Pořadí (lineární algebra) - Rank (linear algebra) - Wikipedia

v lineární algebra, hodnost a matice ${ displaystyle A}$ je dimenze z vektorový prostor generované (nebo překlenul ) podle jeho sloupců.^[1] To odpovídá maximálnímu počtu lineárně nezávislé sloupce ${ displaystyle A}$ . To je zase identické s rozměrem vektorového prostoru překlenutého jeho řádky.^[2] Pořadí je tedy měřítkem „nedgenerativnost "z soustava lineárních rovnic a lineární transformace kódováno uživatelem ${ displaystyle A}$ . Existuje několik ekvivalentních definic hodnosti. Pořadí matice je jednou z jejích nejzákladnějších charakteristik.

Hodnost je běžně označována ${ displaystyle operatorname {hodnost} (A)}$ nebo ${ displaystyle operatorname {rk} (A)}$ ; někdy nejsou závorky psány, jako v ${ displaystyle operatorname {hodnost} A}$ .

Hlavní definice

V této části uvádíme některé definice hodnosti matice. Existuje mnoho definic; vidět Alternativní definice pro několik z nich.

The pořadí sloupců z ${ displaystyle A}$ je dimenze z sloupcový prostor z ${ displaystyle A}$ , zatímco řada z ${ displaystyle A}$ je rozměr řádkový prostor z ${ displaystyle A}$ .

Zásadním výsledkem lineární algebry je, že pořadí sloupců a pořadí řádků jsou vždy stejné. (Dva důkazy o tomto výsledku jsou uvedeny v § Důkazy, že sloupec pořadí = pořadí řádků, níže.) Toto číslo (tj. počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců) se jednoduše nazývá hodnost z ${ displaystyle A}$ .

Matice se říká, že má plná hodnost pokud se jeho pozice rovná největší možné pro matici stejných rozměrů, což je menší z počtu řádků a sloupců. Matice se říká, že je nedostatek hodnosti pokud nemá plnou hodnost. The nedostatek hodnosti matice je rozdíl mezi tím menším mezi počtem řádků a sloupců a hodností.

Hodnost je také rozměrem obraz z lineární transformace to je dáno vynásobením A. Obecněji, pokud a lineární operátor na vektorový prostor (možná nekonečně-dimenzionální) má konečně-dimenzionální obraz (např. a operátor konečné pozice ), potom je hodnost operátora definována jako rozměr obrazu.

Příklady

Matice

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 3 & 0 end {bmatrix}}}

má pořadí 2: první dva sloupce jsou lineárně nezávislé, takže pořadí je nejméně 2, ale protože třetí je lineární kombinací prvních dvou (druhý odečtený od prvního), tři sloupce jsou lineárně závislé, takže pořadí musí být menší než 3.

Matice

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 - 1 & -1 & 0 & -2 end {bmatrix}}}

má pořadí 1: existují nenulové sloupce, takže pořadí je kladné, ale jakýkoli pár sloupců je lineárně závislý. Podobně přemístit

{ displaystyle A ^ { mathrm {T}} = { začátek {bmatrix} 1 & -1 1 & -1 0 & 0 2 & -2 konec {bmatrix}}}

z ${ displaystyle A}$ má hodnost 1. Ve skutečnosti, protože vektory sloupců ${ displaystyle A}$ jsou řádkové vektory přemístit z ${ displaystyle A}$ , prohlášení, že pořadí sloupce matice se rovná jeho pořadí řádků, je ekvivalentní s tvrzením, že pořadí matice se rovná pořadí jeho transpozice, tj. ${ displaystyle operatorname {rank} (A) = operatorname {rank} left (A ^ { mathrm {T}} right)}$ .

Výpočet hodnosti matice

Pořadí z formulářů řady řádků

Běžným přístupem k nalezení hodnosti matice je obecně její redukce do jednodušší formy řádkový sled tím, že základní řádkové operace. Operace řádků nezmění prostor řádků (proto nezmění pořadí řádků), a protože jsou invertibilní, namapují prostor sloupců na izomorfní prostor (proto nezmění pořadí sloupců). Jakmile je v pořadí řady, pořadí je jasně stejné pro pořadí řádků i sloupců a rovná se počtu čepy (nebo základní sloupce) a také počet nenulových řádků.

Například matice ${ displaystyle A}$ dána

{ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 5 & 0 end {bmatrix}}}

lze vložit do zmenšené řady řádků pomocí následujících základních operací s řádky:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 - 2 & -3 & 1 3 & 5 & 0 end {bmatrix}} R_ {2} rightarrow 2r_ {1} + r_ {2} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 3 & 5 & 0 end {bmatrix}} R_ {3} rightarrow -3r_ {1} + r_ {3} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & -1 & -3 end {bmatrix}} R_ { 3} rightarrow r_ {2} + r_ {3} { begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} R_ {1} rightarrow -2r_ {2} + r_ {1} { začátek {bmatrix} 1 & 0 & -5 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}

.

Konečná matice (ve formě řady echelon) má dva nenulové řádky a tedy hodnost matice ${ displaystyle A}$ je 2.

Výpočet

Při aplikaci na plovoucí bod výpočty na počítačích, základní Gaussova eliminace (LU rozklad ) může být nespolehlivý a místo toho by měl být použit rozklad odhalující hodnost. Účinnou alternativou je rozklad singulární hodnoty (SVD), ale existují i jiné méně nákladné volby, například QR rozklad s otočným (tzv hodnostní odhalení QR faktorizace ), které jsou stále numericky robustnější než Gaussova eliminace. Numerické stanovení hodnosti vyžaduje kritérium pro rozhodování, kdy by se s hodnotou, jako je singulární hodnota ze SVD, mělo zacházet jako s nulou, což je praktická volba, která závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Důkazy, že sloupec pořadí = pořadí řádků

Skutečnost, že řady sloupců a řádků jakékoli matice jsou stejné formy, je v lineární algebře zásadní. Bylo poskytnuto mnoho důkazů. Jeden z nejzákladnějších byl načrtnut § Pořadí z řádkových řad. Zde je varianta tohoto dokladu:

Je jednoduché ukázat, že ani pořadí řádků, ani pořadí sloupců se nezmění znakem základní řádková operace. Tak jako Gaussova eliminace výnosy ze základních operací s řádky, snížená řada echelon forma matice má stejné pořadí řádků a stejné pořadí sloupců jako původní matice. Další základní operace se sloupci umožňují uvedení matice ve formě matice identity případně ohraničené řádky a sloupci nul. Tím se opět nemění ani pořadí řádků, ani pořadí sloupců. Je okamžité, že řady i sloupce této výsledné matice jsou počtem jejích nenulových položek.

Představujeme další dva důkazy tohoto výsledku. První používá pouze základní vlastnosti lineární kombinace vektorů a platí pro všechny pole. Důkaz je založen na Wardlawovi (2005).^[3] Druhé použití ortogonalita a platí pro matice nad reálná čísla; je založen na Mackiwovi (1995).^[2] Oba důkazy lze najít v knize Banerjee a Roy (2014).^[4]

Důkaz pomocí lineárních kombinací

Nechat A být m × n matice. Nechte sloupec hodnost A být ra nechte C₁, ..., C_r být jakýmkoli základem pro prostor sloupců A. Umístěte je jako sloupce m × r matice C. Každý sloupec A lze vyjádřit jako lineární kombinaci r sloupce v C. To znamená, že existuje r × n matice R takhle A = CR. R je matice, jejíž i sloupec je tvořen z koeficientů udávajících i th sloupec A jako lineární kombinace r sloupce C. Jinými slovy, R je matice, která obsahuje násobky pro základy prostoru sloupců A (který je C), které se pak používají k vytvoření A jako celek. Nyní, každá řada A je dána lineární kombinací r řádky R. Proto řádky R tvoří překlenovací sadu prostoru řádků A a tím Steinitzovo výměnné lema, řada řádků A nemůže překročit r. To dokazuje, že řada má A je menší nebo rovno hodnosti sloupce A. Tento výsledek lze použít na libovolnou matici, takže výsledek použijte na transpozici A. Vzhledem k tomu, řada řádků transponovat A je pořadí sloupců A a pořadí sloupců transpozice A je řada řádků A, tím se vytvoří obrácená nerovnost a získáme rovnost pořadí řádků a pořadí sloupců A. (Viz také Faktorizace pořadí.)

Důkaz pomocí ortogonality

Nechat A být m × n matice se záznamy v reálná čísla jehož pořadí řádků je r. Proto je rozměr prostoru řádků A je r. Nechat ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {r}}$ být základ prostoru řádků A. Tvrdíme, že vektory ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ jsou lineárně nezávislé. Chcete-li zjistit, proč, zvažte lineární homogenní vztah zahrnující tyto vektory se skalárními koeficienty ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, ldots, c_ {r}}$ :

{ displaystyle 0 = c_ {1} Ax_ {1} + c_ {2} Ax_ {2} + cdots + c_ {r} Ax_ {r} = A (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r}) = Av,}

kde ${ displaystyle v = c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r}}$ . Provádíme dvě pozorování: (a) proti je lineární kombinace vektorů v prostoru řádků A, což z toho vyplývá proti patří do prostoru řádků Aa (b) od A proti = 0, vektor proti je ortogonální do každého řádku vektoru A a proto je kolmý ke každému vektoru v prostoru řádků A. Fakta a) ab) to společně naznačují proti je k sobě kolmý, což dokazuje proti = 0 nebo, podle definice proti,

{ displaystyle c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + cdots + c_ {r} x_ {r} = 0.}

Ale pamatujte, že ${ displaystyle x_ {i}}$ byly vybrány jako základ prostoru řádků A a tak jsou lineárně nezávislé. To z toho vyplývá ${ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = cdots = c_ {r} = 0}$ . Z toho vyplývá, že ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ jsou lineárně nezávislé.

Teď každý ${ displaystyle Ax_ {i}}$ je zjevně vektor v prostoru sloupců A. Tak, ${ displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}}$ je sada r lineárně nezávislé vektory v prostoru sloupců A a tedy rozměr prostoru sloupců A (tj. pořadí sloupců A) musí být minimálně stejně velký jako r. To dokazuje, že řada řádků A není větší než pořadí sloupců A. Nyní použijte tento výsledek k provedení A získat obrácenou nerovnost a učinit závěr jako v předchozím důkazu.

Alternativní definice

Ve všech definicích v této části matice A je považován za m × n matice nad libovolnou pole F.

Rozměr obrazu

Vzhledem k matici ${ displaystyle A}$ , existuje přidružený lineární mapování

{ displaystyle f: F ^ {n} mapsto F ^ {m}}

definován

{ displaystyle f (x) = Sekera}

.

Hodnost ${ displaystyle A}$ je rozměr obrazu ${ displaystyle f}$ . Tato definice má tu výhodu, že ji lze použít na libovolnou lineární mapu bez potřeby konkrétní matice.

Pořadí z hlediska neplatnosti

Vzhledem ke stejnému lineárnímu mapování F jak je uvedeno výše, hodnost je n minus rozměr jádro z F. The věta o nulitě uvádí, že tato definice je ekvivalentní té předchozí.

Pořadí sloupců - rozměr prostoru sloupců

Hodnost A je maximální počet lineárně nezávislých sloupců ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}, tečky, c_ {k}}$ z A; to je dimenze z sloupcový prostor z A (prostor sloupců je podprostorem F^m generované sloupci A, což je ve skutečnosti jen obraz lineární mapy F spojené s A).

Pořadí řádků - rozměr prostoru řádků

Hodnost A je maximální počet lineárně nezávislých řádků A; to je rozměr řádkový prostor z A.

Pořadí rozkladu

Hodnost A je nejmenší celé číslo k takhle A lze započítat jako ${ displaystyle A = CR}$ , kde C je m × k matice a R je k × n matice. Ve skutečnosti pro všechna celá čísla k, ekvivalentní jsou následující:

pořadí sloupců A je menší nebo rovno k,
existují k sloupce ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ velikosti m tak, že každý sloupec A je lineární kombinace ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ ,
existuje ${ displaystyle m krát k}$ matice C a a ${ displaystyle k krát n}$ matice R takhle ${ displaystyle A = CR}$ (když k je hodnost, to je faktorizace pořadí z A),
existují k řádky ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {k}}$ velikosti n tak, že každý řádek A je lineární kombinace ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {k}}$ ,
řada řádků A je menší nebo rovno k.

Ve skutečnosti jsou zřejmé následující ekvivalence: ${ displaystyle (1) Leftrightarrow (2) Leftrightarrow (3) Leftrightarrow (4) Leftrightarrow (5)}$ Například k prokázání (3) z (2) si vezměte C být maticí, jejíž sloupce jsou ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ z (2). Chcete-li dokázat (2) z (3), vezměte ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {k}}$ být sloupci C.

Vyplývá to z rovnocennosti ${ displaystyle (1) Leftrightarrow (5)}$ že pořadí řádků se rovná pořadí sloupců.

Stejně jako v případě charakterizace „dimenze obrazu“ lze toto zobecnit na definici hodnosti libovolné lineární mapy: hodnost lineární mapy F : PROTI → Ž je minimální rozměr k meziprostoru X takhle F lze napsat jako kompozici mapy PROTI → X a mapa X → Ž. Tato definice bohužel nenavrhuje efektivní způsob výpočtu hodnosti (pro kterou je lepší použít jednu z alternativních definic). Vidět faktorizace pořadí pro detaily.

Pořadí z hlediska singulárních hodnot

Hodnost A se rovná počtu nenulových singulární hodnoty, což je stejný počet nenulových prvků v diagonále Σ v rozklad singulární hodnoty ${ displaystyle A = U Sigma V ^ {*}}$ .

Určující hodnost - velikost největšího nemizejícího nezletilého

Hodnost A je největší řád ze všech nenulových Méně důležitý v A. (Pořadí nezletilé osoby je délka strany čtvercové podmatice, jejíž je determinantem.) Stejně jako charakterizace hodnosti rozkladu neposkytuje efektivní způsob výpočtu hodnosti, ale je teoreticky užitečná: a jediný nenulový nezletilý je svědkem spodní hranice (konkrétně jejího pořadí) pro hodnost matice, což může být užitečné (například) k prokázání, že určité operace nesnižují hodnost matice.

Nezanikající str-Méně důležitý (str × str submatice s nenulovým determinantem) ukazuje, že řádky a sloupce této submatice jsou lineárně nezávislé, a tedy tyto řádky a sloupce úplné matice jsou lineárně nezávislé (v úplné matici), takže řádky a sloupce jsou alespoň tak velký jako určující hodnost; konverzace je však méně přímočará. Ekvivalence determinantního pořadí a pořadí sloupců je posílením tvrzení, že pokud rozpětí n vektory má rozměr p, pak str z těchto vektorů se rozprostírá v prostoru (ekvivalentně, že jeden může zvolit rozpínací sadu, která je a podmnožina vektorů): ekvivalence znamená, že podmnožina řádků a podmnožina sloupců současně definují invertibilní submatici (ekvivalentně, pokud rozpětí n vektory má rozměr p, pak str těchto vektorů se rozprostírá v prostoru a existuje sada str souřadnice, na kterých jsou lineárně nezávislé).

Pořadí tenzorů - minimální počet jednoduchých tenzorů

Hodnost A je nejmenší číslo k takhle A lze napsat jako součet k matice hodnosti 1, kde je matice definována tak, aby měla hodnost 1 právě tehdy, pokud ji lze zapsat jako nenulový produkt ${ displaystyle c cdot r}$ sloupcového vektoru C a řádek vektor r. Tato představa o hodnosti se nazývá tenzorová hodnost; lze to zobecnit v oddělitelné modely interpretace rozklad singulární hodnoty.

Vlastnosti

To předpokládáme A je m × n matice a definujeme lineární mapu F podle F(X) = AX jak je uvedeno výše.

Hodnost m × n matice je a nezáporné celé číslo a nemůže být větší než jeden m nebo n. To znamená

{ displaystyle operatorname {hodnost} (A) leq min (m, n).}

Matice, která má hodnost min (m, n) se říká, že má plná hodnost; jinak je matice hodnocení nedostatečné.

Pouze a nulová matice má hodnost nula.
F je injekční (nebo „one-to-one“), právě když A má hodnost n (v tomto případě to říkáme A má celé pořadí sloupců).
F je surjektivní (nebo „na“) právě tehdy A má hodnost m (v tomto případě to říkáme A má hodnost celé řady).
Li A je čtvercová matice (tj. m = n), pak A je invertibilní kdyby a jen kdyby A má hodnost n (to znamená, A má úplnou hodnost).
Li B je jakýkoli n × k tedy matice

{ displaystyle operatorname {hodnost} (AB) leq min ( operatorname {hodnost} (A), operatorname {hodnost} (B)).}

Li B je n × k matice hodnosti n, pak

{ displaystyle operatorname {rank} (AB) = operatorname {rank} (A).}

Li C je l × m matice hodnosti m, pak

{ displaystyle operatorname {rank} (CA) = operatorname {rank} (A).}

Hodnost A je rovný r právě když existuje invertible m × m matice X a invertibilní n × n matice Y takhle

{ displaystyle XAY = { begin {bmatrix} I_ {r} & 0 0 & 0 end {bmatrix}},}

kde Já_r označuje r × r matice identity.

Sylvester Nerovnost: pokud A je m × n matice a B je n × k, pak

{ displaystyle operatorname {hodnost} (A) + operatorname {hodnost} (B) -n leq operatorname {hodnost} (AB).}

^[i]

Toto je zvláštní případ další nerovnosti.

Nerovnost kvůli Frobenius: pokud AB, ABC a před naším letopočtem jsou tedy definovány

{ displaystyle operatorname {rank} (AB) + operatorname {rank} (BC) leq operatorname {rank} (B) + operatorname {rank} (ABC).}

^[ii]

Subadditivita:

{ displaystyle operatorname {hodnost} (A + B) leq operatorname {hodnost} (A) + operatorname {hodnost} (B)}

když A a B jsou stejné dimenze. V důsledku tohok matici lze zapsat jako součet k matice hodnosti 1, ale ne méně.

Hodnost matice plus neplatnost matice se rovná počtu sloupců matice. (To je věta o nulitě.)
Li A je matice nad reálná čísla pak hodnost A a hodnost jeho odpovídajících Gramová matice jsou rovny. Tedy pro skutečné matice

{ displaystyle operatorname {rank} (A ^ { mathrm {T}} A) = operatorname {rank} (AA ^ { mathrm {T}}) = operatorname {rank} (A) = operatorname { hodnost} (A ^ { mathrm {T}}).}

To lze prokázat prokázáním jejich rovnosti nulové mezery. Nulový prostor matice Gram je dán vektory X pro který

{ displaystyle A ^ { mathrm {T}} Sekera = 0.}

Pokud je tato podmínka splněna, máme také

{ displaystyle 0 = x ^ { mathrm {T}} A ^ { mathrm {T}} Ax = left | Ax right | ^ {2}.}

^[5]

Li A je matice nad komplexní čísla a ${ displaystyle { overline {A}}}$ označuje komplexní konjugát A a A^∗ konjugovaná transpozice A (tj adjoint z A), pak

{ displaystyle operatorname {rank} (A) = operatorname {rank} ({ overline {A}}) = operatorname {rank} (A ^ { mathrm {T}}) = operatorname {rank} ( A ^ {*}) = operatorname {rank} (A ^ {*} A) = operatorname {rank} (AA ^ {*}).}

Aplikace

Jednou z užitečných aplikací pro výpočet hodnosti matice je výpočet počtu řešení a soustava lineárních rovnic. Podle Rouché – Capelliho věta, systém je nekonzistentní, pokud je hodnost rozšířená matice je větší než hodnost matice koeficientu. Pokud jsou naopak pozice těchto dvou matic stejné, pak musí mít systém alespoň jedno řešení. Řešení je jedinečné právě tehdy, když se pořadí rovná počtu proměnných. Jinak má obecné řešení k volné parametry kde k je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností. V tomto případě (a za předpokladu, že soustava rovnic je v reálných nebo komplexních číslech) má soustava rovnic nekonečně mnoho řešení.

v teorie řízení, lze k určení, zda a. použít pořadí matice lineární systém je ovladatelný nebo pozorovatelný.

V oblasti složitost komunikace, pozice komunikační matice funkce dává hranice množství komunikace potřebné pro dvě strany k výpočtu funkce.

Zobecnění

Existují různé zobecnění pojmu hodnost na matici nad libovolným prsteny, kde pořadí sloupců, pořadí řádků, rozměr prostoru sloupců a rozměr prostoru řádků matice se mohou lišit od ostatních nebo nemusí existovat.

Uvažování o maticích jako tenzory, tenzorová hodnost zobecňuje na libovolné tenzory; pro tenzory řádu většího než 2 (matice jsou řády 2 tenzory), rank je velmi těžké vypočítat, na rozdíl od matic.

Existuje představa hodnost pro hladké mapy mezi hladké potrubí. Rovná se lineárnímu pořadí derivát.

Matice jako tenzory

Matice by neměla být zaměňována s tenzorové pořadí, kterému se říká tensor rank. Pořadí tenzorů je počet indexů potřebných k zápisu a tenzor, a tedy všechny matice mají pořadí tenzorů 2. Přesněji, matice jsou tenzory typu (1,1), které mají jeden index řádků a jeden index sloupců, nazývaný také kovarianční řád 1 a kontravariantní řád 1; vidět Tenzor (vnitřní definice) pro detaily.

Pořadí tenzoru matice může také znamenat minimální počet jednoduché tenzory je nutné vyjádřit matici jako lineární kombinaci a že tato definice souhlasí s hodností matice, jak je zde diskutováno.

Viz také

Poznámky

^ Důkaz: Aplikujte větu o neplatnosti na nerovnost
${ displaystyle dim operatorname {ker} (AB) leq dim operatorname {ker} (A) + dim operatorname {ker} (B)}$ .
^ Důkaz: Mapa
${ displaystyle C: operatorname {ker} (ABC) / operatorname {ker} (BC) to operatorname {ker} (AB) / operatorname {ker} (B)}$
je dobře definovaný a injektivní. Získáme tak nerovnost z hlediska dimenzí jádra, kterou lze potom pomocí věty o nulitě převést na nerovnost z hlediska řad. Alternativně, pokud M je tedy lineární podprostor ztlumit(DOPOLEDNE) ≤ dim (M); aplikovat tuto nerovnost na podprostor definovaný (ortogonálním) doplňkem obrazu před naším letopočtem na obrázek B, jehož rozměr je rk (B) - rk (před naším letopočtem); jeho obrázek pod A má rozměr rk (AB) - rk (ABC).

Reference

^ Bourbaki, Algebra, ch. II, § 10.12, s. 359
^ ^A ^b Mackiw, G. (1995), „Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix“, Matematický časopis, 68 (4): 285–286, doi:10.1080 / 0025570X.1995.11996337
^ Wardlaw, William P. (2005), „Row Rank Equals Column Rank“, Matematický časopis, 78 (4): 316–318, doi:10.1080 / 0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku, Texty ve statistické vědě (1. vyd.), Chapman and Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
^ Mirsky, Leonid (1955). Úvod do lineární algebry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

Další čtení

Roger A. Horn a Charles R. Johnson (1985). Maticová analýza. ISBN 978-0-521-38632-6.
Kaw, Autar K. Dvě kapitoly z knihy Úvod do maticové algebry: 1. Vektory [1] a soustava rovnic [2]
Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [3]

[5] Důkaz: Aplikujte větu o neplatnosti na nerovnost
${ displaystyle dim operatorname {ker} (AB) leq dim operatorname {ker} (A) + dim operatorname {ker} (B)}$ .

[6] Důkaz: Mapa
${ displaystyle C: operatorname {ker} (ABC) / operatorname {ker} (BC) to operatorname {ker} (AB) / operatorname {ker} (B)}$
je dobře definovaný a injektivní. Získáme tak nerovnost z hlediska dimenzí jádra, kterou lze potom pomocí věty o nulitě převést na nerovnost z hlediska řad. Alternativně, pokud M je tedy lineární podprostor ztlumit(DOPOLEDNE) ≤ dim (M); aplikovat tuto nerovnost na podprostor definovaný (ortogonálním) doplňkem obrazu před naším letopočtem na obrázek B, jehož rozměr je rk (B) - rk (před naším letopočtem); jeho obrázek pod A má rozměr rk (AB) - rk (ABC).

[1] Bourbaki, Algebra, ch. II, § 10.12, s. 359

[mackiw-2] A ^b Mackiw, G. (1995), „Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix“, Matematický časopis, 68 (4): 285–286, doi:10.1080 / 0025570X.1995.11996337

[wardlaw-3] Wardlaw, William P. (2005), „Row Rank Equals Column Rank“, Matematický časopis, 78 (4): 316–318, doi:10.1080 / 0025570X.2005.11953349, S2CID 218542661

[banerjee-roy-4] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku, Texty ve statistické vědě (1. vyd.), Chapman and Hall / CRC, ISBN 978-1420095388

[7] Mirsky, Leonid (1955). Úvod do lineární algebry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[i]

[ii]

[5]

Lineární algebra
Základní pojmy	Skalární Vektor Vektorový prostor Skalární násobení Vektorové projekce Lineární rozpětí Lineární mapa Lineární projekce Lineární nezávislost Lineární kombinace Základ Změna základu Vektory řádků a sloupců Mezery mezi řádky a sloupci Jádro Vlastní čísla a vlastní vektory Přemístit Lineární rovnice
Matice	Blok Rozklad Invertibilní Méně důležitý Násobení Hodnost Proměna Cramerovo pravidlo Gaussova eliminace
Bilineární	Ortogonalita Tečkovaný produkt Vnitřní prostor produktu Vnější produkt Gram – Schmidtův proces
Multilineární algebra	Rozhodující Křížový produkt Trojitý produkt Sedmrozměrný křížový produkt Geometrická algebra Vnější algebra Bivektor Multivektorový Tenzor Outermorfismus
Vektorový prostor stavby	Dvojí Přímý součet Funkční prostor Kvocient Podprostor Tenzorový produkt
Numerické	Plovoucí bod Numerická stabilita Základní podprogramy lineární algebry (BLAS) Řídká matice Porovnání knihoven lineární algebry
Kategorie Obrys Matematický portál Wikibook Wikiverzita