Tunnelllova věta - Tunnells theorem - Wikipedia

v teorie čísel, Tunnellova věta dává částečné rozlišení shodný problém s číslem a pod Birch a domněnka Swinnerton-Dyer, plné rozlišení.

Problém shodného čísla

Problém shodného čísla se ptá, které kladná celá čísla může být oblast pravoúhlého trojúhelníku se všemi třemi stranami racionální. Tunnellova věta to souvisí s počtem integrálních řešení několika poměrně jednoduchých Diophantine rovnice.

Teorém

Pro dané celé číslo bez čtverce n, definovat

${ displaystyle { begin {aligned} A_ {n} & = # {(x, y, z) in mathbb {Z} ^ {3} mid n = 2x ^ {2} + y ^ { 2} + 32z ^ {2} }, B_ {n} & = # {(x, y, z) in mathbb {Z} ^ {3} mid n = 2x ^ {2} + y ^ {2} + 8z ^ {2} }, C_ {n} & = # {(x, y, z) in mathbb {Z} ^ {3} mid n = 8x ^ {2} + 2r ^ {2} + 64z ^ {2} }, D_ {n} & = # {(x, y, z) v mathbb {Z} ^ {3} střední n = 8x ^ {2} + 2y ^ {2} + 16z ^ {2} }. end {zarovnáno}}}$

Tunnellova věta říká, že za předpokladu n je shodné číslo, pokud n je liché, pak 2A_n = B_n a pokud n je i tehdy 2C_n = D_n. Naopak, pokud Birch a domněnka Swinnerton-Dyer platí pro eliptické křivky formuláře ${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x}$, tyto rovnosti jsou dostatečné k závěru, že n je shodné číslo.

Dějiny

Věta je pojmenována pro Jerrold B. Tunnell, teoretik čísel na Rutgersova univerzita, který to dokázal v Tunnell (1983).

Důležitost

Důležitost Tunnellovy věty spočívá v tom, že kritérium, které dává, je testovatelné konečným výpočtem. Například pro daný n, čísla A_n,B_n,C_n,D_n lze vypočítat vyčerpávajícím prohledáním X,y,z v dosahu ${ displaystyle - { sqrt {n}}, ldots, { sqrt {n}}}$.

Viz také

Reference

• Koblitz, Neal (2012), Úvod do eliptických křivek a modulárních forem, Postgraduální texty z matematiky (Kniha 97) (2. vydání), Springer-Verlag, ISBN  978-1-4612-6942-7
• Tunnell, Jerrold B. (1983), „Klasický diophantinový problém a modulární formy hmotnosti 3/2“, Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, doi:10.1007 / BF01389327, hdl:10338.dmlcz / 137483