Congruum - Congruum

Dva pravé trojúhelníky s nohou a přeponou (7,13) a (13,17) mají stejné třetí strany délky √120. Čtverec této strany, 120, je kongruum: je to rozdíl mezi po sobě jdoucími hodnotami v aritmetický postup čtverců 72, 132, 172. Ekvivalentně, dva annuli mezi třemi žlutými kruhy mají stejné oblasti, π krát kongruum.

v teorie čísel, a kongruum (množný congrua) je rozdíl mezi po sobě jdoucími čtvercová čísla v aritmetický postup ze tří čtverců. To znamená, že pokud X2, y2, a z2 (pro celá čísla X, y, a z) jsou tři čtvercová čísla, která jsou od sebe rovnoměrně rozmístěna, potom mezera mezi nimi, z2 − y2 = y2 − X2, se nazývá kongruum.

The kongruum problém je problém hledání čtverců v aritmetické posloupnosti a jejich související kongrua.[1] Může být formalizován jako Diophantine rovnice: najít celá čísla X, y, a z takhle

Když je tato rovnice splněna, obě strany rovnice se rovnají kongruum.

Fibonacci vyřešil problém kongruum nalezením parametrizovaného vzorce pro generování všech kongrua spolu s jejich přidruženými aritmetickými průběhy. Podle tohoto vzorce je každé kongruum čtyřnásobkem plochy a Pytagorův trojúhelník. Congrua jsou také úzce spojeni s shodná čísla: každé kongruum je kongruentní číslo a každé kongruentní číslo je kongruum vynásobené druhou mocninou racionálního čísla.

Příklady

Například číslo 96 je kongruum, protože je to rozdíl mezi sousedními čtverci v posloupnosti 4, 100 a 196 (čtverce 2, 10 a 14).

Prvních pár kongrua je:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720… (sekvence A256418 v OEIS ).

Dějiny

Problém kongruum byl původně položen v roce 1225, jako součást matematického turnaje pořádaného Frederick II, svatý římský císař a v té době správně odpověděl Fibonacci, který svou práci na tomto problému zaznamenal ve svém Kniha čtverců.[2]

Fibonacci si již byl vědom, že je nemožné, aby kongruum samo o sobě bylo čtvercem, ale o této skutečnosti neposkytl uspokojivý důkaz.[3] Geometricky to znamená, že není možné, aby dvojice nohou Pythagorova trojúhelníku byla nohou a přeponou jiného Pythagorova trojúhelníku. Důkaz nakonec poskytl Pierre de Fermat a výsledek je nyní známý jako Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku. Fermat také předpokládal, a Leonhard Euler dokázal, že v aritmetickém postupu není sekvence čtyř čtverců.[4][5]

Parametrizované řešení

Problém kongruum lze vyřešit výběrem dvou odlišných kladných celých čísel m a n (s m > n); pak číslo 4mn(m2 −n2) je kongruum. Střední čtverec souvisejícího aritmetického postupu čtverců je (m2 + n2)2a další dva čtverce lze najít přidáním nebo odečtením kongrua. Vynásobením kongrua číslem čtverce navíc vznikne další kongruum, jehož postup čtverců se vynásobí stejným faktorem. Všechna řešení vznikají jedním z těchto dvou způsobů.[1] Například kongruum 96 lze zkonstruovat pomocí těchto vzorců pomocí m = 3 a n = 1, zatímco kongruum 216 je získáno vynásobením menšího kongrua 24 čtvercem číslo 9.

Ekvivalentní formulace tohoto řešení daná Bernard Frénicle de Bessy, je to pro tři čtverce v aritmetickém postupu X2, y2, a z2, prostřední číslo y je přepona a Pytagorův trojúhelník a další dvě čísla X a z jsou rozdíl a součet obou nohou trojúhelníku.[6] Samotný kongruum je čtyřnásobkem plochy stejného Pythagorovského trojúhelníku. Příklad aritmetického postupu s kongruem 96 lze získat tímto způsobem z a pravoúhlý trojuhelník s délkou bočnice a přepony 6, 8 a 10.

Vztah k shodným číslům

A shodné číslo je definována jako oblast pravoúhlého trojúhelníku s racionálními stranami. Protože každé kongruum lze získat (pomocí parametrizovaného řešení) jako oblast pythagorovského trojúhelníku, vyplývá z toho, že každé kongruum je shodné. Naopak, každé shodné číslo je kongruum vynásobené druhou mocninou racionálního čísla.[7] Testování, zda je číslo kongruum, je však mnohem jednodušší než testování, zda je číslo kongruentní. U problému s kongruem redukuje parametrizované řešení tento testovací problém na kontrolu konečné sady hodnot parametrů. Naproti tomu u problému shodného čísla je konečný testovací postup známý pouze hypoteticky, prostřednictvím Tunnellova věta, za předpokladu, že Birch a domněnka Swinnerton-Dyer je pravda.[8]

Viz také

  • Automedian trojúhelník, trojúhelník, pro který čtverce na třech stranách tvoří aritmetický postup
  • Theodorova spirála, tvořené pravoúhlými trojúhelníky, jejichž (necelé celé) strany, když jsou čtvercové, tvoří nekonečný aritmetický postup

Reference

  1. ^ A b Miláčku, Davide (2004), Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, str. 77, ISBN  978-0-471-66700-1.
  2. ^ Bradley, Michael John (2006), Zrození matematiky: starověké časy do roku 1300, Infobase Publishing, str. 124, ISBN  978-0-8160-5423-7.
  3. ^ Ruda, Øystein (2012), Teorie čísel a její historie, Courier Dover Corporation, s. 202–203, ISBN  978-0-486-13643-1.
  4. ^ Erickson, Martin J. (2011), Krásná matematika „MAA Spectrum, Mathematical Association of America, s. 94–95, ISBN  978-0-88385-576-8.
  5. ^ Eulerův důkaz není jasně napsán. Základní důkaz je uveden v Brown, Kevin, „Žádné čtyři čtverce v aritmetickém postupu“, MathPages, vyvoláno 2014-12-06.
  6. ^ Beiler, Albert H. (1964), Rekreace v teorii čísel: Královna matematiky baví, Courier Corporation, s. 153, ISBN  978-0-486-21096-4.
  7. ^ Conrad, Keith (Podzim 2008), „Problém shodného čísla“ (PDF), Harvard College Mathematical Review, 2 (2): 58–73, archivovány od originál (PDF) dne 2013-01-20.
  8. ^ Koblitz, Neal (1984), Úvod do eliptických křivek a modulárních forem, Postgraduální texty z matematiky, č. 97, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97966-2

externí odkazy