Idempotentní matice - Idempotent matrix

v lineární algebra, an idempotentní matice je matice který, když se vynásobí sám, se získá.^[1][2] To je matice ${ displaystyle A}$ je idempotentní právě tehdy ${ displaystyle A ^ {2} = A}$. Pro tento produkt ${ displaystyle A ^ {2}}$ být definovaný, ${ displaystyle A}$ musí nutně být čtvercová matice. Z tohoto pohledu jsou idempotentní matice idempotentní prvky z maticové kroužky.

Příklad

Příklady ${ displaystyle 2 krát 2}$ idempotentní matice jsou:

$${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 3 & -6 1 & -2 end {bmatrix}}}$$

Příklady ${ displaystyle 3 krát 3}$ idempotentní matice jsou:

$${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & -2 & -4 - 1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 end {bmatrix }}}$$

Skutečný případ 2 × 2

Pokud je to matice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ je tedy idempotentní

• ${ displaystyle a = a ^ {2} + bc,}$
• ${ displaystyle b = ab + bd,}$ naznačující ${ displaystyle b (1-a-d) = 0}$ tak ${ displaystyle b = 0}$ nebo ${ displaystyle d = 1-a,}$
• ${ displaystyle c = ca + cd,}$ naznačující ${ displaystyle c (1-a-d) = 0}$ tak ${ displaystyle c = 0}$ nebo ${ displaystyle d = 1-a,}$
• ${ displaystyle d = bc + d ^ {2}.}$

Nutnou podmínkou pro to, aby matice 2 × 2 byla idempotentní, je to, že buď je úhlopříčka nebo jeho stopa rovná se 1. Všimněte si, že pro idempotentní diagonální matice ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle d}$ musí být buď 1 nebo 0.

Li ${ displaystyle b = c}$matice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b b & 1-a end {pmatrix}}}$ bude poskytnuto idempotentní ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}$ tak A uspokojuje kvadratická rovnice

${ displaystyle a ^ {2} -a + b ^ {2} = 0,}$ nebo ${ displaystyle left (a - { frac {1} {2}} right) ^ {2} + b ^ {2} = { frac {1} {4}}}$

což je kruh se středem (1/2, 0) a poloměrem 1/2. Pokud jde o úhel θ,

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1- cos theta & sin theta sin theta & 1 + cos theta end {pmatrix}}}$ je idempotentní.

Nicméně, ${ displaystyle b = c}$ není nutná podmínka: libovolná matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & 1-a end {pmatrix}}}$ s ${ displaystyle a ^ {2} + bc = a}$ je idempotentní.

Vlastnosti

Samostatnost a pravidelnost

Jediným ne-jednotné číslo idempotentní matice je matice identity; to znamená, že pokud je matice neidentity idempotentní, její počet nezávislých řádků (a sloupců) je menší než počet řádků (a sloupců).

To je patrné z psaní ${ displaystyle A ^ {2} = A}$, za předpokladu, že A má úplnou hodnost (není singulární) a předem se vynásobí ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ získat ${ displaystyle A = IA = A ^ {- 1} A ^ {2} = A ^ {- 1} A = I}$.

Když se idempotentní matice odečte od matice identity, výsledek je také idempotentní. To platí od té doby

${ displaystyle (I-A) (I-A) = I-A-A + A ^ {2} = I-A-A + A = I-A}$.

Matice A is idempotent if and only if for all positive integers n, ${ displaystyle A ^ {n} = A}$. Směr „pokud“ triviálně následuje braním ${ displaystyle n = 2}$. Část „pouze pokud“ lze zobrazit pomocí důkazu indukcí. Je zřejmé, že máme výsledek pro ${ displaystyle n = 1}$, tak jako ${ displaystyle A ^ {1} = A}$. Předpokládejme to ${ displaystyle A ^ {k-1} = A}$. Pak, ${ displaystyle A ^ {k} = A ^ {k-1} A = AA = A}$, podle potřeby. Proto podle principu indukce následuje výsledek.

Vlastní čísla

Idempotentní matice je vždy úhlopříčně a jeho vlastní čísla jsou buď 0 nebo 1.^[3]

Stopa

The stopa idempotentní matice - součet prvků na její hlavní úhlopříčce - se rovná hodnost matice, a proto je vždy celé číslo. To poskytuje snadný způsob výpočtu hodnosti nebo alternativně snadný způsob určení stopy matice, jejíž prvky nejsou konkrétně známy (což je užitečné při statistika například při stanovení stupně zaujatost při použití a rozptyl vzorku jako odhad a rozptyl populace ).

Aplikace

Idempotentní matice často vznikají v regresní analýza a ekonometrie. Například v obyčejné nejmenší čtverce, regresním problémem je výběr vektoru β odhadů koeficientů tak, aby se minimalizoval součet čtverců reziduí (chybné předpovědi) E_i: v maticové formě,

Minimalizovat ${ displaystyle (y-X beta) ^ { textyf {T}} (y-X beta)}$

kde ${ displaystyle y}$ je vektorem závislá proměnná pozorování a ${ displaystyle X}$ je matice, jejíž každý sloupec je sloupcem pozorování na jednom z nezávislé proměnné. Výsledný odhad je

${ displaystyle { hat { beta}} = vlevo (X ^ { textyf {T}} X vpravo) ^ {- 1} X ^ { textyf {T}} y}$

kde horní index T označuje a přemístit a vektor zbytků je^[2]

${ displaystyle { hat {e}} = yX { hat { beta}} = yX vlevo (X ^ { textyf {T}} X vpravo) ^ {- 1} X ^ { textyf {T }} y = left [IX left (X ^ { textyf {T}} X vpravo) ^ {- 1} X ^ { textyf {T}} vpravo] y = moje.}$

Tady oba ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle X left (X ^ { textyf {T}} X vpravo) ^ {- 1} X ^ { textyf {T}}}$(druhý je známý jako klobouková matice ) jsou idempotentní a symetrické matice, což je skutečnost, která umožňuje zjednodušení při výpočtu součtu čtverců reziduí:

${ displaystyle { hat {e}} ^ { textyf {T}} { hat {e}} = (můj) ^ { textyf {T}} (můj) = y ^ { textyf {T}} M ^ { textyf {T}} moje = y ^ { textyf {T}} MMy = y ^ { textyf {T}} moje.}$

Idempotence ${ displaystyle M}$ hraje roli i v jiných výpočtech, například při určování rozptylu odhadce ${ displaystyle { hat { beta}}}$.

Idempotentní lineární operátor ${ displaystyle P}$ je operátor projekce na internetu rozsah prostoru ${ displaystyle R (P)}$ podél jeho prázdný prostor ${ displaystyle N (P)}$. ${ displaystyle P}$ je ortogonální projekce operátor právě tehdy, pokud je idempotentní a symetrický.

Viz také

• Idempotence
• Nilpotentní
• Projekce (lineární algebra)
• Klobouková matice

Reference