednotkový kruh rovnice

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

jsou dvojice racionálních čísel

${ displaystyle left ({ frac {a} {c}}, { frac {b} {c}} right),}$

kde ${ displaystyle (a, b, c)}$ je Pytagorejský trojnásobek.

Koncept má smysl i v obecnějších nastaveních. A projektivní rozmanitost X v projektivní prostor Pⁿ přes pole k lze definovat sbírkou homogenní polynom rovnice v proměnných X₀,...,X_n. A k- bod Pⁿ, psaný [A₀,...,A_n], je dána posloupností n+1 prvků z k, ne celá nula, s pochopením, že znásobením všech A₀,...A_n stejným nenulovým prvkem k dává stejný bod v projektivním prostoru. Pak k- bod X znamená a k- bod Pⁿ kdy dané polynomy zmizí.

Obecněji řečeno X být systém přes pole k. To znamená, že a morfismus schémat F: X → Spec (k) je dáno. Pak k- bod X znamená a sekce tohoto morfismu, tedy morfismu A: Spec (k) → X takové, že složení fa je identita na Spec (k). To souhlasí s předchozími definicemi, když X je afinní nebo projektivní odrůda (vnímána jako schéma přes k).

Když X je rozmanitost oproti algebraicky uzavřené pole k, hodně ze struktury X je určena jeho množinou X(k) z k- racionální body. Pro obecné pole k, nicméně, X(k) poskytuje pouze částečné informace o X. Zejména pro odrůdu X přes pole k a jakékoli rozšíření pole E z k, X také určuje množinu X(E) z E-racionální body z X, což znamená soubor řešení definujících rovnic X s hodnotami v E.

Příklad: Let X být kónický křivka X² + y² = -1 v afinní rovině A² přes reálná čísla R. Pak množina skutečných bodů X(R) je prázdný, protože čtverec libovolného reálného čísla je nezáporný. Na druhou stranu v terminologii algebraické geometrie algebraická odrůda X přes R není prázdný, protože sada komplex bodů X(C) není prázdný.

Obecněji řečeno, pro schéma X přes komutativní prsten R a jakýkoli komutativní R-algebra S, sada X(S) z S-bodů X znamená množinu morfismů Spec (S) → X přes Spec (R). Schéma X je určen až do izomorfismu funktor S ↦ X(S); toto je filozofie identifikace schématu s ním funktor bodů. Další formulací je, že schéma X přes R určuje schéma X_S přes S podle základní změna a S-bodů X (přes R) lze identifikovat pomocí S-bodů X_S (přes S).

Teorie Diophantine rovnice tradičně znamenal studium integrální body, což znamená řešení polynomiálních rovnic v celá čísla Z spíše než racionální Q. Pro homogenní polynomické rovnice jako např X³ + y³ = z³, dva problémy jsou v zásadě ekvivalentní, protože každý racionální bod může být změněn tak, aby se stal integrálním bodem.

Racionální body na křivkách

Hodně z teorie čísel lze považovat za studium racionálních bodů algebraických variet, což je výhodné nastavení hladký projektivní odrůdy. Pro plynulý projektivní křivky, chování racionálních bodů silně závisí na rod křivky.

Rod 0

Každá plynulá projektivní křivka X rodu nula nad polem k je izomorfní s kuželovitou křivkou (stupeň 2) v P². Li X má k- racionální bod, pak je izomorfní P¹ přes k, a tak jeho k- racionální body jsou zcela pochopeny.^[1] Li k je pole Q racionálních čísel (nebo obecněji a pole s číslem ), tady je algoritmus určit, zda má daná kuželosečka racionální bod, na základě Hasseův princip: kuželovitý konec Q má racionální bod právě tehdy, má-li bod za všechna dokončení Q, to znamená konec R a všechno str-adická pole Q_str.

Rod 1

Je těžší určit, zda má křivka rodu 1 racionální bod. Princip Hasse v tomto případě selže: například by Ernst Selmer, kubická křivka 3X³ + 4y³ + 5z³ = 0 palců P² má bod přes všechna dokončení Q, ale žádný racionální bod.^[2] Selhání principu Hasse pro křivky rodu 1 se měří pomocí Skupina Tate – Shafarevich.

Li X je křivka rodu 1 s a k- racionální bod str₀, pak X se nazývá eliptická křivka přes k. V tomto případě, X má strukturu komutativní algebraická skupina (s str₀ jako nulový prvek), a tedy množina X(k) z k-racionální body je abelianská skupina. The Mordell – Weilova věta říká, že pro eliptickou křivku (nebo obecněji) abelianská odrůda ) X přes číselné pole k, abelianská skupina X(k) je definitivně generováno. Programy počítačové algebry mohou určit skupinu Mordell – Weil X(k) v mnoha příkladech, ale není známo, zda existuje algoritmus, který při výpočtu této skupiny vždy uspěje. To by vyplývalo z domněnky, že skupina Tate-Shafarevich je konečná, nebo z příbuzné Domněnka Birch – Swinnerton-Dyer.^[3]

Rod alespoň 2

Faltingova věta (dříve Mordellova domněnka) říká, že pro jakoukoli křivku X rodu alespoň 2 nad číselným polem k, sada X(k) je konečný.^[4]

Některé z velkých úspěchů teorie čísel znamenají určení racionálních bodů na konkrétních křivkách. Například, Fermatova poslední věta (prokázáno Richard Taylor a Andrew Wiles ) je ekvivalentní s tvrzením, že pro celé číslo n alespoň 3, jediné racionální body křivky Xⁿ + yⁿ = zⁿ v P² přes Q jsou zřejmé: [0,1,1] a [1,0,1]; [0,1, -1] a [1,0, -1] pro n dokonce; a [1, -1,0] pro n zvláštní. Křivka X (jako každá hladká křivka stupně n v P²) má rod (n − 1)(n − 2)/2.

Není známo, zda existuje algoritmus pro nalezení všech racionálních bodů na libovolné křivce rodu alespoň 2 přes číselné pole. V některých případech existuje algoritmus, který funguje. Jeho ukončení by obecně vyplývalo z domněnek, že skupina Tate – Shafarevich z abelianské odrůdy přes číselné pole je konečná a že Brauer – Maninova obstrukce je jedinou překážkou principu Hasse v případě křivek.^[5]

Vyšší rozměry

Odrůdy s několika racionálními body

Ve vyšších dimenzích je jedním sjednocujícím cílem Bombieri –Lang dohad to pro každou odrůdu X z obecný typ přes číselné pole k, soubor k- racionální body X není Zariski hustý v X. (Toto je k-racionální body jsou obsaženy v konečném spojení nižších dimenzionálních poddruhů X.) V dimenzi 1 se jedná přesně o Faltingovu větu, protože křivka je obecného typu právě tehdy, má-li rod alespoň 2. Lang také vytvořil jemnější domněnky týkající se konečnosti racionálních bodů k Kobayashi hyperbolicita.^[6]

Například hypotéza Bombieri – Lang předpovídá, že to bude hladké nadpovrch stupně d v projektivním prostoru Pⁿ nad číselným polem nemá Zariski husté racionální body, pokud d ≥ n + 2. O tomto případu se toho příliš neví. Nejsilnějším známým výsledkem hypotézy Bombieri – Lang je Faltingova věta o poddruzích abelianských odrůd (zobecňující případ křivek). Jmenovitě, pokud X je podrodina abelianské odrůdy A přes číselné pole k, pak vše k- racionální body X jsou obsaženy v konečném spojení překladačů abelianských odrůd obsažených v X.^[7] (Takže když X potom neobsahuje žádné přeložené abelianské poddruhy pozitivní dimenze X(k) je konečný.)

Odrůdy s mnoha racionálními body

V opačném směru, odrůda X přes číselné pole k se říká, že má potenciálně hustý racionální body, pokud existuje pole konečného rozšíření E z k takové, že E- racionální body X jsou v Zariski husté X. Frédéric Campana se domníval, že odrůda je potenciálně hustá právě tehdy, pokud nemá racionální fibraci nad pozitivně-dimenzionální orbifold obecného typu.^[8] Známým případem je, že každý kubický povrch v P³ přes číselné pole k má potenciálně husté racionální body, protože (silněji) se stává Racionální přes nějaké konečné prodloužení k (pokud to není kužel přes rovinnou kubickou křivku). Campanova domněnka by také naznačovala, že a Povrch K3 X (například hladký kvartický povrch v P³) nad číselným polem má potenciálně husté racionální body. To je známo pouze ve zvláštních případech, například pokud X má eliptická fibrace.^[9]

Lze se zeptat, kdy má odrůda racionální bod, aniž by prodloužila základní pole. V případě hyperplochy X stupně d v Pⁿ nad číselným polem jsou dobré výsledky, když d je mnohem menší než n, často na základě Hardy – Littlewoodova kruhová metoda. Například Hasse – Minkowského věta říká, že princip Hasse platí pro kvadrické hyperplochy nad číselným polem (případ d = 2). Christopher Hooley prokázal Hasseův princip pro hladké kubické hyperplochy v Pⁿ přes Q když n ≥ 8.^[10] Ve vyšších dimenzích platí ještě více: každý hladký kubický in Pⁿ přes Q má racionální bod, když n ≥ 9, podle Roger Heath-Brown.^[11] Obecněji, Birchova věta říká, že pro jakékoli liché kladné celé číslo d, existuje celé číslo N takové, že pro všechny n ≥ N, každý nadpovrchový stupeň d v Pⁿ přes Q má racionální bod.

Pro hyperplochy menší dimenze (z hlediska jejich stupně) to může být komplikovanější. Například princip Hasse selže u hladké kubické plochy 5X³ + 9y³ + 10z³ + 12w³ = 0 palců P³ přes Qtím, že Ian Cassels a Richard Guy.^[12] Jean-Louis Colliot-Thélène se domníval, že Brauer – Maninová obstrukce je jedinou překážkou principu Hasse pro kubické povrchy. Obecněji by to mělo platit pro všechny racionálně propojená odrůda přes číselné pole.^[13]

V některých případech je známo, že X má „mnoho“ racionálních bodů, kdykoli má. Například rozšíření práce o Beniamino Segre a Jurij Manin, János Kollár ukázal: pro krychlový nadpovrch X o rozměru nejméně 2 na a perfektní pole k s X ne kužel, X je iracionální přes k pokud má k- racionální bod.^[14] (Zejména pro k nekonečnost, nerozumnost znamená, že množina k- racionální body jsou v Zariski husté X.) Manin domněnka je přesnější tvrzení, které by popisovalo asymptotiku počtu racionálních bodů ohraničeného výška na Odrůda Fano.

Počítání bodů přes konečná pole

Odrůda X přes konečné pole k má jich konečně mnoho k- racionální body. The Weil dohady, prokázáno André Weil v dimenzi 1 a další Pierre Deligne v jakékoli dimenzi uveďte silné odhady počtu k- body z hlediska Betti čísla z X. Například pokud X je hladká projektivní křivka rodu G přes pole k řádu q (hlavní síla)

${ displaystyle { big |} | X (k) | - (q + 1) { big |} leq 2g { sqrt {q}}.}$

Pro hladký povrch X stupně d v Pⁿ přes pole k řádu qDeligneova věta dává vazbu:^[15]

${ displaystyle { big |} | X (k) | - (q ^ {n-1} + cdots + q + 1) { big |} leq { bigg (} { frac {(d- 1) ^ {n + 1} + (- 1) ^ {n + 1} (d-1)} {d}} { bigg)} q ^ {(n-1) / 2}.}$

Existují také významné výsledky, když jde o projektivní odrůdu přes konečné pole k má alespoň jeden k- racionální bod. Například Chevalleyova varovná věta znamená, že jakýkoli hyperplocha X stupně d v Pⁿ přes konečné pole k má k- racionální bod, pokud d ≤ n. Pro hladké X, vyplývá to také z Hélène Esnault Věta, že každý hladký projektiv racionálně připojený řetězec rozmanitost, například každá odrůda Fano, přes konečné pole k má k- racionální bod.^[16]

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Birational geometrie
• Funktor reprezentovaný schématem

Poznámky

Reference

• Campana, Frédéric (2004), „Orbifolds, speciální odrůdy a teorie klasifikace“ (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 54 (3): 499–630, doi:10,5802 / aif.2027, PAN  2097416
• Colliot-Thélène, Jean-Louis; Kanevsky, Dimitri; Sansuc, Jean-Jacques (1987), „Arithmétique des povrchy cubiques diagonales“, Diophantine teorie přiblížení a transcendencePřednášky z matematiky, 1290, Springer Nature, s. 1–108, doi:10.1007 / BFb0078705, ISBN  978-3-540-18597-0, PAN  0927558
• Esnault, Hélène (2003), „Odrůdy nad konečným polem s triviální Chowovou skupinou 0 cyklů mají racionální bod“, Inventiones Mathematicae, 151 (1): 187–191, arXiv:matematika / 0207022, Bibcode:2003InMat.151..187E, doi:10.1007 / s00222-002-0261-8, PAN  1943746
• Hassett, Brendan (2003), „Potenciální hustota racionálních bodů na algebraických odrůdách“, Vyšší dimenzionální odrůdy a racionální body (Budapešť, 2001)Matematické studie společnosti Bolyai Society, 12, Springer Nature, str. 223–282, doi:10.1007/978-3-662-05123-8_8, ISBN  978-3-642-05644-4, PAN  2011748
• Heath-Brown, D. R. (1983), "Kubické tvary v deseti proměnných", Proceedings of the London Mathematical Society, 47 (2): 225–257, doi:10.1112 / plms / s3-47.2.225, PAN  0703978
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry: an Introduction, Springer Nature, ISBN  978-0-387-98981-5, PAN  1745599
• Hooley, Christopher (1988), "O nonary kubických formách", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1988 (386): 32–98, doi:10,1515 / crll.1988.386,32, PAN  0936992
• Katz, N. M. (1980), „Práce Pierra Deligna“ (PDF), Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků (Helsinky, 1978), Helsinky: Academia Scientiarum Fennica, str. 47–52, PAN  0562594
• Kollár, János (2002), „Unirationality of cubic hypersurfaces“, Journal of the Mathematical Institute of Jussieu, 1 (3): 467–476, arXiv:matematika / 0005146, doi:10.1017 / S1474748002000117, PAN  1956057
• Poonen, Bjorn (2017), Racionální body u odrůd, Americká matematická společnost, ISBN  978-1-4704-3773-2, PAN  3729254
• Silverman, Joseph H. (2009) [1986], Aritmetika eliptických křivek (2. vyd.), Springer Nature, ISBN  978-0-387-96203-0, PAN  2514094
• Skorobogatov, Alexej (2001), Torzory a racionální body, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-80237-6, PAN  1845760

externí odkazy

• Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), Místní a globální principy pro racionální body a nulové cykly (PDF)