Birch a domněnka Swinnerton-Dyer - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

v matematika, Birch a domněnka Swinnerton-Dyer popisuje soubor racionálních řešení rovnic definujících an eliptická křivka. Jedná se o otevřený problém v oblasti teorie čísel a je široce uznáván jako jeden z nejnáročnějších matematických problémů. Domněnka byla vybrána jako jedna ze sedmi Problémy s cenou tisíciletí uvedeny podle Hliněný matematický institut, která za první správný důkaz nabídla cenu 1 000 000 $.^[1] Je pojmenována podle matematiků Bryan Birch a Peter Swinnerton-Dyer, který vyvinul domněnku během první poloviny 60. let pomocí strojového výpočtu. Od roku 2019^{[Aktualizace]}, byly prokázány pouze zvláštní případy domněnky.

Moderní formulace domněnky se týká aritmetických dat spojených s eliptickou křivkou E přes pole s číslem K. chování Hasse – Weil L-funkce L(E, s) z E na s = 1. Přesněji se předpokládá, že hodnost z abelianská skupina E(K.) bodů z E je řád nula L(E, s) na s = 1 a první nenulový koeficient v Taylorova expanze z L(E, s) na s = 1 je dán rafinovanějšími aritmetickými daty připojenými k E přes K. (Wiles 2006 ).

Pozadí

Mordell (1922) dokázal Mordellova věta: skupina racionální body na eliptické křivce má konečnou základ. To znamená, že pro jakoukoli eliptickou křivku existuje konečná podmnožina racionálních bodů na křivce, ze kterých lze generovat všechny další racionální body.

Pokud je počet racionálních bodů na křivce nekonečný pak nějaký bod na konečné bázi musí mít nekonečné pořadí. Počet nezávislý bazické body s nekonečným řádem se nazývá hodnost křivky a je důležitý neměnný vlastnost eliptické křivky.

Pokud je hodnost eliptické křivky 0, pak má křivka pouze konečný počet racionálních bodů. Na druhou stranu, pokud je pořadí křivky větší než 0, pak má křivka nekonečný počet racionálních bodů.

Ačkoli Mordellova věta ukazuje, že hodnost eliptické křivky je vždy konečná, neposkytuje efektivní metodu pro výpočet hodnosti každé křivky. Pořadí určitých eliptických křivek lze vypočítat pomocí numerických metod, ale (za současného stavu znalostí) není známo, zda tyto metody zvládají všechny křivky.

An L-funkce L(E, s) lze definovat pro eliptickou křivku E vytvořením Produkt Euler z počtu bodů na křivce modulo každý primární str. Tento L-funkce je analogická s Funkce Riemann zeta a Dirichlet řada L. který je definován pro binární soubor kvadratická forma. Jedná se o speciální případ a Funkce Hasse – Weil L..

Přirozená definice L(E, s) konverguje pouze pro hodnoty s v komplexní rovině s Re (s) > 3/2. Helmut Hasse domyslel si to L(E, s) lze rozšířit o analytické pokračování do celé složité roviny. Tuto domněnku poprvé prokázal Deuring (1941) pro eliptické křivky s komplexní násobení. Následně se ukázalo, že to platí pro všechny eliptické křivky Qv důsledku věta o modularitě.

Nalezení racionálních bodů na obecné eliptické křivce je obtížný problém. Nalezení bodů na eliptické křivce modulo dané prvočíslo str je koncepčně přímočarý, protože existuje jen omezený počet možností kontroly. Pro velká prvočísla je však výpočetně náročná.

Dějiny

Na začátku šedesátých let Peter Swinnerton-Dyer použil EDSAC-2 počítač u Počítačová laboratoř University of Cambridge vypočítat počet bodů modulo str (označeno N_str) pro velký počet prvočísel str na eliptických křivkách, jejichž pozice byla známá. Z těchto číselných výsledků Birch & Swinnerton-Dyer (1965) domyslel si to N_str pro křivku E s hodností r dodržuje asymptotický zákon

${ displaystyle prod _ {p leq x} { frac {N_ {p}} {p}} přibližně C log (x) ^ {r} { mbox {as}} x rightarrow infty}$

kde C je konstanta.

Původně to bylo založeno na poněkud řídkých trendech v grafických grafech; to vyvolalo míru skepticismu v J. W. S. Cassels (Birchův Ph.D. poradce).^[2] Postupem času se početní důkazy naskládaly.

To je zase vedlo k vytvoření obecné domněnky o chování L-funkce křivky L(E, s) na s = 1, a sice, že by měl nulu řádu r v tomto bodě. Vzhledem k analytickému pokračování to byla prozatím prozíravá domněnka L(E, s) existovaly pouze křivky se složitým násobením, které byly také hlavním zdrojem numerických příkladů. (Pozn reciproční funkce L je z některých hledisek přirozenějším předmětem studia; v některých případech to znamená, že je třeba uvažovat spíše o pólech než o nulech.)

Domněnka byla následně rozšířena tak, aby zahrnovala předpověď přesného vedení Taylorův koeficient funkce L při s = 1. Je hypoteticky dáno vztahem

${ displaystyle { frac {L ^ {(r)} (E, 1)} {r!}} = { frac { # mathrm {Sha} (E) Omega _ {E} R_ {E} prod _ {p | N} c_ {p}} {( # E _ { mathrm {Tor}}) ^ {2}}}}$

kde veličiny na pravé straně jsou invarianty křivky, studované Casselsem, Tate, Shafarevich a další: patří mezi ně objednávka torzní skupina, pořadí Skupina Tate – Shafarevich a kanonické výšky na základě racionálních bodů (Wiles 2006 ).

Aktuální stav

Spiknutí ${ displaystyle prod _ {p leq X} { frac {N_ {p}} {p}}}$ pro křivku y² = X³ − 5X tak jako X se mění během prvních 100 000 prvočísel. The X-axis je log (log (X)) a Y-os je v logaritmickém měřítku, takže domněnka předpovídá, že data by měla tvořit přímku sklonu rovnou hodnosti křivky, která je v tomto případě 1. Pro srovnání, čára sklonu 1 je v grafu nakreslena červeně.

Birch a Swinnerton-Dyer domněnka byla prokázána pouze ve zvláštních případech:

1. Coates & Wiles (1977) dokázal, že pokud E je křivka nad číselným polem F s komplexním násobením pomocí imaginární kvadratické pole K. z číslo třídy 1, F = K. nebo Q, a L(E, 1) není tedy 0 E(F) je konečná skupina. To bylo rozšířeno na případ, kdy F je nějaká konečná abelian rozšíření z K. podle Arthaud (1978).
2. Gross & Zagier (1986) ukázal, že pokud a modulární eliptická křivka má nulu prvního řádu na s = 1, pak má racionální bod nekonečného řádu; vidět Gross-Zagierova věta.
3. Kolyvagin (1989) ukázal, že modulární eliptická křivka E pro který L(E, 1) není nula má hodnocení 0 a modulární eliptickou křivku E pro který L(E, 1) má nulu prvního řádu na s = 1 má hodnocení 1.
4. Rubin (1991) ukázal, že pro eliptické křivky definované nad imaginárním kvadratickým polem K. s komplexním násobením K., pokud L-series of eliptic curve was not zero at s = 1, pak str- část skupiny Tate – Shafarevich měla pořadí předpovězené domněnkou Birch a Swinnerton-Dyer pro všechna prvočísla str > 7.
5. Breuil a kol. (2001), rozšiřující práci Wiles (1995), to dokázal všechny eliptické křivky definované nad racionálními čísly jsou modulární, který rozšiřuje výsledky # 2 a # 3 na všechny eliptické křivky nad racionálními hodnotami a ukazuje, že L- funkce všech eliptických křivek Q jsou definovány na s = 1.
6. Bhargava & Shankar (2015) dokázal, že průměrná hodnost skupiny Mordell-Weil eliptické křivky skončila Q je výše omezeno 7/6. V kombinaci s teorém o paritě z Nekovář (2009) a Dokchitser & Dokchitser (2010) as dokladem o hlavní domněnka Iwasawa teorie pro GL (2) o Skinner & Urban (2014), došli k závěru, že pozitivní podíl eliptických křivek přes Q mít analytickou hodnost nula, a tedy o Kolyvagin (1989), uspokojte domněnku Birch a Swinnerton-Dyer.

Nic nebylo prokázáno pro křivky s hodností větší než 1, i když existují rozsáhlé numerické důkazy o pravdivosti domněnky.^[3]

Důsledky

Stejně jako Riemannova hypotéza, tato domněnka má několik důsledků, včetně následujících dvou:

• Nechat n být lichý bez čtverce celé číslo. Za předpokladu domněnky Birch a Swinnerton-Dyer, n je plocha pravoúhlého trojúhelníku s racionálními délkami stran (a shodné číslo ) právě tehdy, když počet tripletů celých čísel (X, y, z) uspokojující 2X² + y² + 8z² = n je dvojnásobný počet uspokojujících trojčat 2X² + y² + 32z² = n. Toto prohlášení, kvůli Tunnellova věta (Tunnell 1983 ), souvisí se skutečností, že n je shodné číslo právě tehdy, je-li eliptická křivka y² = X³ − n²X má racionální bod nekonečného řádu (tedy podle hypotézy Birch a Swinnerton-Dyer jeho L-funkce má nulu na 1). Zájem o toto prohlášení je, že stav je snadno ověřitelný.^[4]
• V jiném směru umožňují určité analytické metody odhad řádu nuly ve středu kritický pás rodin L-funkce. Připouštíme-li domněnku BSD, tyto odhady odpovídají informacím o hodnosti rodin dotyčných eliptických křivek. Například: předpokládejme zobecněná Riemannova hypotéza a domněnka BSD, průměrná hodnost křivek daná vztahem y² = X³ + sekera+ b je menší než 2.^[5]

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Domněnka Swinnerton-Dyer“. MathWorld.
• „Domněnka Birch a Swinnerton-Dyer“. PlanetMath.
• Domněnka Birch a Swinnerton-Dyer: Rozhovor s profesorem Henri Darmon Agnes F. Beaudry
• Co je domněnka Birch a Swinnerton-Dyer? přednáška od Manjul Bhargava (září 2016) přednesené na konferenci Clay Research Conference, která se konala na Oxfordské univerzitě